中考第一轮复习数学压轴题预测100道练习（附解析答案）

这是一份中考第一轮复习数学压轴题预测100道练习（附解析答案），共114页。试卷主要包含了用两种方法解答等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．
（1）求证：△AEC≌△DEB；
（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．
（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，
∵△BEC是等边三角形，
∴CE＝BE，
又AE＝DE，
∴△AEC≌△DEB．
（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴AB∥DC，AB＝＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
又∵BE＝CE，
∴OE所在直线垂直平分线段BC，
∴BF＝FC，∠EFB＝90°．
∴OF＝AB＝×2＝1，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠EBC＝60°．
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，
∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB•cs30°＝，
在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，
∴BF＝BE•cs60°＝，
EF＝BE•sin60°＝，
∴OE＝EF﹣OF＝＝，
∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，
∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE
∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．
【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
2．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；
（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．
【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得1500（1+x）2＝2160
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800
答：2006年该公司盈利1800万元．
（2）2160（1+0.2）＝2592
答：预计2008年该公司盈利2592万元．
【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可；
（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；
（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．
【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则
∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，
又∵AB∥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴AP＝QD，
∵AP＝CQ，
AP＝CD＝，
∴x＝4．
（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．
∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，
∴y＝．
∵0≤y≤6，
∴0≤≤6，
∴≤x≤．
（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，
S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，
∵AP＝CQ，
∴SBPQC＝，
∴S＝SBPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，
整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），
∴当x＝4时，S有最小值12，
当x＝或x＝时，S有最大值．
∴12≤S≤．
【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．
4．（1）已知一元二次方程x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．
（2）已知抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
【分析】（1）先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可；
（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d＝|x1﹣x2|可知d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4 x1•x2＝p2，再由（1）中 x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵a＝1，b＝p，c＝q
∴△＝p2﹣4q
∴x＝
即x1＝，x2＝
∴x1+x2＝+＝﹣p，
x1•x2＝•＝q；
（2）把（﹣1，﹣1）代入y＝x2+px+q得1﹣p+q＝﹣1，
所以，q＝p﹣2，
设抛物线y＝x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）
∵d＝|x1﹣x2|，
∴d2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝p2﹣4q＝p2﹣4p+8＝（p﹣2）2+4
当p＝2时，d2的最小值是4．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q是解答此题的关键．
5．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．
（1）求k和b的值；
（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．
【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；
（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），
∴OB×AB＝2，
×4×b＝2，
∴AB＝b＝1，
∴A（4，1），
∴k＝xy＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
即k＝4，b＝1．
（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，
∴1＝4a﹣3，
∴a＝1．
∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
6．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
则6000（1﹣x）2＝4860，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），
故平均每次下调的百分率为10%；
（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；
方案②可优惠：80×100＝8000（元）．
故选择方案①更优惠．
【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
7．用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，求代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值．
【分析】本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1＝0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n＝2﹣p①，mn＝1②，m2+（p﹣2）m+1＝0③，n2+（p﹣2）n+1＝0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．
【解答】解：∵m、n是x2+（p﹣2）x+1＝0的根，
∴m+n＝2﹣p，mn＝1．
方法一：
m2+（p﹣2）m+1＝0，n2+（p﹣2）n+1＝0．
即m2+pm+1＝2m，n2+pn+1＝2n．
原式＝2m×2n＝4mn＝4．
方法二：
（m2+mp+1）（n2+np+1）
＝（m2+mp）（n2+np）+m2+mp+n2+np+1
＝m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1
＝1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1
＝2+p2+m2+n2+2（m+n）p
＝2+p2+m2+n2+2（2﹣p）p
＝2+p2+m2+n2+4p﹣2p2
＝2+（m+n）2﹣2mn+4p﹣2p2+p2
＝2+（2﹣p）2﹣2+4p﹣2p2+p2
＝4﹣4p+p2+4p﹣p2
＝4．
【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n＝2﹣p，mn＝1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．
8．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．
（1）求k的值；
（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．
【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．
（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．
【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2
令y＝0，得x＝﹣4，即A （﹣4，0）
由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）
又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1
∴Q点坐标为（﹣2，1）
将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，
∴可得k＝﹣2；
（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ
∴四边形APOQ是菱形．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．
9．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．
（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？
（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）
【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；
（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．
【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．
答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．
（2）设我市森林面积年平均增长率为x，
依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，
解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，
20160÷（605000×10%）≈33%．
答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．
【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；
解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
10．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．
①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；
（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝wA+wB﹣3×20；
②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；
（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．
【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，
设直线AB解析式为：y＝kx+b，
将A（2，12）、B（8，6）代入得：
，解得，
∴y＝﹣x+14；
②当x≥8时，y＝6．
所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：
y＝；
（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．
①当2≤x＜8时，
wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x
∴w＝wA+wB﹣3×20
＝（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x2+7x+48；
当x≥8时，
wA＝6x﹣x＝5x；
wB＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x
∴w＝wA+wB﹣3×20
＝（5x）+（108﹣6x）﹣60
＝﹣x+48．
∴w关于x的函数关系式为：
w＝．
②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48＝30，解得x1＝9，x2＝﹣2，均不合题意；
当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．
∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．
（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，
则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，
∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．
①当2≤x＜8时，
wA＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x2+13x；
wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12
∴w＝wA+wB﹣3×m
＝（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x2+7x+3m﹣12．
将3m＝x+60代入得：w＝﹣x2+8x+48＝﹣（x﹣4）2+64
∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，
此时m＝，m﹣x＝；
②当x≥8时，
wA＝6x﹣x＝5x；
wB＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12
∴w＝wA+wB﹣3×m
＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m
＝﹣x+3m﹣12．
将3m＝x+60代入得：w＝48
∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．
综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．
【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．
11．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），
（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；
（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．
【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．
（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．
（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．
【解答】解：（1）AB1∥BC．
证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，
∵AC1＝AC，
∴∠AC1C＝∠ACC1，
∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，
∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA＝BC，
∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，
∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，
∴AB1∥BC．（5分）
（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）
（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．
证明：显然△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC＝∠B1AC1，
∴∠B1AB＝∠C1AC，
∵AC1＝AC，
∴∠AC1C＝∠ACC1，
∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，
∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA＝BC，
∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，
∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，
∴AB1∥BC．（13分）
【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．
（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
（2）在（1）的条件下，若cs∠PCB＝，求PA的长．
【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；
（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．
【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
∵P是优弧BAC的中点，
∴＝．
∴PB＝PC．
又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），
∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．
∴PA＝PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
（2）过点P作PE⊥AD于E，
由（1）可知，
当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，
则AE＝AD＝1．
∵∠PCB＝∠PAD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴cs∠PAD＝cs∠PCB＝，
∴PA＝．
【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．
13．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．
【分析】连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM＝MN，由相交弦定理得ME•MF＝MA•MB，就可求得EM，DE的值．
【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点
∴MN∥BC，MN＝BC＝1
又∵BD∥AC
∴∠DBA＝∠A＝60°
∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN
∴△BMD≌△AMN
∴DM＝MN＝1
连接OA交MN于点G，则OA⊥BC
∴OA⊥EF
∴EG＝FG，MG＝FN
由相交弦定理得：ME•MF＝MA•MB
∴EM（EM+1）＝1
解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）
∴DE＝DM﹣EM＝
∴DE（3﹣DE）＝1
解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．
【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．
14．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为 2 ；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是 相切 ；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；
（4）求OA的长．
[（2），（3），（4）中的结果保留π]．
【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；
（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；
（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出的长，
【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，
∴⊙P的半径＝2，
∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
故答案为：2，相切；
（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，
∵的长为＝π，NP＝2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．
（3）点N所经过路径长为＝2π，
S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．
（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．
在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣PA＝1，
于是sin∠NPH＝＝，
∴∠NPH＝30°．
∴∠MPA＝60°．
从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．
【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．
15．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．
（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；
（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；
（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？
【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；
（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；
（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．
【解答】（1）证明：连接C01
∵AC为⊙O2直径
∴∠AO1C＝90°
即CO1⊥AD，
∵AO1＝DO1
∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；
（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，
∵四边形AEDB内接于⊙O1，
∴∠E+∠ABD＝180°，
∵∠ABC+∠ABD＝180°，
∴∠ABC＝∠E，
又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，
∴∠E＝∠AO1C，
∴CO1∥ED，
又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，
∴O1C⊥AD，
（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：
连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，
∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，
∴∠B＝∠EO1C，
又∵∠E＝∠B，
∴∠EO1C＝∠E，
∴CO1∥ED，又ED⊥AD，
∴CO1⊥AD．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．
16．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．
（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；
（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；
（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．
（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．
【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；
（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；
（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．
【解答】解：（1）连接DE．
根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．
∵CE是直径，
∴∠CDE＝90°．
∴CD＝CE•sinE＝2Rsinα；
（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：
连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．
∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，
∴∠ABP′＝∠C′．
∵P′E是直径，
∴∠EAP′＝90°，
∴∠AP′E+∠E＝90°．
又∠ABP′＝∠E，
∴∠AP′E+∠C′＝90°，
即CD与PO1的位置关系是互相垂直；
（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．
【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．
注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．
17．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？
（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）所求概率为；
（2）方法①（树状图法）
共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）
∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，
∴贴法正确的概率为，
方法②（列表法）
共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），
∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，
∴贴法正确的概率为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
18．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于 40 ；
②当菱形的“接近度”等于 0 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；
（2）不合理，举例进行说明．
【解答】解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．
19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；
（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；
（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；
（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．
【解答】解：如下图所示：
（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，
或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．
（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．
【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．
20．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．
【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．
（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．
【解答】解：（1）DE＝BD
证明：连接AD，则AD⊥BC，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），
∴＝，
∴DE＝BD；
（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝4，
∵AB＝AC＝5，
∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，
∴BE＝4.8．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．
21．如图，AD是⊙O的直径．
（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 22.5 °，∠B2的度数是 67.5 °；
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，Bn∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．
【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．
【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；
（2）∵圆周被6等分
∴＝＝＝360°÷6＝60°
∵直径AD⊥B1C1
∴＝＝30°，
∴∠B1＝＝15°
∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°
∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；
（3）Bn∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，
则∠BnAD＝，
在直角△ABnD中，．
【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．
22．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜0 ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．
【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，
图象过点（0，1），c＝1，
图象过点（1，0），a+b+c＝0，
∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．
由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+（a+1）+1＞0，
∴a＞﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．
【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．
23．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．
（1）求降低的百分率；
（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？
【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；
（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；
（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．
【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，
解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；
（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；
（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．
答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
24．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a2﹣24ab+16b2＝0，并有＝2566，∠A使得方程x2﹣x•sinA+sinA﹣＝0有两个相等的实数根．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求线段BC的长．
【分析】（1）由题意可知：2a2b＝2566，则2a2b＝248，则a2b＝48．化简9a2﹣24ab+16b2＝0得：（3a﹣4b）2＝0，
则3a﹣4b＝0，即3a＝4b，则根据，可求得a与b的值；
（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．
又知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数
需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．
【解答】解：（1）由条件有，解得；
（2）又由关于x的方程的判别式△＝sin2A﹣sinA+＝（sinA﹣）2＝0，则sinA＝，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1＝60°或∠A2＝120° 2分
当∠A＝60°时，△ABC为正三角形，∠B＝∠C＝60°
于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中
有BD＝，CD＝
所以BC＝BD+DC＝．
当∠A＝120°时，△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C＝30°
同上方法可得BC＝14． 3分
所以线段BC的长应为或14．
【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用．
25．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为
Q＝﹣10；
（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；
（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）
【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；
（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．
【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，
解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，
所以市场新房均价为2千元．
则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．
（2）因为Q＝﹣10＝30万平方米，
P＝25x＝75万平方米，
所以市场新房均价上涨1千元则该市年新房销售总额减少了100000﹣30×（2000+1000）＝10000万元，
年新房积压面积增加了45万平方米．
建议：对于新房的销售应订一个合理的价格，不能过高，只有考虑成本与人们的购买力才能使利润最大．
【点评】主要考查了函数在实际问题中的应用．解题的关键是理解题意能准确的找到函数中对应的变量的值，根据题意求解．
26．如图所示，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（取1.73，结果保留整数．）
【分析】过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE＝BC＝30，在Rt△PDE中，利用∠DPE＝30°，PE＝30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC＝45°，PE＝30求得CE的长，利用CD＝DE﹢CE即可求得结果．
【解答】解：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．
∴PE＝BC＝30．
在Rt△PDE中，∵∠DPE＝30°，PE＝30，
∴DE＝PE×tan30°＝30×＝10．
在Rt△PEC中，∵∠EPC＝45°，PE＝30，
∴CE＝PE×tan45°＝30×1＝30．
∴CD＝DE﹢CE＝30﹢10＝30﹢17.3≈47（m）
