重庆市南开中学2025-2026学年高一上学期数学周测试题（Word版附解析）

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 函数的振幅､频率和初相分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦型函数的的意义判断即可得结论.
【详解】函数的振幅为､频率为，初相为.
故选：C.
2. 下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项．
【详解】是最小正周期为的奇函数，故A错误；
的最小正周期是π是偶函数，故B错误；
是最小正周期是π是偶函数，故C错误；
最小正周期为π的奇函数，故D正确﹒
故选：D．
3. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换的规则，先求出图象向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式．
【详解】函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，
得到的图象；
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到的图象，
故选：C.
4. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案.
【详解】的定义域为，且为定义域上的增函数，
，
，故零点所在区间是.
故选：B
5. 函数图象对称中心坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为整体，结合正切函数的对称中心运算求解.
【详解】令，解得，
所以函数图象的对称中心坐标为.
故选：C.
6. 已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
7. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和差正余弦公式、二倍角公式和诱导公式化简可得，，，由正弦函数单调性可得结果.
【详解】
；
；
；
，.
故选：D.
8. 已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以，
因为，所以，若在区间上单调递增，
则，，解得，
当时，，又，则；
当k取其它值时不满足，∴的取值范围为，
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A. 函数解析式
B. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数在区间上的最大值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可.
【详解】由题图知：函数的最小正周期，
则，，所以函数．
将点代入解析式中可得，
则，得，
因为，所以，
因此，故A正确．
将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B正确.
，当时，，故C正确.
当时，，所以，即最大值为，
故D错误．
故选：ABC．
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据余弦函数的和差公式，同角三角函数的商式公式，以及二倍角公式，可得答案.
【详解】由，且，则，故A错误；
由，故B正确；
由，故C正确；
由，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简可得，当时，根据余弦型函数值域求法可求得，由此可得，知A正确；通过反例可知B错误；根据区间长度为可知：当在上单调时，最大；当与关于对称轴对称时，最小，根据余弦函数单调区间和对称轴的求法可确定的范围和取值，由此确定的最值，知CD正误.
详解】，
当时，；
对于A，当时，，
此时，，
，A正确；
对于B，若，则；
当时，，
，，
，B错误；
对于C，最小正周期，，
若取得最大值，则在上单调；
令，解得：，
的单调递增区间为；
当，即时，
，
，，
，；
令，解得：，
的单调递减区间为，
当，即时，
，
，，
，；
综上所述：，C错误；
对于D，若取得最小值，则与关于的对称轴对称；
令，解得：，
当时，，
；
令，解得：，
当时，，
；
综上所述：，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值域和最值的求解问题，解题关键是能够根据余弦函数的性质，确定何种情况下能够取得最值，从而结合余弦型函数单调性和对称轴的求法得到的范围，进而确定的最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设，判断函数的奇偶性求解即可.
【详解】设，
的定义域为，
，
奇函数，
，，
，
故答案为：.
13. 函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用，结合简单三角方程的解法求出结果．
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到
由于与函数的图象重合，
所以，
整理得：，
当时，，
当时，，
所以的最小值为．
故答案为：．
14. 已知，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据和角公式以及正切的商式，整理化简等式，有题干中的角度范围，判别所求角正切的符号，利用辅助角公式进一步化简，结合三角函数值域建立不等式，可得答案.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，又∵，∴，
由，得，
∴存在使得，∴，
∴，∴，∴，
由于，的取值范围达到余弦函数的半个周期，的值必能取到1，
因此这里能够取到等号，所以的最大值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【答案】（1）
（2）8小时
【解析】
【分析】（1）由图易得和周期，由周期可求，然后代入最高点的坐标可求，从而求出解析式；
（2）由题意可知，只要解此不等式即可得解.
【小问1详解】
由图知，，，，
所以，将点代入得，
结合解得，
所以函数的解析式.
【小问2详解】
货船需要的安全水深为米，所以当时货船可以停留在港口.
由得，得，
即，
当时，，当时，，
所以该船一天之内至多能在港口停留小时.
16. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若为锐角，，求的值．
【答案】（1）；
（2）最大值为2，最小值为；
（3）.
【解析】
分析】(1)化简函数解析式，结合正弦函数单调性求其单调递增区间；
(2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的最大值和最小值；
(3)由条件可求，利用同角关系求，然后利用算出答案即可.
【小问1详解】
由已知．
令，解得
故函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由，可得
所以，故，
所以函数在区间上的最大值为2，此时，即，
函数在区间上的最小值为-1，此时，即，
【小问3详解】
由，可得，
因为，可得，
．
.
17. 已知，且的图象过点，又.
（1）若成立，求的取值范围；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数函数的性质可得，解不等式即可得出答案.
（2）由题意可得对于任意恒成立等价于，利用换元法求出即可得出答案.
【小问1详解】
因为的图象过点，
所以，所以，因为，
所以，所以，又因为，
而在上单调递减，
由可得：
所以解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
因为，
所以对于任意恒成立等价于，
因为
.
令，则，
所以，
当，即，即时，，
所以.
18. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）已知函数在上存在零点，求的最小值；
（3）当时，若函数的图象在区间上恰有一条对称轴，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由可得出的值；
（2）由结合参变量分离法可得出，结合求出的取值范围，即可得出实数的最小值；
（3）利用三角恒等变换化简可得出，其中，可取，根据求出的取值范围，根据题意得出的取值范围，结合可求出的取值范围.
【小问1详解】
因为，则.
【小问2详解】
因为，
可得，
当时，，
所以，
，
因为，则，则，
因此，实数的最小值为.
【小问3详解】
因为，
其中，可取，
当时，，且，，
由题意可得，解得，故，故.
因此，实数的取值范围是.
19. 对于函数，若存在两个不同零点满足，则称函数为“零点相近函数”．
（1）判断函数是否为“零点相近函数”？
（2）设．
（ⅰ）已知，求证：函数为“零点相近函数”；
（ⅱ）若函数为“零点相近函数”，求的取值范围．
【答案】（1）不是 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由“零点相近函数”的定义直接判断即可；
（2）（i）利用换元法结合“零点相近函数”的定义，将问题转化为有两个不同根，只需证明即可得，则问题可解；
（ii）将原式化为，分析可得必须在有两个不同根，结合新定义即可求出k的范围.
【小问1详解】
在单调递增，有唯一零点，
所以只需判断在是否有零点，由于在单调递增，
．
所以在没有零点，不是“零点相近函数”．
【小问2详解】
（ⅰ）函数的零点即方程的不同根，令，得，因为，必有两个不同根（设），即
则，
由于，所以
则由得：得证．
（另证：因为，必有两－个不同根（设）
则由得：，
，从而成立．）
（ⅱ），
设，则原式化为，即（*），
为偶函数，且在单调递增，，最小值为．
则要使得原函数为“零点相近函数”，有以下两种可能：
情形1：（*）式在有根，则在有根，
从而另一根在，满足“零点相近函数”定义，
此时得；
情形2：（*）式在无根，但有根在，若只有一个，此时对应的的根大于，从而两根之差超过1；所以要成为“零点相近函数”，只有两个不同t值在y轴同侧与产生的交点横坐标之差不超过1．
所以（*）式必须在有两个不同根，设为，令，
有
令，有
由（ⅰ）问可知，欲便，只需，即．
设，如果，则，则．
而所以，
从而由知，矛盾．
所以不成立．即恒成立．则，
综上：.
【点睛】对于新定义问题首先需要读懂定义，再结合定义进行求解或证明。另外已知函数零点求参数范围的问题通常采用参变分离的方法或结合二次函数的性质进行分析求解.