黑龙江省佳木斯市第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题含答案

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时间：120 分钟 总分：150 分
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、单选题（本题共有 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求两个集合，再求交集.
【详解】 ， ，
．
故选：C
2. 点 位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式判断 的正负，再判断 的所在象限即可.
【详解】根据诱导公式，可得 ，
又 是第三象限角，所以 ，即 ，
同理 ，所以 ，即 ，
所以点 位于第三象限.
故选：C.
3. 方程 解所在的区间为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数 ，判断其零点所在的区间即可.
【详解】令 ，
因为 ， .
根据零点存在定理可知在区间 内存在函数 的零点，
即方程 的解所在的区间为
故选：
【点睛】本题主要考查了方程的根与函数的零点，属于基础题,
4. 若 ， ， ．则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质，结合媒介数比较大小即得.
【详解】依题意， ， ，而 ，
所以 .
故选：B
5. 已知某扇形的圆心角为 ，其所对的弦长为 ，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该扇形的半径为 ，依题意可得 ，再由扇形面积公式计算可得.
【详解】设该扇形的半径为 ，因为扇形的圆心角为 ，其所对的弦长为 ，则 ，
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则该扇形的面积为 .
故选：B.
6. “函数 在 上单调”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数单调区间可得 ，再由必要不充分条件结合选项依次判断即可.
【详解】 图象的对称轴为直线 ，若 在 上单调，则 ，
对于 A，“ ”是“函数 在 上单调”的一个充要条件，故 A 错误；
对于 B，“ ”是“函数 在 上单调”的一个必要不充分条件，故 B 正确；
对于 C，“ ”是“函数 在 上单调”的一个充分不必要条件，故 C 错误；
对于 D，“ ”是“函数 在 上单调”的一个既不充分也不必要条件，故 D 错误.
故选：B
7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则 的值可能
是（ ）
A. 5 B. 8 C. 11 D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出 ，得到答案.
【详解】依题意，得 为偶函数，
则 ，即 ，
当 时， ，D 正确，其他选项均不正确.
故选：D．
8. 已知 ，则 （ ）．
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解
题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相
同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的
函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
9. 计算下列各式，结果为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】运用诱导公式、辅助角公式、二倍角公式、和差角公式及切化弦化简计算即可.
【详解】对于 A 项， ，故 A 项成立；
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对于 B 项， ，故 B 项不成立；
对于 C 项， ，故 C 项不成立；
对于 D 项， ，故 D 项成立.
故选：AD.
10. 已知函数 部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当 时， 的值域为
C. 将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点
对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数图象可确定函数的表达式为 ，即可求解 AB，根据函数图象的平移
以及伸缩变换，即可求解 CD.
【详解】由图可知， ，最小正周期 ，故 A 正确：
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由 ， 知 ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，即 ，又 ，所以 ，
对于 B，当 时， ，所以 ，故 B 正确，
对于 C，将函数 图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，
故 C 错误；
对于 D，将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，因为当 时， ，故 D 正确，
故选：ABD.
11. 已知直线 分别与函数 和 的图象交于 ， ，则下列说法正确
的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据互为反函数的性质可得 ， ，从而可判断 A；利用基本不等式可判断 B； 依题意
可得 ， ，则 ，即可判断 C；根据 ，由
A 知 ， ， 和 整理替换可判断 D.
【详解】函数 与 互为反函数，则 与 的图象关于 对称，
因为 与 垂直，由直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，
也与 对称，所以 ， ，
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又因为 在直线 上，所以 ，即 ，故 A 正确；
对于 B， ，
因为 ，即等号不成立，所以 ，故 B 正确；
对于 C：因 ， ，
所以 ，
所以 ，故 C 错误；
对于 D， ，因为 ，所以 ，
由 A 可知 ，所以 ，
两边同时减 ，得 ，
又因为 ，所以 ，
由题可知 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共三道小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 x，y 是实数， ，且 ，则 的最小值为__________
【答案】1
【解析】
【分析】利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
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因为 ，当且仅当 时，取到等号，
所以 ，即 的最小值为 1.
故答案为：1
13. 已知点 为角 的终边与单位圆的一个交点，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可得 ，则 ，利用辅助角公式及
余弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】 点 为角 的终边与单位圆的一个交点，
，
，
设 ，
，
， ，
， 的最小值为 .