答：建筑物CD的高约为47 m．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
27．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点．
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
【分析】（1）直接由图象就可得到A（﹣6，﹣2）、B（4，3）；
（2）把点A、B的坐标代入两函数的解析式，利用方程组求出k、b、m的值，即可得到两函数解析式；
（3）结合图象，分别在第一、二象限求出一次函数的函数值＞反比例函数的函数值的x的取值范围．
【解答】解：（1）由图象得A（﹣6，﹣2），B（4，3）．
（2）设一次函数的解析式为y＝kx+b，（k≠0）；
把A、B点的坐标代入得
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，
设反比例函数的解析式为y＝，
把A点坐标代入得，
解得a＝12，
∴反比例函数的解析式为．
（3）当﹣6＜x＜0或x＞4时一次函数的值＞反比例函数的值．
【点评】本类题目主要考查一次函数、反比例函数的图象和性质，考查待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，考查数形结合的数学思想，另外，还需灵活运用方程组解决相关问题．
28．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B（2，n）两点，且与x轴交于点C．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围．
【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y＝，再求出B的坐标是（2，﹣4），利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）把△AOB的面积分成两个部分求解S△AOB＝×2×4+×2×2＝6；
（3）当一次函数的值＜反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，因为经过A（﹣4，2），
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
因为B（2，n）在y＝上，
∴n＝＝﹣4，
∴B的坐标是（2，﹣4）
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝ax+b，得，
解得：，
∴y＝﹣x﹣2；
（2）y＝﹣x﹣2中，当y＝0时，x＝﹣2；
∴直线y＝﹣x﹣2和x轴交点是C（﹣2，0），
∴OC＝2
∴S△AOB＝×2×4+×2×2＝6；
（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
29．在平面直角坐标系中，小方格都是边长为1的正方形，图①、②、③、④的形状和大小均相同．请你解答下列问题（根据变换需要可适当标上字母）：
（1）写出图①中点A关于原点对称的点的坐标；
（2）指出图②通过怎样的变换可与图①重合，图④通过怎样的变换可与图③拼成一个矩形；
（3）请将图形①、②、③、④四部分密铺到图⑤中，在图⑤中画出图形，并将其中两块涂上阴影．
【分析】（1）通过原点对称的点作坐标特点可知点A关于原点对称的点的坐标为（4，﹣3）；
（2）根据平移和旋转的特点可知②与①重合；④与③拼成矩形；
（3）根据图形的特点密铺即可．
【解答】解：（1）点A关于原点对称的点的坐标为（4，﹣3）；
（2）变换中，平移时说出平移方向、单位长度；旋转时，
说出旋转中心、方向和旋转角度，并且能使变换后的图形
达到题目要求均给满分．②与①重合；④与③拼成矩形；
（3）如图，图形清楚、正确，涂上其中任意两块．
【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．
30．一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD＝25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH＝2.6m，∠FGB＝65°．
（1）求证：GF⊥OC；
（2）求EF的长（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin25°＝cs65°≈0.42，cs25°＝sin65°≈0.91）
【分析】（1）根据∠OCD＝25°，四边形ABCD是矩形，∠FGB＝65°，得出∠FMC＝65°，即可得出答案．
（2）根据矩形的判定得出EF＝NG，再利用解直角三角形的知识得出NG的长．
【解答】（1）证明：CD与FG交于点M，
∵∠OCD＝25°，四边形ABCD是矩形，∠FGB＝65°．
∴∠FMC＝65°，
∴∠MFC＝90°，
∴GF⊥CO；
（2）解：作GN⊥EH于点N，
∵FG∥EH，GF⊥CO；
∴四边形ENGF是矩形；
∴EF＝NG，
∵∠FGB＝∠NHG＝65°，
∴sin65°＝＝≈0.91，
∴EF＝NG＝2.366m≈2.4m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出四边形ENGF是矩形进而得出EF＝NG是解决问题的关键．
31．已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【分析】（1）把（﹣2，5）代入二次函数y＝x2+bx﹣3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；
（2）①不能，因为代入求出y1＝5，y2＝12，y3＝21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．
【解答】解：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y＝x2+bx﹣3得：5＝4﹣2b﹣3，
∴b＝﹣2，
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x＝1，
把x＝1代入得：y＝﹣4，
把x＝3代入得：y＝0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0，
答：b的值是﹣2，当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0．
（2）①答：当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m＝4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1＝5，y2＝12，y3＝21，
∵5+12＜21，
∴当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4得：
∴y1＝（m﹣1）2﹣4，y2＝（m+1﹣1）2﹣4，y3＝（m+2﹣1）2﹣4，
∴y1+y2﹣y3＝（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]＝（m﹣2）2﹣8，
∵m≥5，y1，y2，y3都是＞0的，
∴（m﹣2）2﹣8＞0，
∴y1+y2＞y3，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．
32．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档三个品种及乙厂家的精装、简装两个品种的盒装粽子．现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法求选购方案）；
（2）如果（1）中各选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档粽子被选中的概率是多少？
（3）现某中学准备购买两个品种的粽子共32盒（价格如下表所示），发给学校的“留守儿童”，让他们过一个愉快的端午节，其中指定购买了甲厂家的高档粽子，再从乙厂家购买一个品种，若恰好用了1200元，请问购买了甲厂家的高档粽子多少盒？
【分析】（1）用树状图即可列举出在甲、乙两个厂家中各选购一个品种的所有情况；
（2）看甲厂家的高档粽子被选中的情况占总情况的多少即可；
（3）根据总价钱和盒数的等量关系列出方程组求解即可．
【解答】解：（1）
；
（2）共有6种可能，甲厂家的高档粽子被选中的情况有2种，所以概率是＝；
（3）设购买了甲厂家的高档粽子x盒，乙厂家的粽子y盒．
或，
解得：（不合题意，舍去）或．
答：购买了甲厂家的高档粽子14盒．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．注意本题是不放回实验；应舍去不合实际意义的答案．
33．A口袋中装有2个小球，它们分别标有数字1和2；B口袋中装有3个小球，它们分别标有数字3，4和5．每个小球除数字外都相同．甲、乙两人玩游戏，从A，B两个口袋中随机地各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若和为奇数，则乙赢．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：画树状图：
或列表：
数字之和共有6种可能情况，其中和为偶数的情况有3种，和为奇数的情况有3种．
∴P（和为偶数）＝，P（和为奇数）＝，（6分）
∴符合甲赢条件的有3种，符合乙赢条件的有3种，游戏对甲、乙双方是公平的．（8分）
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
34．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5°，∠PBA＝26.5°．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.5°＝0.62，cs38.5°＝0.78，tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cs26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）
【分析】设PD＝x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB＝80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．
【解答】解：设PD＝x米，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝∠BDP＝90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD＝，
∴AD＝≈＝x，
在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，
∴DB＝≈＝2x，
又∵AB＝80.0米，
∴x+2x＝80.0，
解得：x≈24.6，即PD≈24.6（米），
∴DB＝49.2（米）．
答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．
35． “清明节”前夕，我县某校决定从八年级（一）班、（二）班中选一个班去杨闇公烈士陵园扫墓，为了公平，有同学设计了一个方法，其规则如下：在一个不透明的盒子里装有形状、大小、质地等完全相同的3个小球，把它们分别标上数字1、2、3，由（一）班班长从中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；在一个不透明口袋中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，把它们分别标上数字1、2、3、4，由（二）班班长从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选（一）班去；若两个数字的和为偶数，则选（二）班去．
（1）用树状图或列表的方法求八年级（一）班被选去扫墓的概率；
（2）你认为这个方法公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的方法．
【分析】（1）列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为奇数的情况占所有情况的多少即可；
（2）两个概率相等即公平．
【解答】解：（1）
共有12种情况，两个数之和为奇数的有6种情况，所以八年级（一）班被选去扫墓的概率是＝；
（2）公平，两个班被选去扫墓的概率均为．
【点评】解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
36．如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，csA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cs260°＝1，…试探求sinA、csA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
【分析】利用锐角三角函数的概念：sinA＝，csA＝，tanA＝对（1）sin2A+cs2A＝1；（2）用tanA＝进行证明．
【解答】解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cs2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，csA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cs2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，csA＝，
∴tanA＝＝，
＝．
【点评】本题通过利用勾股定理和锐角三角函数的概念来对锐角的一般关系：
（1）sin2A+cs2A＝1；（2）tanA＝的证明推导．
37．已知一只口袋中放有x只白球和y只红球，这两种球除颜色以外没有任何区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从袋中取一只球，取出白球的概率是．
（1）试写出y与x的函数关系式；
（2）当x＝3时，第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法，求两次摸到都是白球的概率．
【分析】（1）可看成白球占总数的是，把相应字母代入求解即可；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）由题可知：，即3x+3y＝4x，所以y与x的函数关系式为y＝；
（2）由（1）可知，当x＝3时，y＝1．袋中有3只白球和1只红球．
由上面列表可知：共有12种等可能的结果，其中两次都是白球的占6种，
所以两次摸到都是白球的概率是．
【点评】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
38．已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？ 是 （填“是”或“否”），∠BOE＝ 120 度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB＝AB′，AC＝AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD与△ACE全等；根据三角形的内角和等于180°求出∠ABD与∠AEC的度数，再根据旋转角为20°求出∠BAE的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；
②先利用“边角边”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE＝180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE＝60°，从而得解；
（2）先求出B′C′∥BC，证明△AB′C′是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，然后分0°＜θ≤30°与30°＜θ＜180°两种情况求解．
【解答】解：（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵θ＝20°，
∴∠ABD＝∠AEC＝（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAE＝θ+∠BAC＝20°+60°＝80°，
∴在四边形ABOE中，∠BOE＝360°﹣80°﹣80°﹣80°＝120°；
②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，
∴∠BAD＝∠CAE＝θ，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD＝180°，
∴∠AEC+∠ABD+∠BAD＝180°，
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE＝360°，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠DAE+∠BOE＝180°，
又∵∠DAE＝60°，
∴∠BOE＝120°；
（2）如图，∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴＝＝，
∴B′C′∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AB′C′是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE），
＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD），
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC），
＝180°﹣（60°+60°），
＝60°，
当0°＜θ＜30°时，∠BOE＝∠BOC＝60°，
当θ＝30°时，点B，点O，点E共线．
当30°＜θ＜180°时，∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键．
39．如图1，在△ABC中，AB＝BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC＝∠AEP＝α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP＝∠EPA；
（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据AB＝BC可证∠CAB＝∠ACB，则在△ABC与△AEP中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可证得；
（2）由（1）知∠EPA＝∠EAP，则AC＝DP，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；
（3）可以证明△EAM≌△EPN，从而得到EM＝EN．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC＝∠AEP，∠BAC＝∠EAP，
∴∠ACB＝∠APE，
在△ABC中，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴∠EPA＝∠EAP．
（2）解：▱APCD是矩形．理由如下：
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC＝2EA，PD＝2EP，
∵由（1）知∠EPA＝∠EAP，
∴EA＝EP，
则AC＝PD，
∴▱APCD是矩形．
（3）解：EM＝EN．
证明：∵EA＝EP，
∴∠EPA＝＝＝90°﹣α，
∴∠EAM＝180°﹣∠EPA＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
由（2）知∠CPB＝90°，F是BC的中点，
∴FP＝FB，
∴∠FPB＝∠ABC＝α，
∴∠EPN＝∠EPA+∠APN＝∠EPA+∠FPB＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠EAM＝∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP＝∠MEN，
