浙江绍兴市诸暨市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份浙江绍兴市诸暨市2025-2026学年高二第一学期期末考试数学试题（试卷+解析），共26页。试卷主要包含了 双曲线的焦点坐标是， 方程对应的曲线周长是， 已知圆和直线， 已知等比数列， 设函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟，2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为b，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 记为等差数列的前n项和，d为公差，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ）
A. B. C. D. 以上都有可能
5. 记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 方程对应的曲线周长是（ ）
A. 12B. 16C. 20D.
7. 已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知圆和直线：，若圆C上存在三点到直线距离成公差为2的等差数列，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列：，，，，…，前项和为，前项积为则（ ）
A. 公比B.
C. 若取到最大值，则D. 若取到最大值，则
10. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，无极值点
B. 当时，是的极大值点
C. ，图象存在对称轴
D. ，图象对称中心的横坐标不变
11. 长方体，以D为坐标原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，点E是棱的中点，点O是与的交点，若，则（ ）
A. B.
C. 平面D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆O：，圆心直线：上，则_____.
13. 若曲线在处的切线斜率为，则_____.
14. 已知抛物线C：，直线：交抛物线于M，N两点，垂直于的直线与分别交抛物线于E，Q两点.当长度最小时，_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点在双曲线上，直线与相交于不同两点，，求弦长的值.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角正弦值．
17. 已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式.
18. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数恰有三个极值点，求的取值范围.
19. 已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过右焦点，设，，求的值；
（3）若已知，椭圆上下顶点分别C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上.
2025—2026学年第一学期期末考试试题
高二数学
注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟，2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的倾斜角为，在轴上的截距为b，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】首先表示出直线的斜率，即可得到倾斜角，再令求出的值，即可求出直线在轴上的截距.
【详解】直线的斜率，所以倾斜角,
令，可得，所以直线在轴上的截距.
故选：B
2. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线方程可得，然后根据可得，最后得出结果.
【详解】由题可知：双曲线焦点在轴上，且，
所以双曲线的焦点坐标为
故选：B
3. 记为等差数列的前n项和，d为公差，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列通项公式和求和公式即可求解.
【详解】，
又，
，
即，
故选：D
4. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ）
A. B. C. D. 以上都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件可得，即可判断出结论.
【详解】因为，，
所以，所以，所以，
故选：A
5. 记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为为，的等差中项，
所以，即，显然，
所以，解得或.
故选：C
6. 方程对应的曲线周长是（ ）
A. 12B. 16C. 20D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得到不同象限内的曲线方程，进而判断曲线的性质，计算其周长.
【详解】当时，方程变为，即，
当时，方程变为，即，
当时，方程变为，即，
当时，方程变为，即，
所以方程对应的曲线是由四条线段围成的封闭图形，且这四条线段分别与坐标轴相交，
令，则；令，则，
所以曲线与坐标轴的交点分别为，
所以曲线是以为顶点的菱形，
该菱形的边长为，所以曲线的周长为，
故选：C
7. 已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线方程为，则，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理和即可求解.
【详解】抛物线的焦点为，依题意可得，解得，
所以抛物线方程为，则抛物线的准线为，所以，
依题意直线的斜率不为，设过的直线的方程为，，
联立方程组，整理可得，由，
所以，，
又因为，所以，又，
所以，
因为，
所以
即，解得，所以直线的方程为，
故选：A.
8. 已知圆和直线：，若圆C上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】要使圆上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，需该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4，由此建立不等式求的最小值.
【详解】由题意：
要使圆上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，需该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4，
设圆上三点到直线的距离分别为，，
圆心到直线的距离为，
当直线与圆相交，即，
则圆上任意一点到直线的距离位于之间，
满足该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4，
必存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，
当直线与圆相切，即，
则圆上任意一点到直线的距离位于之间，
满足该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4，
必存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，
当直线与圆相离，即，
则圆上任意一点到直线的距离位于，
若圆上存在三点到直线的距离成公差为2的等差数列，
需满足该圆上点到直线的最大距离与最小距离之差大于等于4，
即，解得
综上可知的最小值为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列：，，，，…，前项和，前项积为则（ ）
A. 公比B.
C. 若取到最大值，则D. 若取到最大值，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据，直接求出公比，即可判断A，写出通项公式，即可求出，从而判断B，求出，分为奇数、偶数两种情况讨论，求出的最大值，即可判断C，分析的取值情况，即可判断D.
详解】对于A ：依题意，，所以公比，故A错误；
对于B：因为，
所以，
则，故B正确；
对于C：，
当为奇数时，，因为在定义域上单调递减，
所以单调递减，则；
当为偶数时，则单调递增，
当时，所以，又，所以，
综上可得当时取到最大值，故C错误；
对于D：因为，
所以，，，，，，当且时，
又为前项积，所以当时，
又，且，，
所以当时取到最大值，故D正确.
故选：BD
10. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，无极值点
B. 当时，是的极大值点
C. ，图象存在对称轴
D. ，图象对称中心的横坐标不变
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出函数的导函数，由，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B，根据三次函数的性质判断C，求出函数的对称中心，即可判断D.
