山东日照市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

这是一份山东日照市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（试卷+解析），共29页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部是（ ）
A B. 2C. D.
2. 已知向量且，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 4D. 8
3. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
4. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（ ）
A. 40B. 28C. 35D. 30
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 从平行六面体12条棱中随机选取两条，则选中的两条棱互相平行的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A B. C. 1D.
8. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，用一个不垂直于轴的平面截两个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面，则所得截口曲线（截面与圆锥面的交线）可能是（ ）
A. 椭圆B. 双曲线
C. 抛物线D. 圆
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，，则
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 已知随机变量，则
D. 已知随机变量，则
11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 直线与平面所成的最大角为
C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为
D. 若，则点的轨迹的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中，的系数是______．
13. 已知二面角的大小为，棱上有两点，线段和分别在面和内，且，．若，，则的长为___________．
14. 如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小1．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱上的一点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 球面三角学是研究球面三角形边角关系的一门学科．如图1，已知球的半径为点为球面上的三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角，的大小分别为，则球面三角形的面积为．
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）从图1中截切得到四面体，其中，延长交球面于点，连接，所得空间几何体如图2所示．
（i）证明：；
（ii）若球的半径为，点分别是的中点，直线，与平面所成角分别为，求平面与平面所成角的余弦值．
18. 在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书．
（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率；
（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选”
（i）求的分布列；
（ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望．
19. 在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.
（1）求直线CD与平面所成角的大小；
（2）设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
2024级高二上学期期末考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知化简得出，再根据虚部定义得出虚部.
【详解】由，化简得,
得，故的虚部是.
故选：A.
2. 已知向量且，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由即可求解.
【详解】因为向量且，
所以，
即，解得.
故选:B.
3. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先通过双曲线的渐近线方程及已知直线求出斜率，再根据垂直关系进而得出与b的关系，最后利用离心率公式及计算离心率即可.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
因为直线，整理得，其斜率为，
因为两直线垂直，所以，即，
又因为，代入，得，所以,
故离心率.
故选：A.
4. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（ ）
A. 40B. 28C. 35D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解.
【详解】
由题可得，为椭圆上顶点，
则根据椭圆的对称性知，，，，
∴.
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全概率公式计算即可．
【详解】
．
故选：D．
6. 从平行六面体的12条棱中随机选取两条，则选中的两条棱互相平行的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定出平行六面体中的平行直线，再应用古典概型及组合数计算求解．
【详解】因为，，
，
所以这2条棱互相平行概率为．
故选：C．
7. 在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】由线线平行得到线面平行，直线到平面的距离等于点到平面的距离，建立空间直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离.
【详解】因为，平面，平面，所以平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，
所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设点到平面的距离为，
则，故直线到平面的距离为.
故选：D
8. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解．
【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时，
若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时，
所以一定存在A、B及P，使得；
当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；
当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有，
另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示，
由图可知，，CP最短时，
即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大，
所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得，
则必有，解得，又因为圆的半径，
圆心到直线距离，
所以，解得．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，用一个不垂直于轴的平面截两个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面，则所得截口曲线（截面与圆锥面的交线）可能是（ ）
A 椭圆B. 双曲线
C. 抛物线D. 圆
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用圆锥曲线的意义判断即可.
【详解】对于A，当截面与轴不垂直，且截面不与母线平行，且只与一个圆锥相交时，截面为椭圆，故A正确；
对于B，当截面与轴平行，截面是双曲线，故B正确；
对于C，当截面平行于圆锥的母线时，截面是抛物线，故C正确；
对于D，截面与轴不垂直，故截面不可能为圆，故D错误.
故选：ABC.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，则
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 已知随机变量，则
D. 已知随机变量，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定A正确；根据相关系数的意义可以判定B错误；由二项分布可得，再由期望的线性运算求解即可判断C；利用正态分布的对称性可以求得的值，进而判定D错误．
【详解】对于A， 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，
，则，故A正确；
对于B，线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，
相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；
对于C，，，
，故C正确；
对于D，已知随机变量服从正态分布，，
则，所以，
所以, 所以，故D错误．
故选：AC．
11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ）
A. 存在点，使得
B. 直线与平面所成的最大角为
C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为
D. 若，则点的轨迹的长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：当点为中点时，利用向量证明即可；对于B：当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C：当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D：先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可.
【详解】对于选项A：当点为中点时，
，
所以，故A正确；
对于选项B：当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误；
对于选项C：当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远，
此时四面体的体积最大，以点为例，
此时，故C正确；
对于选项D：若，如图，
在棱上取点，使，在棱上取点使，
在棱上取中点，则，
则点的轨迹由圆弧构成，
且其所在圆的半径依次为，，圆心角依次为，
圆弧的长分别为，
故点的轨迹的长为，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中，的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】由二项式展开式得，令，解得，再将代入计算即可．
【详解】的展开式，
当时，解得，则，
所以展开式中，的系数是．
故答案为：．
13. 已知二面角的大小为，棱上有两点，线段和分别在面和内，且，．若，，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由图得，再根据向量数量积的运算律和定义代入数据即可得到答案.
【详解】因为，二面角的大小为，
所以，．
因为，
由题意得，
所以．
所以，
所以.
故答案为：.