∴∠AEP﹣∠AEN＝∠MEN﹣∠AEN，即∠MEA＝∠NEP，
在△EAM和△EPN中，
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM＝EN．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及矩形的判定方法，在旋转中找到题目中存在的相等的线段以及相等的角是解决本题的关键．
40．在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 （1，1） ，△ABC的面积是 4 ；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，试判断四边形AB1A1B是何种特殊四边形，请说明理由；
（3）请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）此点应在AB的垂直平分线上，在第一象限，腰长又是无理数，只有是点（1，1），从A，B向x轴引垂线，把所求的三角形的面积分为一个直角三角形和一个直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积．
（2）旋转180°后可得新四边形的对角线互相平分，那么先判断是平行四边形，然后根据等腰三角形的性质得到对角线相等，那么所求的四边形是矩形．
（3）根据平行四边形的性质，结合（1）中的方法解答．
【解答】解：（1）（1，1），4；
（2）四边形AB1A1B是矩形．
∵AC＝A1C，BC＝B1C，AC＝BC
∴AA1＝BB1
∴四边形AB1A1B是矩形
（3）∵S△ABC＝S梯形ABDE+S矩形BDCF﹣（S△AEC+S△BCF）＝×（1+3）×2+3×1﹣×1×3﹣×1×3＝4，
∴四边形ABOP的面积等于8．
同（1）中的方法得到三点A，B，O构成的面积为6．当P在O左边时，△APO的面积应为2，高为4，那么底边长为1，所以P（﹣1，0）；
故点P的坐标为（﹣1，0）．
【点评】到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形．
41．为了探索三角形的内切圆半径r与周长L、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形（图甲）和直角三角形（图乙）进行研究．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F．
（1）用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长L和面积S．（结果精确到0.1厘米）
（2）观察图形，利用上表实验数据分析、猜测特殊三角形的r与L、S之间关系，并证明这种关系对任意三角形（图丙）是否也成立？
【分析】（1）首先运用刻度尺进行准确测量，然后根据周长等于三边之和进行计算，根据面积等于分割成的三个三角形的面积进行计算；
（2）根据表格中的数据，易猜想得到r＝．再根据三角形的总面积等于分割成的三部分的面积进行计算证明．
【解答】解：（1）
（2）由图表信息猜测，得r＝（或者2s＝Lr）并且此关系对一般三角形都成立．
证明：在任意△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，连接OA、OB、OD，得
S＝BC•r+AC•r+AB•r＝Lr
∴r＝．
【点评】此题导出了三角形的内切圆半径的一个公式，即三角形的内切圆的半径等于面积的2倍除以周长．
42．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝，BE＝2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
【分析】（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD＝CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×4＝2，
设OC＝x，
∵BE＝2，
∴OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x＝4，
∴OA＝OC＝4，OE＝2，
∴AE＝6，
在Rt△AED中，AD＝＝4，
∴AD＝CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形FADC是菱形；
（2）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC＝∠FCA+∠OCA，
即∠OCF＝∠OAF＝90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
43．如图，已知AB为圆O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线交圆于点C，CD∥AB，且交AO的延长线于点D．EO：OC＝1：2，CD＝4，求圆O的半径．
【分析】根据E为AB的中点，则OE⊥AB，根据CD∥AB，可以得到△AEO∽△DCO，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AE，在Rt△AOE中，根据勾股定理，就得到半径．
【解答】解：∵E是AB的中点，
∴OE⊥AB，即∠3＝90°，（1分）
∵AB∥CD，∴∠4＝90°，（2分）
∵∠1＝∠2，（3分）
∴△AOE∽△DOC，（4分）
∴AE：DC＝OE：OC＝1：2，（5分）
∴AE＝CD＝2，（6分）
又∵OA＝OC＝2OE，（7分）
而AE2+OE2＝OA2，
∴OE2+4＝（2OE）2，
∴OE＝，（8分）
∴圆O的半径OA＝2OE＝×2＝．（9分）
【点评】本题主要考查了垂径定理，利用勾股定理把求半径的问题转化为解方程的问题．
44．（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；
（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
【分析】（1）根据等边三角形和外角的性质，可求∠AEB＝60°；
（2）方法同一，只是∠AEB＝∠8﹣∠5，此时已不是外角，但仍可用外角和内角的关系解答．
【解答】解：（1）如图3，
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
且点O是线段AD的中点，
∴OD＝OC＝OB＝OA，∠1＝∠2＝60°，
∴∠4＝∠5．
又∵∠4+∠5＝∠2＝60°，
∴∠4＝30°．
同理∠6＝30°．
∵∠AEB＝∠4+∠6，
∴∠AEB＝60°．
（2）如图4
∵△DOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD＝OC，OB＝OA，∠1＝∠2＝60°．
又∵OD＝OA，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴∠4＝∠5，∠6＝∠7．
∵∠DOB＝∠1+∠3，
∠AOC＝∠2+∠3，
∴∠DOB＝∠AOC．
∵∠4+∠5+∠DOB＝180°，∠6+∠7+∠AOC＝180°，
∴2∠5＝2∠6，
∴∠5＝∠6．
又∵∠AEB＝∠8﹣∠5，∠8＝∠2+∠6，
∴∠AEB＝∠2+∠6﹣∠5＝∠2+∠5﹣∠5＝∠2，
∴∠AEB＝60°．
【点评】此题主要考查等边三角形和外角的性质．
45．不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．
（1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
【分析】（1）考查了概率中的求法，解题时注意采用方程的方法比较简单；
（2）采用列表法或树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．
【解答】解：（1）设蓝球个数为x个，（1分）
则由题意得，（2分）
x＝1，
答：蓝球有1个；（3分）
（2）
∴两次摸到都是白球的概率＝＝．
【点评】树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．
解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
46．如图，AB、CD是⊙O的弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN＝∠CNM．求证：AB＝CD．
【分析】连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AM＝AB，CN＝CD，再由∠AMN＝∠CNM得出∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，再由OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM＝CN，由此即可得出结论．
【解答】证明：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
∵，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
47．袋中有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．
（1）求从袋中任意取出1球是红球的概率；
（2）先从袋中任意取出1球，然后放回，再从袋中任意取出1球，请用画树状图或列表格法求两次都取到红球的概率．
【分析】根据概率的求法，找准两点：（1）全部情况的总数；（2）符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）任意取出1球的取法有3种，其中是红球的取法有2种．（1分）
则任意取出1球是红球的概率为．（3分）
（2）依题意，任意取出1球，然后放回，再从中任意取出1球的树状图如下：
（6分）
则两次都取到红球的概率为．（8分）
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
48．已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．
（1）判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；
（2）将直线l绕C点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点，F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明．
【分析】根据垂径定理得到CD⊥AB，∠CFD＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB＝∠FDC．
【解答】（1）解：∠CEB＝∠FDC；
理由：∵CD是⊙O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°．
∴∠FDC+∠ECD＝90°．
∴∠CEB＝∠FDC．
（2）证明：如图②
∵CD是⊙O的直径，点C为的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CEB+∠ECD＝90°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD＝90°．
∴∠FDC+∠ECD＝90°．
∴∠CEB＝∠FDC．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，等角的余角相等等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
49．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10（海里），
在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．
答：此时船C与船B的距离是20海里．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
50．一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字：1，2，3，4，5，6．如果用小刚抛掷正方体骰子朝上的数字x，小强抛掷正方体骰子朝上的数字y来确定点P（x，y），那么他们各抛掷一次所确定的点P落在已知直线y＝﹣2x+7图象上的概率是多少？
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：由题意可得1≤﹣2x+7≤6，化为不等式组解得≤x≤3.1≤x≤6，且x为正整数，
∴x＝1，2，3．要使点P落在直线y＝﹣2x+7图象上，则对应的y＝5，3，1，
∴满足条件的点P有（1，5），（2，3），（3，1）抛掷骰子所得P点的总个数为36，
∴点P落在直线y＝﹣2x+7图象上的概率P＝＝，
答：点P落在直线y＝﹣2x+7图象上的概率是．
【点评】本题巧妙地把概率、不等式组、一次函数等知识结合在一起，出题思路新颖，别具﹣格．有利于考查学生灵活应用基础知识解决问题的能力．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
51．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD＝60°，坡长AB＝20m，为加强水坝强度，降坝底从A处后水平延伸到F处，使新的背水坡角∠F＝45°，求AF的长度（结果精确到1米，参考数据：1.414，1.732）．
【分析】过B作DF的垂线，设垂足为E；可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF＝EF﹣AE，即可得出AF的长度．
【解答】解：过B作BE⊥DF于E．
Rt△ABE中，AB＝20m，∠BAE＝60°，
∴BE＝AB•sin60°＝20×＝30，
AE＝AB•cs60°＝20×＝10．
Rt△BEF中，BE＝30，∠F＝45°，
∴EF＝BE＝30．
∴AF＝EF﹣AE＝30﹣10≈13，
即AF的长约为13米．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．
52．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【分析】（1）由OD＝OB得∠1＝∠ODB，则根据三角形外角性质得∠DOC＝∠1+∠ODB＝2∠1，而∠A＝2∠1，所以∠DOC＝∠A，由于∠A+∠C＝90°，所以∠DOC+∠C＝90°，则可根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）由∠A＝60°得到∠C＝30°，∠DOC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD＝OD＝2，然后利用阴影部分的面积＝S△COD﹣S扇形DOE
和扇形的面积公式求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠1＝∠ODB，
∴∠DOC＝∠1+∠ODB＝2∠1，
而∠A＝2∠1，
∴∠DOC＝∠A，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠DOC+∠C＝90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝60°，
∴∠C＝30°，∠DOC＝60°，
在Rt△DOC中，OD＝2，
∴CD＝OD＝2，
∴阴影部分的面积＝S△COD﹣S扇形DOE
＝×2×2﹣
＝2﹣．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形面积的计算．
53．如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP＝60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP＝30°，求这条河的宽．（结果保留根号）
【分析】应合理应用∠CAQ的度数，CD的长度，所以过点D作CA的平行线得到平行四边形．过点D向对边引垂线，得到直角三角形，进而利用三角函数值求得河宽．
【解答】解：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F．（1分）
∵PQ∥MN，
∴四边形AECF为矩形．
∴EC＝AF，AE＝CF．（2分）
设这条河宽为x米，
∴AE＝CF＝x．
在Rt△AED中，
∵∠ADP＝60°，
∴ED＝＝＝x．（4分）
∵PQ∥MN，
∴∠CBF＝∠BCP＝30°．
∴在Rt△BCF中，
BF＝＝＝x．（6分）
∵EC＝ED+CD，AF＝AB+BF，
∴x+110＝50+x．
解得x＝30．
∴这条河的宽为30米．（10分）
【点评】本题考查解直角三角形的应用．难点是作出辅助线，利用三角函数求解．
54．如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
（参考数据：sin67.4°≈，cs67.4°≈，tan67.4°≈）
【分析】根据sin∠DCB＝，得出CD的长，再根据矩形的性质得出DF＝AB＝8，AF＝BD＝6，进而得出拉线CDE的总长L．
【解答】解：在Rt△DBC中，sin∠DCB＝，
∴CD＝＝6.5（m）．
作DF⊥AE于F，则四边形ABDF为矩形，
∴DF＝AB＝8，AF＝BD＝6，
∴EF＝AE﹣AF＝6，
在Rt△EFD中，ED＝＝10（m）．
∴L＝10+6.5＝16.5（m）
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及矩形的性质，得出CD的长度以及EF的长是解决问题的关键．
55．如图，已知正三角形的边长2a
（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
（2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？
（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论；
（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
【分析】正多边形的边心距，半径，边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．
【解答】解：（1）设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC＝a；
则S圆环＝π•OB2﹣π•OD2＝π（OB2﹣OD2）＝BD2•π＝πa2．
（2）只需测出弦BC的长（或AC，AB）．
（3）结果一样，即S圆环＝πa2．
（4）如图所示，
AB为正n边形的一边，正n边形的中心为O，AB与小圆切于点C，连接OA，OC，
则OC⊥AB，AC＝AB＝a，
所以在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2＝a2＝OA2﹣OC2，
则S圆环＝S大圆﹣S小圆＝πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝πa2．
即S圆环＝πa2．
【点评】正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径，外接圆半径和高，中心角之间的计转化为解直角三角形．本题是巧用了勾股定理．
56．（创新学习）如图，等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．
设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．要求“正度”的值是非负数．
同学甲认为：可用式子|a﹣b|来表示“正度”，|a﹣b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同学乙认为：可用式子|α﹣β|来表示“正度”，|α﹣β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．
【分析】将甲乙两同学的推测进行推理，若代入特殊值不成立，则推理不成立．
【解答】解：（1）同学乙的方案较为合理．因为|α﹣β|的值越小，α与β越接近60°，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等．