【详解】对于A：因为，则，
当时，所以恒成立，
所以在上单调递增，所以无极值点，故A正确；
对于B：当时，
所以当或时，当时，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以是极大值点，故B正确；
对于C：对，当时，当时，
所以不存在对称轴，故C错误；
对于D：因为，，
所以
，
所以关于对称，所以，图象对称中心的横坐标不变，均为，故D正确.
故选：ABD
11. 长方体，以D为坐标原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，点E是棱的中点，点O是与的交点，若，则（ ）
A. B.
C. 平面D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，先根据向量求出长方体的棱长，再计算向量 并判断；对B，先求出向量，再计算它们的数量积判断结果是否为 0；对C，先求出平面的法向量，再验证向量与法向量垂直，从而判断点 是否在该平面内；对D，计算，并用向量法求解到平面的距离，代入棱锥体积公式计算并判断.
【详解】由题坐标系可知设，则
所以，，所以，又，
所以，解得，
所以.
对于A：，A正确；
对于B：，
，B错误；
对于C：设平面的法向量为，，
则由得，令，则；
所以是平面的一个法向量，又，，
所以，因为在平面内，所以平面，C正确；
对于D：由长方体性质可知是直角三角形，，，
因为，所以，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，
所以是平面的一个法向量，又，
所以点到平面的距离，
所以，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆O：，圆心在直线：上，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】将圆心坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由题可知，圆心，
又圆心在直线：上，所以，所以，
故答案为：.
13. 若曲线在处的切线斜率为，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可得到，再利用裂项相消法计算可得.
【详解】因为，所以，则，
所以，则，
所以
.
故答案为：
14. 已知抛物线C：，直线：交抛物线于M，N两点，垂直于的直线与分别交抛物线于E，Q两点.当长度最小时，_____.
【答案】
【解析】
【分析】联立抛物线与直线，利用韦达定理得到M，N两点横坐标的和与积，根据与与垂直，求出两直线的方程，再与抛物线方程联立，得到E，Q两点的横坐标与M，N两点横坐标的关系，利用抛物线方程，将表示成关于的函数，转化为求函数最值问题进行求解.
【详解】联立得：，
设，则是上述方程的两个根，所以，
所以，
由题可知直线的斜率为，所以直线的方程为：，
联立抛物线方程得：，
由于，可得，即的横坐标为，
同理可得的横坐标为，
所以直线的斜率为，
所以
，
令，
设函数，
所以，
令，因为，解得，解得舍去)，
此时函数取得极小值，即当长度最小时，，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点在双曲线上，直线与相交于不同的两点，，求弦长的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设双曲线的方程为，即可表示出双曲线的渐近线方程，从而得到，再由离心率公式计算可得；
（2）由（1）可得双曲线的方程为，代入点的坐标求出，即可求出双曲线方程，设，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式计算可得.
【小问1详解】
依题意设双曲线的方程为，
则其渐近线方程为，依题意可得，
所以离心率；
【小问2详解】
由（1）可得双曲线的方程为，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的方程为，
设，
由，消去整理得，显然，
所以，，
所以.
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相应点及向量坐标，通过向量数量积为零得出垂直关系，结合已知条件，利用线面垂直定理证明结论；
（2）求出相应点和向量坐标，进而求出各平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求余弦值，再根据同角三角函数关系求解正弦值．
【小问1详解】
取中点，连接，则，，
四边形是正方形，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则，则，
，故，
平面，平面，
，
平面，平面，
平面．
【小问2详解】
，则，，
在平面中，设平面法向量为，则
，令，则，
，则，
在平面中，设平面法向量为，则
，令，则
设平面与平面所成二面角为，则
,，
故平面与平面所成二面角的正弦值为．
17. 已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据作差计算可得；
（2）根据前项和与项的关系作差得到，再由累加法及错位相减法计算可得.
【小问1详解】
因为，
当时，
当时，所以，
当时也成立，所以；
【小问2详解】
因为的前n项和，
当时，又，，所以，
当时，，
所以，
所以，
所以，，，又，
所以，
令，则，
所以，
所以，
则，所以，
当时也成立，所以.
18. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数恰有三个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负来求函数的单调区间即可；
（2）将问题转化为恰有3个互不相等的实根，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断的范围即可．
【小问1详解】
当时，，，
令，得，
当时，,在上单调递减；
当时，,在上单调递增；
【小问2详解】
定义域为，，
要使函数恰有三个极值点，则有三个不同实数根，
令，得或，
即有两个除的实数根，
所以，
令，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
当时，，当时，，
因此当时，方程有两个不同的正根，
综上所述：的取值范围为
19. 已知椭圆的离心率为，右焦点，且，直线交椭圆于，两点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过右焦点，设，，求的值；
（3）若已知，椭圆上下顶点分别为C，D，直线交直线于点，证明：点在定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由离心率公式及得到方程组，解得、、，即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，再由，表示出，，结合韦达定理求出；
（3）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、直线的方程，联立直线方程求出，即可得解.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）可得椭圆的右焦点，
设， ，，由题意知直线的斜率存在，
设直线的方程为，代入方程，
并整理得，
∴，，
又，，，，
而，，
即，，
∴，，
∴
.
【小问3详解】
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，由（1）可得，，
设，，
由，消去并整理得，
∴，， 则，
又直线的方程为，直线的方程为，
所以，即，
即，
所以，所以，即，
所以
，
所以点在定直线上.