故答案为：
14. 设 A，B，C 是函数 与函数 的图象连续相邻的三
个交点，若 是钝角三角形，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简变换得到 ，在同一坐标系中作出两个函数图像，设 为 的中点，
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由 ， ，然后根据 为钝角三角形，只须 ，由
求解，
【详解】由题意得， ，作出两个函数图像，如图：
为连续三交点，（不妨设 在 轴下方）， 为 的中点，
由对称性，则 是以 为顶角的等腰三角形， ，
由 ，整理得 ，
解得 ，则 ，
即 ，
所以 ，
因为 为钝角三角形，
则 ，
所以 ，
解得 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键是将 为钝角三角形 ，转化为则 ，利用以
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而得解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，求下列各式的值.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系进行求解即可；
（2）利用同角三角函数的关系进行求解即可
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
.
16. 设函数 .
（1）求 的最小正周期和对称中心；
（2）求 的单调递减区间.
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（3）求函数 在 上的值域
【答案】（1） ，函数的对称中心为 ；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦的二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的最小
正周期公式和对称中心进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；
（3）根据正弦型函数值域性质进行求解即可
【小问 1 详解】
，
所以函数 的最小正周期是 ，
令 ，
所以函数 的对称中心为 ；
【小问 2 详解】
由 ，解得 ，
所以函数的单调递减区间为 .
【小问 3 详解】
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，
所以函数 在 上的值域为 .
17. 已知 ， 为锐角， ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】(1)由二倍角正切公式即可求得；
(2)由同角三角函数的关系，可得 和 的值，再由二倍角公式，得解；
(3)先由二倍角公式求得 的值，再由同角三角函数的平方关系求得 的值，根据
，结合两角差的正弦公式与角的范围，得解.
【小问 1 详解】
;
【小问 2 详解】
因为 为锐角，且 ，所以 ， ，
所以 .
【小问 3 详解】
由 知， ，
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因为 ， 为锐角， ，所以 ，
，
又 ， 为锐角，∴ ，故 .
18. 已知函数 为偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）求函数 在 上的值域
（3）解不等式
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指对函数的运算公式，结合偶函数的定义，即可求解；
（2）首先化简 ，分析内层函数 的单调性和值域，分析外层
函数 的单调性和值域，最后确定函数的值域.
（3）首先化简 ，再根据对数函数的单调性解不等式；
【小问 1 详解】
，
若函数 是偶函数，所以 ，
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所以 ，
即 ，则 ，
即 ，得 ，得 ；
【小问 2 详解】
，
令 ，则 ，
任取 ，计算
因为 恒成立，所以 的符号由 决定，
当 ，指数函数 在 上单调递增，故
又 ，则 ，即 ，因此 ，
即 ，所以 在 上单调递减；
当 ，指数函数 在 上单调递增，故
又 ，则 ，即 ，因此 ，
即 ，所以 在 上单调递增；
因此， 在 处取得极小值（也 最小值），
当 时， ，当 时， ，
因此， 的值域为
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函数 是增函数，当 时， 的最小值 ，
当 时， ，所以函数 在 上的值域为
【小问 3 详解】
，
所以不等式为 ，
所以 ，
，得 ，
，得 ，即 ，
得 ，即 ，
综上可知 ；
所以不等式的解集为 ；
19. 已知函数 ，将 的图象各点横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2 倍，然后
再将所得函数图象向左平移 个单位后得到函数 的图象.
（1）求 的解析式；
（2）方程 在 上有且只有两个解，求实数 n 的取值范围；
（3）实数 m 满足对任意 ，都存在 ，使得 成立，求
m 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）运用图象平移、伸缩变换即可求得结果.
（2）将问题转化为 与函数 在 上有且只有两个交点，画出 在 上
的图象，观察图象即可求得结果.
（3）根据已知可得对任意 ， （ ），求出
，将问题转化为对任意 ， ，令 ，运用单
调性可求得 t 的范围，运用换元法将问题转化为 在 上恒成立，结合二次函数性
质列式即可求得结果.
【小问 1 详解】
已知函数 ，将 的图象各点横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的 2 倍，可得函数
的图象，
再将所得函数 图象向左平移 个单位后可得到函数 .
∴ 的解析式为 .
【小问 2 详解】
方程 在 上有且只有两个解，
转化为函数 与函数 在 上有且只有两个交点.
在 上的图象如图所示，
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则 在 单调递增且取值范围是 ，在 单调递减且取值范围是 ，
由图象可知，函数 与函数 有且只有两个交点，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
由（1）知 .
实数 m 满足对任意 ，都存在 ，使 成立，
所以对任意 ， 恒成立，
即对任意 ， 恒成立，
令 ，
设 ，则 ，
∵ ，且 为增函数，
∴ ，
可得 在 上恒成立.
令 ， ，则 的最大值 ，
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又因为 的开口向上， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
综述，m 的取值范围是 .
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