同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等．如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2﹣4|＝2≠|4﹣8|＝4．
（2）对同学甲的方案可改为用，等（k为正数）来表示“正度”．
（3）还可用|α﹣60°|，|β﹣60°|，|α+β﹣120°|，等来表示“正度”．
【点评】此题是以到开放性问题，体现了探索发现的过程：发现问题，作出假设，进行验证，加以证明．
57．如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD＝AE；（2）AB•AE＝AC•DB．
【分析】（1）要证明AD＝AE，只需证明∠ADE＝∠AED；根据三角形的外角的性质和弦切角定理即可证明；
（2）要证明AB•AE＝AC•DB，只需证明，根据△APB∽△CPA，得，根据△PBD∽△PEA，得，联立两式，可得出所求的结论．
【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠APD+∠PAD，∠AED＝∠CPE+∠C，
又∠APD＝∠CPE，∠PAD＝∠C．
∴∠ADE＝∠AED．
∴AD＝AE．
（2）∵∠APB＝∠CPA，∠PAB＝∠C，
∴△APB∽△CPA，得．
∵∠APE＝∠BPD，∠AED＝∠ADE＝∠PDB，
∴△PBD∽△PEA，得．
∴．
∴AB•AE＝AC•DB．
【点评】本题考查了弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练运用相似三角形的判定和性质是解答（2）题的关键．
58．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1：2．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【解答】解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四边形EGHD是矩形，
∴ED＝GH，
在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），
在Rt△FGE中，i＝1：2＝，
∴FG＝2EG＝16（米），
∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）；
（2）加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长＝×（2+10）×8×400＝19200（立方米）．
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．
59．我市长途客运站每天6：30﹣7：30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
【分析】（1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏；
（2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格．
【解答】解：（1）三辆车按开来的先后顺序为：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能．（3分）
（2）根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：
（6分）
由表格可知：小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是．
所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大．（8分）
【点评】此题的文字叙述比较多，还涉及到了两个选择方案，所以要认真审题，理解题意，采用列举法，注意做到不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
60．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2＝﹣2，x1x2＝k+1，
x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，
∴k的值为﹣1或0．
【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．
61．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．注意概率在0和1之间的事件为随机事件．
【解答】解：（1）“3点朝上”出现的频率是，
“5点朝上”出现的频率是；
（2）小颖的说法是错误的．这是因为：“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
小红的判断是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次；
（3）列表如下：
∵点数之和为3的倍数的一共有12种情况，总数有36种情况，
∴P（点数之和为3的倍数）＝．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意可能事件可能发生，也可能不发生．
62．甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3，4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？
【分析】此题需要三步完成，每取一个小球为一步，第一步有两个选择，第二步有三个选择，第三步有两个选择，所以采用树状图可以表示出所有可能，共12种可能情况．
【解答】解：根据题意，画出如下的“树形图”：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有12个．（2分）
（1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的结果有4个，即1，4，6；2，3，6；2，4，7；2，5，6．
所以P（两个偶数）＝＝．（4分）
（2）取出的3个小球上全是奇数的结果有2个，即1，3，7；1，5，7．所以P（三个奇数）＝．（6分）
【点评】此题考查的是用树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
63．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB＝3，∠ABE＝60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE＝∠AEO，再由OA＝OE可知∠EAO＝∠AEO，故∠DAE＝∠EAO，故可得出结论；
（2）①先根据∠ABE＝60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长；
②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA＝OB可知S△AOE＝S△BOE＝S△ABE求出△AOE的面积，由S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OE．
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE，
∴∠DAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠DAE＝∠EAO，
∴AE平分∠DAC；
（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠EAO＝30°，
∴∠DAE＝∠EAO＝30°，
∵AB＝3，
∴AE＝AB•cs30°＝3×＝，BE＝AB＝，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE＝30°，AE＝，
∴AD＝AE•cs30°＝×＝；
②∵∠EAO＝∠AEO＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EAO﹣∠AEO＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵OA＝OB，
∴S△AOE＝S△BOE＝S△ABE，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝S扇形OAE﹣S△ABE═﹣×××＝﹣＝．
【点评】本题考查的是切线的性质及扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
64．2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
【分析】（1）设路程，根据速度不变列方程求解；
（2）结合（1）中的结果，列算式运输费用＝运输成本+时间成本求解；
（3）设这批货物有y车．根据总费用＝运到宁波港的费用+再运到B地的费用列方程求解．
【解答】解：（1）设A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x千米，
由题意得，
解得x＝180．
∴A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2）1.8×180+28×2＝380（元），
∴该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有y车，
由题意得y[800﹣20×（y﹣1）]+380y＝8320，
整理得y2﹣60y+416＝0，
解得y1＝8，y2＝52（不合题意，舍去），
∴这批货物有8车．
【点评】此题要正确理解题意．题目所给信息较多，要从冗长的题目中找到所需条件，特别是第三问中，总费用包括运到宁波港的费用和从宁波港运到B地的费用之和．
65．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额﹣进价＝利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
【解答】解：（1）
（2）根据题意，得
200×（80﹣50）+（200+10x）×（80﹣x﹣50）+（400﹣10x）（40﹣50）＝9000
整理得10x2﹣200x+1000＝0，
即x2﹣20x+100＝0，
解得x1＝x2＝10
当x＝10时，80﹣x＝70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润＝售价﹣进价．
66．一个不透明口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，这些球除颜色外没有任何其他区别现．从中任意摸出一个球．
（1）计算摸到的是绿球的概率．
（2）如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？
【分析】（1）根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
（2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．
【解答】解：（1）根据题意分析可得：口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，共18个球，故P（摸到绿球）＝；
（2）设需要在这个口袋中再放入x个绿球，得：，
解得：x＝2．
所以需要在这个口袋中再放入2个绿球．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
67．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60度．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．
【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC＝60°
（2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC∴∠P＝90°﹣∠AOC＝30°∴PO＝2 CO＝8
（3）如图，当S△MAO＝S△CAO时，动点M的位置有四种．
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，
④当点M运动到C时，M与C重合，
求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．
【解答】解：（1）∵在△ACO中，∠OAC＝60°，OC＝OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC＝60°．
（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC＝∠AOC＝60°，
∴∠P＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴在Rt△POC中，CO＝PO＝4，
则PO＝2CO＝8；
（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．
易得S△M1AO＝S△CAO，∠AOM1＝60°
∴
∴当点M运动到M1时，S△MAO＝S△CAO，
此时点M经过的弧长为．
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，易得S△M2AO＝S△CAO．
∴∠AOM1＝∠M1OM2＝∠BOM2＝60°
∴或
∴当点M运动到M2时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为．
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，易得S△M3AO＝S△CAO
∴∠BOM3＝60°，
∴或
∴当点M运动到M3时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为．
④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO＝S△CAO，
此时点M经过的弧长为或．
综上所述，满足条件的弧长为π或π或π或π．
【点评】本题利用了等边三角形的判定和性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质求解．
68．如图所示，已知抛物线C0的解析式为y＝x2﹣2x
（1）求抛物线C0的顶点坐标；
（2）将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、∁n（n为正整数）
①求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标；
②试确定抛物线∁n的解析式．（直接写出答案，不需要解题过程）
【分析】（1）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后即可得到顶点坐标；
（2）①先求出原抛物线与x轴的交点坐标，再根据向右平移横坐标加，纵坐标不变求出交点A1、A2的坐标即可；
②根据原抛物线的顶点坐标求出抛物线∁n的顶点坐标，然后利用顶点式解析式的形式写出即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线C0的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）①当y＝0时，则有x2﹣2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，
则O（0，0），A1（2，0），
∵将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，
∴此时抛物线C0与x轴的交点O（0，0）、A1（2，0）也随之向右平移2个单位，
∴抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标分别为：A1（2，0）、A2（4，0）；
②抛物线∁n的顶点坐标为（1+2n，﹣1），
则抛物线∁n的解析式为：y＝[x﹣（1+2n）]2﹣1，
即y＝x2﹣（4n+2）x+4n2+4n．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的坐标的移动解答图象的移动是解题的关键，平移规律为“左加右减，上加下减”．
69．如图，A，B，C，D四点在⊙O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD＝10，OE＝13，且∠EDC＝∠ABC．
（1）求证：；
（2）计算CE•BE的值；
（3）探究：BE的取值范围．
【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得△ABE和△DCE中的两组对应角相等，再根据相似三角形的判定和性质进行证明；
（2）根据已知条件可以计算出DE和AE的长，再根据割线定理得到CE•BE的长；
（3）根据切线的性质和AE的长确定它的取值范围．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠A；
∴△CDE∽△ABE；
∴．
（2）解：根据题意得DE＝13﹣5＝8，AE＝10+8＝18；
根据割线定理得CE•BE＝AE•DE＝144．
（3）解：若点B和点C重合，即BE和圆相切，则根据勾股定理得BE＝12；
∴12≤BE＜18．
【点评】此题能够综合考查圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、割线定理、切线的性质定理和勾股定理．
70．如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB＝BC＝6，求：AD，AE的长．
【分析】连接OD；设AE＝x，根据切割线定理和勾股定理列方程求得x的值，再进一步求得AD的长．
【解答】解：连接OD，则∠ADO＝90°；
又∵∠ABC＝90°，∠A＝∠A；
∴△ADO∽△ABC；
∴；
设AE＝x，则有：，；
又∵AD2＝x（x+6），∴；
整理，得：x2+4x﹣12＝0；
∴x＝2，x＝﹣6（舍）；
即：AE＝2，．
【点评】解决此题的关键是能够综合运用切割线定理和勾股定理列方程求解．
71．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
【分析】（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；
（2）连接OE，由AE＝OD＝3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；
（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．
【解答】解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝＝，
∴OD＝3；
（2）连接OE，
∵AE＝OD＝3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，
∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴＝，即＝，
∴AC＝7.5，
∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，
∴S阴影＝S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
＝×2×3+×3×4.5﹣
＝3+﹣
＝．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
72．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．
（1）求证：OF•DE＝OE•2OH；
（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD＝2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
【分析】（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB＝90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD＝2OH，则可证得OF•DE＝OE•2OH；