14. 如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】设，则可表示出，进而可得，可求得，进而求得的范围即可求得答案．
【详解】由题意得双曲线的焦距，实轴长，
设，
，，
，则，
在△与△中：，
即：，
，
假设直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，
则，则，
在△中：，则可得；
假设直线l的斜率为0，此时，
由此结合题意可得，则，．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小1．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得到动点的轨迹方程；
（2）设直线的方程为，，联立得到，进而得到及点到直线的距离，再根据建立方程求解即可．
【小问1详解】
已知动点到点的距离比它到直线的距离小1，
则动点到点的距离等于它到直线的距离，
即动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以动点的轨迹方程为；
【小问2详解】
设直线的方程为，，
，，
，，
点到直线的距离，
，
解得，
当时，直线的方程为，即，
当时，直线的方程为，即，
因此，直线的方程为或．
16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱上的一点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，取中点F，连接，根据线面垂直的性质和判定定理推出平面，再根据面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）先确定，再以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果．
【小问1详解】
连接，取中点F，连接，如图所示．

因为，，所以，，所以四边形为平行四边形．
所以，则，所以，即．
因为平面，平面，所以，
，，平面，所以平面，
又平面，所以．
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，
又因为，，所以，
则，，
，，
则，即，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以，，，，，
所以，，
因为，所以，又，
所以，又，
设平面的一个法向量，
所以，得，令，得，
所以平面的一个法向量．
设与平面的夹角为，
所以．
即与平面的夹角的正弦值为．
17. 球面三角学是研究球面三角形边角关系的一门学科．如图1，已知球的半径为点为球面上的三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角，的大小分别为，则球面三角形的面积为．
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）从图1中截切得到四面体，其中，延长交球面于点，连接，所得空间几何体如图2所示．
（i）证明：；
（ii）若球的半径为，点分别是的中点，直线，与平面所成角分别为，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）（i）见解析（ii）
【解析】
【分析】（1）根据垂直可得，即可代入公式求解.
（2）（ⅰ）根据球的性质可得线线垂直，可证明平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可；
（ⅱ）先利用线面垂直的判定定理得平面，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用面面夹角的向量法求解即可．
【小问1详解】
因为平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，所以，
所以球面三角形面积为．
【小问2详解】
（ⅰ）证明：由是球直径，得，
且，平面，
则平面，又平面，则；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
而，平面，
于是平面，由直线与平面所成的角分别为，
得，
球的半径，得，
以C为坐标原点，直线分别为x，y轴，过点C作平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
则，
设平面法向量，则，
取，得，
设平面法向量，则，
取，得，
设平面与平面所成角为，
因此
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18. 在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书．
（1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率；
（2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被选”
（i）求的分布列；
（ii）第一节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，第二节阅读课编号为的书被选择的情况取值为，记，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据古典概率计算公式计算即可；
（2）（ⅰ）根据两点分布分布列计算即可；（ⅱ）列出随机变量X的可能取值，计算对应概率，可得分布列与数学期望，即，再计算，
方法1：设，求导赋值计算即可；方法二：利用计算即可.
【小问1详解】
当时，样本空间包含个样本点，
记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含个样本点，
所以；
【小问2详解】
（ⅰ），，
则的分布列为
（ⅱ）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n，
对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种．
数组的结果共个，所以．
所以随机变量X的分布列为：
所以随机变量X的数学期望为．
下面计算：
方法1：设，
两边求导得，，
两边乘以x后得，，
令，得，
所以．
所以．
方法2：先证，
得，
所以．
19. 在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.
（1）求直线CD与平面所成角的大小；
（2）设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）曲线是椭圆，理由见解析；（ii）存在，点满足或
【解析】
【分析】（1）根据条件作出图形，利用线面角的定义得到所求线面角，解出即可;
（2）（i）建立空间直角坐标系，根据条件建立方程，即可求解；
（ii）把转化为，坐标表示后，利用联立直线方程和椭圆方程化简后利用韦达定理得到的关系式进行化简求解即可；也可以把条件转化为进行求解.
【小问1详解】
因为平面，
平面平面，
所以.
所以直线在内的射影为直线，
所以直线与所成角为.
过作，垂足为.
因为平分，
所以.
又，所以，所以
又，所以.
因为，所以，
所以直线与平面所成角为.
【小问2详解】
（i）曲线是椭圆,理由如下：
由（1）可知，，
所以是的中点,
设的中点为，所以.
又，所以.
在内过作，所以
以为原点，所在的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，所以，
设，又，
则.
因为，又，
所以，
化简得，即，
所以曲线是椭圆.
（ii）方法一：设.
在平面内，因为与不重合，可设，
由得，所以.
由对称性知，若存在定点满足条件，
则必在平面与的交线上，故可设.
若，则，
即，
因为，
所以，
当时，上式恒成立，所以符合题意；
当时，有，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，即.
因为上式对于任意的恒成立，所以.
综上，存在点满足，或时，符合题意.
方法二：设
在平面内，因为与不重合，可设，由得，
所以.
由对称性知，若存在定点满足条件，则必在平面与的交线上，故可设.
当与重合时，因为，又，
所以.
所以当时，符合题意.
当与不重合时，过作，
垂足分别为.连接，
则因为，所以.
又，所以平面，
所以，同理
又，所以，所以，
所以RtRt，所以直线平分
又在轴上，所以在平面内直线的倾斜角互补
在平面内，设直线的斜率分别为，
则
，
对于任意的恒成立，所以.
综上，存在点满足，或时，符合题意.
关键点点睛：解答本题最后问的关键是转化条件，可以转化为或者转化为，继而利用坐标求解.
0
1
P
X
0
1
2
3
n
P