四川省蓉城名校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案

这是一份四川省蓉城名校联盟2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x−3y−3=0的倾斜角为
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
2．双曲线x2−y24=1的渐近线方程为
A．x±3y=0 B．3x±y=0
C．x±2y=0 D．2x±y=0
3．为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1 000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是
A．选择足球的女生比选择篮球的女生多
B．选择篮球的女生比选择足球的男生多
C．选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多
D．选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多
4．已知抛物线y2=2x的焦点为F，P为抛物线上一点，且|PF|=2，则P的横坐标为
A．1 B．32
C．2 D．52
5．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A=“第1次正面朝上”，事件B=“第2次正面朝上”，事件C=“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是
A．事件A与事件B互斥
B．事件A与事件B互为对立
C．事件A与事件C相互独立
D．P(AB)=P(C)
6. 已知椭圆x216+y29=1的焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，则PF1→·PF2→的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 在正四面体P−ABC中，点E，F分别是线段BC，PC的中点，则cs⟨PE→，AF→⟩=
A. −13 B. 13
C. −16 D. 16
8. 已知双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)的中心为点O，一个焦点为F。点M在双曲线上，点N在以MF为直径的圆上，若|ON|的最小值为2b，则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3
C. 52 D. 62
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 掷一枚质地均匀的骰子6次，得到一组样本数据：5，2，3，2，x，6，则
A. 众数可能为2
B. 极差可能为3
C. 若x=6，则方差为3
D. 第30百分位数恒为2
10. 在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线E:y=1−x2上一动点，点A，B分别是直线x−y−2=0与x，y轴的交点，则
A. ∆PAB面积的最小值为1
B. ∠PAB的最大值为5π12
C. 若直线x−y+a=0与曲线E有且只有一个公共点，则a∈[−1,1)
D. AP→·AB→的取值范围为[4−22,6]
11. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=a，若E是CD的中点。则
A. 过B，E，D1三点作长方体ABCD−A1B1C1D1的截面，则截面为菱形
B. 存在实数a，使得直线AC1与平面BED1垂直
C. 直线AC1∩平面CB1D1=P，则AP→=2PC1→
D. 点B1到直线D1E的距离d的范围为[52,25)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量a=(−1,2,1)，b=(m,n,−2)，若a∥b，则|b|=_____。
13．已知圆x2+y2−4y=0与圆(x−a)2+y2=9(a>0)外切，则a=_____。
14．已知椭圆x2m2+y2=1(m>0)与双曲线x2n2−y2=1(n>0)的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则mn=_____。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知圆C的圆心在直线x+y−1=0上，且圆C经过(−2,0)，(4,0)两点。
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点(0,2)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|=42，求直线l的方程。
16．（15分）
为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图。
（1）求a的值；
（2）求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；
（3）现拟在区间[50,70)，[130,150]用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间[130,150]的概率。
17．（15分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2的坐标分别为(−3,0)，(3,0)，且该平面上的动点M(x,y)满足：(x+3)2+y2+(x−3)2+y2=4，设点M的轨迹为E。
（1）求E的标准方程；
（2）若直线y=x+m交轨迹E于A，B两点，且∆AOB的面积为1，求m的值。
18．（17分）
如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，AB⊥AC，将∆ACD沿AC翻折至∆ACP．
（1）设PC⊥AB，三棱锥P−ABC的各个顶点都在球O的表面上．
（i）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（ii）求球O的半径；
（2）求平面PAC与平面PBC夹角的最大值．
19．（17分）
已知直线l1:x−my+(m−1)t+2m=0(t∈R)与抛物线Γ:y2=4x交于A，B两点，不同于l1的直线l2:x−ny+(n−1)t+2n=0(t∈R)与Γ交于C，D两点，设直线l1与l2的交点为T．
（1）证明：点T在直线x−y+2=0上；
（2）若TA→=AB→，TC→=CD→，BD的中点为P．
（i）求直线PT的斜率；
（ii）求四边形ABDC面积的最小值．
高二期末数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．26
13．21
14．1
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）∵圆心在直线x+y−1=0上，
∴可设圆心为(a,−a+1)，
又∵圆C经过(−2,0)，(4,0)两点，
∴(a+2)2+(−a+1)2=(a−4)2+(−a+1)2，…………………………3分
解得a=1，即圆C的圆心为(1,0)，
∴圆C的半径r=|1−(−2)|=3，…………………………4分
∴圆C的标准方程为(x−1)2+y2=9；…………………………6分
（2）①当直线l的斜率不存在时，
直线l为x=0，…………………………7分
代入圆C解得y=22或y=−22，
此时|AB|=42，满足题意；…………………………9分
②当直线l的斜率k存在时，
设l为kx−y+2=0，
∵|AB|=42，
∴圆心C到直线l的距离d=r2−|AB|22=9−8=1，…………………………11分
即|k+2|k2+1=1，
即4k=−3，解得k=−34，
此时直线l为3x+4y−8=0，
综上所述：直线l为x=0或3x+4y−8=0．…………………………13分
16．（15分）
解：（1）由20×(0.0025+0.005+0.01+a+0.02)=1，
解得a=0.0125；……………………………3分
（2）由图可知，
成绩在区间[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]的频率分别为0.05，0.25，0.4，
0.2，0.1，
∴中位数位于区间[90,110)，
设中位数为x，
则有0.05+0.25+0.02×(x−90)=0.5，
解得中位数x=100分，……………………………6分
这500名同学数学成绩的平均数x¯为：
60×0.05+80×0.25+100×0.4+120×0.2+140×0.1=101分；……………………………9分
（3）在区间[50,70)抽取了6×+0.1=2人，
不妨设为A1，A2，
在区间[130,150]抽取了6×+0.1=4人，
不妨设为B1，B2，B3，B4，……………………………11分
设事件A=“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间[130,150]”，
由样本空间Ω={A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，
B1B4，B2B3，B2B4，B3B4}，
得n(Ω)=15，……………………………13分
由事件A={B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4}，
得n(A)=6，
∴P(A)=n(A)n(Ω)=615=25．……………………………15分
17．（15分）
解：（1）由(x+3)2+y2+(x−3)2+y2=4，
知|MF1|+|MF2|=4>23，
∴点M的轨迹为椭圆，……………………………2分
∴2a=4，即a=2，
又∵c=3，
∴b=1，
∴E的标准方程为x24+y2=1；……………………………5分
（2）不妨设A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
由{y=x+m,x24+y2=1,，消去x得5x2+8mx+4m2−4=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
判别式Δ=(8m)2−4×5×(4m2−4)=16(5−m2)>0，
得m2