（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD＝2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB＝2OH，可求得∠BOH＝60°，继而可求得BH的长，又由S阴影＝S扇形GOB﹣S△OHB，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵BD是直径，
∴∠DAB＝90°．
∵FG⊥AB，
∴DA∥FO．
∴△FOE∽△ADE．
∴．
即OF•DE＝OE•AD．
∵O是BD的中点，DA∥OH，
∴AD＝2OH．
∴OF•DE＝OE•2OH．
（2）解：∵⊙O的半径为12，且OE：OF：OD＝2：3：6，
∴OE＝4，ED＝8，OF＝6．
代入（1）中OF•DE＝OE•AD，得AD＝12．
∴OH＝AD＝6．
在Rt△OHB中，OB＝2OH，
∴∠OBH＝30°，
∴∠BOH＝60°．
∴BH＝BO•sin60°＝12×＝6．
∴S阴影＝S扇形GOB﹣S△OHB＝﹣×6×6＝24π﹣18．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线等分线段定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意证得△FOE∽△ADE是解此题的关键．
73．如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（﹣3，﹣3）、（﹣3+，﹣2）．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A1B1C1，再以x轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形，得△A2B2C2．
（1）直接写出点C1、C2的坐标；
（2）能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△ABC的位置发生变化时，△A2B2C2、△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变．
①当△ABC向上平移多少个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合并直接写出此时点C的坐标；
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少点C的坐标又是什么？
【分析】（1）直接根据轴对称的性质：纵坐标不变横坐标变为原来的相反数可求；
（2）利用旋转的性质可知：旋转的度数为180°能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置；
（3）根据图形和平移的性质可知①当△ABC向上平移2个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为（﹣3+，0）；
利用旋转的性质可知②当α＝180时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为（﹣3﹣，0）．
【解答】
解：（1）点C1、C2的坐标分别为（3﹣，﹣2）、（3﹣，2）．（2分）
（2）能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置，所旋转的度数为180°；（4分）
（3）①当△ABC向上平移2个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为（﹣3+，0）（如图1）；（6分）
②当α＝180时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为（﹣3﹣，0）（如图2）．（9分）
【点评】本题考查轴对称和旋转、平移的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．掌握旋转，平移和轴对称的性质是解题的关键．
74．某商场在“五•一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售．这样每天所获得的利润恰是销售收入的，如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元．
（1）求第三天的销售收入是多少万元？
（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？
【分析】（1）直接根据这样每天所获得的利润恰是销售收入的进行计算；
（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则根据第一天的4万元增长到6.25万元列方程求解．
【解答】解：（1）1.25÷＝6.25（万元）
所以第三天的销售收入是6.25万元；
（2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则4（1+m）2＝6.25．
解得m1＝25%，m2＝﹣2.25%（不合题意舍去）．
答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率约是25%．
【点评】理解每天的销售收入和利润之间的关系，能够正确运用增长率表示每一天的销售收入．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
75．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
要使顾客得到实惠，应取x＝5．
答：每千克水果应涨价5元．
【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额＝每千克盈利×日销售量．
76．一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元；
（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和．
【分析】（1）因为使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w＝10x+90，所以y＝xw＝x（10x+90）；要求前几个月的利润和＝700万元，可令y＝700，利用方程即可解决问题；
（2）因为原来每月利润为120万元，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等，所以有y＝120x，解之即可求出答案；
（3）因为使用回收净化设备后第一、二年的利润＝12×（10×12+90），求出它们的和即可．
【解答】解：（1）y＝xw＝x（10x+90）＝10x2+90x，
10x2+90x＝700，
解得：x1＝5或x2＝﹣14（不合题意，舍去），
答：前5个月的利润和等于700万元；
（2）10x2+90x＝120x，
解得：x1＝3，x2＝0（不合题意，舍去），
答：当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等；
（3）第一年全年的利润是：12（10×12+90）＝2520（万元），
前11个月的总利润是：11（10×11+90）＝2200（万元），
∴第12月的利润是2520﹣2200＝320（万元），
第二年的利润总和是12×320＝3840（万元），
2520+3840＝6360（万元）．
答：使用回收净化设备后两年的利润总和是6360万元．
【点评】本题需正确理解题意，找出数量关系，列出函数关系式进一步求解．
77．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这两段铁丝的总长．
【分析】直接根据围成的一个正五边形和一个正六边形的周长相等列出方程求解．
【解答】解：∵用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，
∴5（x2+17）＝6（x2+2x）
整理得x2+12x﹣85＝0，
（x+6）2＝121，
解得x1＝5，x2＝﹣17（不合题意，舍去）．
5×（52+17）×2＝420cm．
答：这两段铁丝的总长为420cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，实质上是正五边形和正六边形的周长相等．
78．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．
（2）根据的函数解析式，令x＝0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y＝0，可求得抛物线与x轴交点坐标．
（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式y＝a（x+1）2+4
将B（2，﹣5）代入得：a＝﹣1
∴该函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3
（2）令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）
令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位
故A'（2，4），B'（5，﹣5）
∴S△OA′B′＝×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5＝15．
【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象交点、图形面积的求法等知识．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
79．如果关于x的方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的根的情况．
【分析】根据题意：要使方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，必有△＜0，解可得m的取值范围，将其代入方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的△公式中，判断△的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，
∴△＝[﹣2（m+2）]2﹣4m（m+5）＝4（m2+4m+4﹣m2﹣5m）＝4（4﹣m）＜0．
∴m＞4．
对于方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0．
当m＝5时，方程有一个实数根；
当m≠5时，△1＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m（m﹣5）＝12m+4．
∵m＞4，
∴△1＝12m+4＞0，方程有两个不相等的实数根．
答：当m＝5时，方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0有一个实数根；
当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．
【点评】主要考查一元二次方程根与系数之间的关系及根的情况的判断公式的使用；要求学生熟练掌握．
本题易错点是忽视对第二个方程是否是一元二次方程进行讨论，这个方程可能是一元一次方程．
80．阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 x1＝﹣3，x2＝2 ．
【分析】当绝对值内的数不小于0时，可直接去掉绝对值，而当绝对值内的数为负数时，去绝对值时，绝对值内的数要变为原来的相反数．本题要求参照例题解题，要先对x的值进行讨论，再去除绝对值将原式化简．
【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
即x2﹣x＝0
解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝1（不合题意，舍去）；
（2）当x＜3时，原方程化为x2+x﹣3﹣3＝0
即x2+x﹣6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2．
所以原方程的根是x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题考查了绝对值的性质和一元二次方程的解法，另外去绝对值时要注意符号的改变．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
81．先阅读，再填空解答：
方程x2﹣3x﹣4＝0的根是：x1＝﹣1，x2＝4，则x1+x2＝3，x1x2＝﹣4；
方程3x2+10x+8＝0的根是：x1＝﹣2，，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
（1）方程2x2+x﹣3＝0的根是：x1＝ ﹣ ，x2＝ 1 ，则x1+x2＝ ﹣ ，x1x2＝ ﹣ ；
（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c为常数）的两个实数根，那么x1+x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2＝ ﹣ ，x1x2＝ ；
（3）如果x1，x2是方程x2+x﹣3＝0的两个根，根据（2）所得结论，求x12+x22的值．
【分析】（1）解方程求出方程的两个根，再利用根与系数的关系求出两根之和，与两根之积；
（2）根据根与系数的关系可知x1+x2＝﹣，x1x2＝；
（3）利用完全平方公式把x12+x22变化成（x1+x2）2﹣2x1x2的形式，再利用根与系数的关系求值．
【解答】解：（1）∵2x2+x﹣3＝0，
∴（2x+3）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故填空答案：，1，，﹣．
（2）x1+x2＝﹣，x1x2＝；
故填空答案：，．
（3）解：根据（2）可知：
x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，
则x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）
＝7．
【点评】本题是一个信息题，通过阅读题目所给材料，然后根据材料解决题目问题，注意题目中每个小题的联系，在解题的过程中善于发现规律是解决本题的关键．
82．已知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE＝AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a＝90°时，连接BE、DF，猜想AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．
【分析】（1）根据正方形的性质，AB＝AD，由AE＝AF，可得BE＝DF且BE⊥DF；
（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE＝BD，BD＝AD，解答出即可；
（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF＝BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状；
【解答】解：（1）BE＝DF且BE⊥DF；
（2）在△DFA和△BEA中，
∵∠DAF＝90°﹣∠FAB，∠BAE＝90°﹣∠FAB，
∴∠DAF＝∠BAE，
又AB＝AD，AE＝AF，
∴△DFA≌△BEA，
∴BE＝DF；∠ADF＝∠ABE，
∴BE⊥DF；
（3）AE＝（﹣1）AD；
（4）正方形．
【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线及正方形的性质，本题的综合性较强，掌握并熟练应用以上性质是解答本题的关键．
83．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等．现已有两种不同的分法：
（1）分别作两条对角线（图1）
（2）过一条边的三等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）
请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法（只要求正确画图，不写画法）．
【分析】做本题的关键是利用轴对称图形，作出轴对称图案．这里的答案不唯一，只要是轴对称图形就行．做时可以思考先把正方形变成两个面积相等，图形相同的两部分，再分这两部分为相同的轴对称图形．
【解答】解：答案不唯一．
【点评】本题主要考查了轴对称图形在实际生活中的应用．学生做这类题时思路要清晰，可先把正方形变成两个面积相等，图形相同的两部分，再分这两部分为相同的轴对称图形．
84．现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
【分析】因为正三角形是轴对称图形，其对称轴是从顶点向底边所作垂线，故只要所涂得小正三角形关于大正三角形的中垂线对称即可．
【解答】解：如图．
【点评】解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
85．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2+S3．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
【分析】利用直角△ABC的边长就可以表示出S1、S2、S3的大小．三角形的边满足勾股定理．
【解答】解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2＝a2+b2
（1）S1＝S2+S3；
（2）S1＝S2+S3．证明如下：
直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2＝a2+b2
显然，S1＝，S2＝，S3＝
∴S2+S3＝＝S1，
即S1＝S2+S3．
（3）当所作的三个三角形相似时，S1＝S2+S3．证明如下：
∵所作三个三角形相似
∴
∴＝1
∴S1＝S2+S3；
（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2+S3．
【点评】本题是对勾股定理进行的证明，难易程度适中．
86．如图，已知反比例函数与一次函数y＝x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）把A（1，﹣k+4）代入解析式y＝，即可求出k的值；把求出的A点坐标代入一次函数y＝x+b的解析式，即可求出b的值；从而求出这两个函数的表达式；
（2）将两个函数的解析式组成方程组，其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围．
【解答】解：（1）∵已知反比例函数经过点A（1，﹣k+4），
∴，即﹣k+4＝k，
∴k＝2，
∴A（1，2），
∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（1，2），
∴2＝1+b，
∴b＝1，
∴反比例函数的表达式为．
一次函数的表达式为y＝x+1．
（2）由，
消去y，得x2+x﹣2＝0．
即（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣2或x＝1．
∴y＝﹣1或y＝2．
∴或．
∵点B在第三象限，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
87．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．
（1）若c＝a1，求证：a＝kc；
（2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．
【分析】（1）已知了两个三角形的相似比为k，则对应边a＝ka1，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论；
（2）此题是开放题，可先选取△ABC的三边长，然后以c的长作为a1的值，再根据相似比得到△A1B1C1的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可；
（3）首先根据已知条件求出a、b与c的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立．
【解答】（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），
∴＝k，a＝ka1；
又∵c＝a1，
∴a＝kc；
（2）解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2；
此时＝2，
∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1；
（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1；
又∵b＝a1，c＝b1，
∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c；
∴b＝2c；
∴b+c＝2c+c＜4c，4c＝a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用．
88．善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？
问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究．假设梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，MN是中位线（如图①）．根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似；
（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形 不相似 ；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？
（1）从特殊平行线入手探究．梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形 不相似 ；（填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”．不要求证明）
（2）从特殊梯形入手探究．同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，AD＝2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P，Q在梯形的两腰上，如图②），使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由；
（3）一般结论：对于任意梯形（如图③），一定 存在 （填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似．若存在，则确定这条平行线位置的条件是＝ ．（不妨设AD＝a，BC＝b，AB＝c，CD＝d．不要求证明）
【分析】两个梯形相似，因而两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等；这个图形中判定相似要同时满足这几个条件．反之，若相似则两个梯形的对应腰的相等，对应底的比相等．
【解答】解：问题一：（1）两个梯形的腰相等，
即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，
因而这两个梯形一定不相似；
（2）不相似．
问题二：（1）不相似；
（2）梯形APQD与梯形PBCQ相似，
∴＝，即＝
解得：PQ＝4．
∵＝＝＝．
又∵AP+PB＝6，
∴AP＝2
（3）如果梯形APQD∽梯形PBCQ，
则，，
∵AD＝a，BC＝b，
∴PQ＝＝，
∴＝＝．
【点评】本题考查了多边形相似的性质，对应边的比相等，反之，相似图形的判定方法是对应角相等，对应边的比相等．
89．某小型开关厂今年准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算：今年开关的年产量y（万只）与投入的改造经费x（万元）之间满足3﹣y与x+1成反比例，且当改造经费投入1万元时，今年的年产量是2万只．
（1）求年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）
（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．
①求平均每只开关所需的生产费用为多少元？（用含y的代数式表示）
（生产费用＝固定费用+材料费）
②如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？
（销售利润＝销售收入一生产费用﹣改造费用）
【分析】（1）设出3﹣y与x+1之间的关系式，把1，2代入即可求得函数解析式；
（2）①平均每只开关所需的生产费用＝每只开关材料费+固定费用÷生产数量；
②等量关系为：利润＝销售收入﹣生产费用．
【解答】解：（1）设3﹣y＝，
∵（1，2）符合函数解析式，
∴3﹣2＝，
解得：k＝2，
那么3﹣y＝，即：y＝3﹣＝；
（2）①8÷1+2÷y＝8+；
②设投入改造经费x万元，
[（8+2÷）×1.5+x÷×]×﹣（8+2÷）×﹣x＝9.5；
解得x＝3，
经检验，x＝3是原分式方程的解．
则今年需投入3万元改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，把相应的等量关系都与前面所求的式子联系起来．进行正确的解答．
90．如图，已知直线y＝ax+b经过点A（0，﹣3），与x轴交于点C，且与双曲线相交于点B（﹣4，﹣a），D．
（1）求直线和双曲线的函数关系式；
（2）求△CDO（其中O为原点）的面积．
【分析】（1）先根据点A求出反比例函数的解析式，再根据反比例解析式求出a的值，即B点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）关键是求出一次函数和x轴的交点坐标和直线与双曲线的交点D的纵坐标，即得到△CDO的底和高，从而求出其面积．
【解答】解：（1）由已知得，
解之得：．
∴直线的函数关系式为y＝﹣x﹣3．
设双曲线的函数关系式为：．
且，
∴k＝﹣4．
∴双曲线的函数关系式为．
（2）解方程组，得，．
∴D（1，﹣4）．
在y＝﹣x﹣3中，令y＝0，解得x＝﹣3．
∴OC＝3．
∴△CDO的面积为×3×4＝6．
【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
91．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝BOA＝120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：
以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：
∠ABC＝ 30° ，∠A′BC＝ 90° ，OA+OB+OC＝ ．
【分析】解直角三角形求出∠ABC＝30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B＝AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝，
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝＝＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
故答案为：30°；90°；．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解题的关键．
92．已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点（0，3a），对称轴为x＝1．
（1）试用含a的代数式表示b、c．
（2）当抛物线与直线y＝x﹣1交于点（2，1）时，求此抛物线的解析式．
（3）求当b（c+6）取得最大值时的抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）根据抛物线与y轴的交点可以得到c与a的关系，根据对称轴可以得到b与a的关系；
（2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a、b、c的值即可求得其解析式；
（3）b（c+6）＝﹣2a（3a+6）＝﹣6a2﹣12a＝﹣6（a+1）2+6，从而确定a的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3a）
∴c＝3a
∵对称轴为＝1，
∴x＝﹣＝1
∴b＝﹣2a；
（2）∵抛物线与直线y＝x﹣1交于点（2，1），
∴（2，1）在抛物线上，
∴1＝a×22+2（﹣2a）+3a
∴a＝
∴b＝﹣2a＝﹣ c＝3a＝1
∴抛物线为y＝x2﹣x+1；
（3）∵b（c+6）＝﹣2a（3a+6）＝﹣6a2﹣12a＝﹣6（a+1）2+6
当a＝﹣1时，b（c+6）的最大值为6；
∴抛物线y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值及待定系数法确定二次函数的解析式，正确的利用三个系数之间的关系是解决本题的关键．
93．学校在艺术周上，要求学生制作一个精美的轴对称图形，请你用所给出的几何图形：○○△△﹣﹣（两个圆，两个等边三角形，两条线段）为构件，构思一个独特，有意义的轴对称图形，并写上一句简要的解说词．
【分析】解答本例需要利用给定的6个元素，充分展开想象的翅膀，组合成各种有意义的图形．此外，还要有一定的生活经验和一定的文学修养．
【解答】解：所设计图形如下所示（答案不唯一，可供参考）：
．
【点评】本题考查了轴对称设计图案的知识，属于开放型，解答时注意三点：①所作的图是轴对称图形，②六个元素必须要用到，而且每个元素只用一次，③解说词要和所作的图形匹配，同学们要充分发挥想象力及语言表达能力．
94．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．
（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；
（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）
【分析】（1）连接对应点，对应点的中点即为对称中心，在网格中可直接得出点E、A、C的坐标；
（2）根据“（a+6，b+2）”的规律求出对应点的坐标A2（3，4），C2（4，2），顺次连接即可；
（3）由△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系直接看出是关于原点O成中心对称．
【解答】解：（1）如图，E（﹣3，﹣1），A（﹣3，2），C（﹣2，0）；（4分）
（2）如图，A2（3，4），C2（4，2）；（8分）
（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称．（10分）
【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．中心对称是旋转180度时的特殊情况．
95．（1）把二次函数y＝﹣x2+x+化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线y＝﹣x2+x+的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如y＝ax2的抛物线经过怎样的变换得到的；
（3）如果抛物线y＝﹣x2+x+中，x的取值范围是0≤x≤3，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境．（如喷水、掷物、投篮等）
【分析】（1）利用配方法时注意要先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，可把一般式转化为顶点式；
（2）直接利用顶点式的特点写出顶点坐标即可．利用图形变换的特点直接求得是由抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的；
（3）根据范围画图，切合实际意义的题目即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+＝
﹣（x2﹣2x）+
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+
＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）由上式可知抛物线的顶点坐标为（1，3），其对称轴为直线x＝1，
该抛物线是由抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的；
（3）抛物线与x轴交于（3，0），与y轴交于（0，），顶点为（1，3），把这三个点用平滑的曲线连接起来就得到抛物线在0≤x≤3的图象（如图所示）．
情境示例：小明在平台上，从离地面2.25米处抛出一物体，落在离平台底部水平距离为3米的地面上，物体离地面的最大高度为3米．
（学生叙述的情境只要符合所画出的抛物线即可）
【点评】主要考查了二次函数一般式和顶点式之间的转换，要掌握函数图象平移的规律和实际运用的中作图要注意自变量的范围．结合实际意义准确的阐述关系．
96．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
【分析】（1）依题意可得总费用＝镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y＝6x×30+45+2x2×120化简即可．
（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费＝195元，即可列出方程求解．
【解答】解：（1）y＝（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120
＝240x2+180x+45；
（2）由题意可列方程为
240x2+180x+45＝195，
整理得8x2+6x﹣5＝0，即（2x﹣1）（4x+5）＝0，
解得x1＝0.5，x2＝﹣1.25（舍去）
∴x＝0.5，
∴2x＝1，
答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．
【点评】本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．
97．已知二次函数y＝x2+px+q（p，q为常数，△＝p2﹣4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y＝x2﹣5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相关数据．
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数y＝x2+px+q（p，q为常数，△＝p2﹣4q＞0）证明你的猜想．聪明的小伙伴：你能再给出一种不同于（3）的正确证明吗？我们将对你的出色表现另外奖励3分．
【分析】（1）p为一次项系数；q为二次函数的常数项；△为b2﹣4ac；一根为常数项÷另一根；d为较大根于较小根之差；
（2）代入相关值后可得相关量之间的关系；
（3）令y＝0，得出x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q．继而推出d2＝（|x1﹣x2|）2＝△
【解答】解：（1）易得第三行q＝0，x1＝0，d＝；第四行为p＝1，△＝9，x2＝1；
（2）猜想：d2＝△．
例如：y＝x2﹣x﹣2中；p＝﹣1，q＝﹣2，△＝9；
由x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，d＝3，d2＝9，
∴d2＝△；
（3）证明．令y＝0，得x2+px+q＝0，
∵△＞0
设x2+px+q＝0的两根为x1，x2，
则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，
d2＝（|x1﹣x2|）2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2
＝（﹣p）2﹣4q＝p2﹣4q＝△，
【点评】本题考查二次函数的性质的综合运用，需注意可根据具体的数值得到相应的量之间的关系．
98．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（c，﹣2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x＝3．题目中的矩形方框部分是一段被墨水污染了无法辨认的字．
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由；
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形方框中，添加一个适当的条件，把原题补充完整．
【分析】（1）根据对称轴坐标公式，可以求出b，然后把A（c，﹣2）代入可以求得c，从而得到二次函数解析式；
（2）已知题中有两个未知数，再添加一个条件能构成二元一次方程组即可．
【解答】解：（1）能．
由结论中的对称轴x＝3，
得，则b＝﹣3，
又因图象经过点A（C，﹣2），
则：，c2﹣4c+4＝0（c﹣2）2＝0，
∴c1＝c2＝2，
∴c＝2．
∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x+2；
（2）补：点B（0，2）．（答案不唯一）
以下其中的一种情况（均可得分）
①过抛物线的任意一点的坐标，
②顶点坐标为（3，﹣），
③当x轴的交点坐标（3+，0）或（3﹣，0），
④当y轴的交点坐标为（0，2），
⑤b＝﹣3或c＝2．
【点评】此题结合实际考查了二次函数解析式的求法，为一道条件开放性题目，需要掌握二次函数的性质才能解答．
99．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x＝1为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）作出二次函数的大致图象；
（3）在对称轴x＝1上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据对称轴的公式x＝﹣和函数的解析式，将x＝1和A（3，0），B（2，﹣3）代入公式，组成方程组解答；
（2）求出图象与坐标轴的交点坐标，描点即可；
（3）根据两点之间距离公式解答．
【解答】解：（1）把点A（3，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c依题意，
整理得，
解得，
∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）二次函数图象如右；
（3）存在．
作AB的垂直平分线交对称轴x＝1于点P，
连接PA、PB，则PA＝PB，
设P点坐标为（1，m），则22+m2＝（﹣3﹣m）2+1
解得m＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1）．
【点评】（1）所用方法被称为待定系数法；（2）考查了二次函数草图的画法；（3）会用距离公式L＝．
100．某学生推铅球，铅球出手（A点处）的高度是m，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高y＝3m时，水平距离是x＝4m．
（1）试求铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）如果将y轴平移至直线x＝4，x轴平移至直线y＝3，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式．
【分析】（1）根据函数图象设出函数关系式y＝a（x﹣4）2+3，再将A点坐标代入求解a即可求解；
（2）设抛物线的表达式y＝ax2，将A点坐标（﹣4，﹣）代入即可求解．
【解答】解：（1）由已知可设抛物线的函数表达式是y＝a（x﹣4）2+3（其中a＜0）．
∵抛物线弧段经过了点A（0，）
∴＝a（0﹣4）2+3
解之，得a＝﹣．
故所求的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+3
令﹣（x﹣4）2+3＝0，得x＝﹣2或x＝10．（﹣2不合题意，舍去）．
∴自变量的取值范围是0≤x≤10．
（2）原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点A（﹣4，﹣），
所以设抛物线的表达式为y＝ax2（a＜0），
则解得：a＝﹣
故所求抛物线弧的函数表达式是y＝﹣x2（﹣4≤x≤6）．
【点评】本题考查了同学们根据函数图象求解函数表达式的能力．
第一次抽取
第二次抽取
1
2
3
4
1

（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）

（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）

（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）

品 种
高档
中档
低档
精装
简装
价格（元/盒）
60
40
25
50
20
B袋
A袋
3
4
5
1
（1，3）和为4
（1，4）和为5
（1，5）和为6
2
（2，3）和为5
（2，4）和为6
（2，5）和为7
白球1
白球2
白球3
红球
白球1
﹣﹣﹣﹣﹣
（白1，白2）
（白1，白3）
（白1，红）
白球2
（白2，白1）
﹣﹣﹣﹣﹣
（白2，白3）
（白2，红）
白球3
（白3，白1）
（白3，白2）
﹣﹣﹣﹣﹣
（白3，红）
红球
（红，白1）
（红，白2）
（红，白3）
﹣﹣﹣﹣﹣

AC
BC
AB
r
L
s
图甲



0.6


图乙


5.0
1.0



AC
BC
AB
r
L
s
图甲
2.0
2.0
2.0
0.6
6.0
1.7（或1.8）
图乙
3.0
4.0
5.0
1.0
12.0
6.0
顺序
优，中，差
优，差，中
中，优，差
中，差，优
差，优，中
差，中，优
小张
优
优
中
中
差
差
小王
差
中
优
优
优
中
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
小红投掷的点数小颖投掷的点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80

40
销售量（件）
200


时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价（元）
80
80﹣x
40
销售量（件）
200
200+10x
800﹣200﹣（200+10x）
y＝x2+px+q
p
q
△
x1
x2
d
y＝x2﹣5x+6
﹣5
6
1
2
3
1
y＝x2﹣x
﹣





y＝x2+x﹣2

﹣2

﹣2

3