四川省遂宁市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷

这是一份四川省遂宁市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷，共14页。
120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分 58 分）
注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
考试结束后，将答题卡收回。
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
已知集合 A  2,4,5, B  3,4,5，则 A ∪ B 
A． 2
B． 4,5
C． 3,4,5
D． 2,3,4,5
命题“ x  0, x 1 x  0 ”的否定为
x  0, x 1 x  0
C． x  0, x 1 x  0
2
“ x2  2 ”是“ x ”的
B． x  0, x 1 x  0
D． x  0, x 1 x  0
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．已知角α的终边上有一点 P(3,4) ，则sinα csα
A． 7B.
1C．  7
D．  1
5555
给出下列命题，其中是真命题的是
a  b  ac2  bc2
C． a  b  0  1  1
ab
2x 1
a  b  a2  b2
D． a2  b2  a  b
函数 f (x) 
2x 1
sin x 的图象的大致形状是
A．B．
C．D．
a
若不等式(x 1)2  lg x (a  0且a  1) 在 x  1,2内恒成立，则实数 a 的取值范围为
A． 1,2
B． (1,2)
C． 1, 2 
D． (
1
2,2)
定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 1)  f (x)  0 ，且当0  x  时，
2
f (x)  4x2 1，则
f ( 3) 2
 f (1)  f (4) 的值为
A．0B． 1
C．  2
D．2
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．下列四个选项中，正确的选项为
A．不等式 4  x 1  4 的解集为(3,5)
B．不等式 x2  x 1  0 的解集为空集
C．幂函数的图象都经过点(0,0)
D．函数 f (x) 
3
1 x
x 1

的定义域为 ,1
下列说法正确的有
函数 y 
(1)
3
x 的最大值为 1
任取 x  R, 都有4x  3x
2
f  x  lg x2  2x的单调递增区间是1, 
2
在同一坐标系中，函数 y  2x 与函数 y  lg x 的图象关于直线 y  x 对称
ππ
) ， g(x)  cs(2x ) ，则
3
6
π
)
在 x (0,
2π
) 上的值域为(0,3
6
3
2
已知函数 f (x)  sin(2x 
函数 g(x)  cs(2x )
若2 sinα
3 csα 0 ，则 f (α) 
3 3
14
ππ
将函数 f (x)  sin(2x 
π
) 的图象向左平移 3
个单位可以得到函数
2
g(x)  cs(2x 
) 的图象 6
f  x  g  x 的解集为π kπ, 2π kπ k  Z
 63
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
注意事项：
请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
2
eln2  lg 125   1 3 ▲.
8
5 
 
 a 1, x  1,

若函数 f  x   x
2  a x  4, x  1
在,  上单调递减，则a 的取值范围是▲.
已知函数 f (x)  x  k 在 x (0,) 上的最小值为 2，奇函数 g(x)  ax2  bx  c 且
x
g(1)  2 ，直线 y  t(t  2) 与以上两函数的交点横坐标从左到右依次为 x1, x2 , x3 ，则 f (x3  x1 )  g(x1  x2 ) 的最小值为▲
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤.）
已知集合 A  x a 1  x  3  2a, B  x x2  2x  8  0
若 a  1 ，求 A ∩ B 及(CR A) ∩ B ；
若 B 是 A 的真子集，求实数 a 的取值范围．
▲
已知sinα2 , tan β 3 ，其中α  0,π β  0,π .
2
2
104
 , 

)
求cs(β π 的值；
6
求α β的值；
▲
为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为 10 万元，每生产 x 万件产品，需另投入的流动成本为W  x 万元，在年产量不足
10 万件时，W  x  1 x2  3x （万元），在年产量不小于10 万件时，W  x  10x  450  90
4x
（万元），每件产品的售价为8 元，且该厂生产的产品当年能全部售完.
写出年利润 L  x （万元）关于年产量 x （万件）的函数解析式；
（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）
当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
▲
已知函数 f x  2 3 sin x cs x  2 sin 2 x, x  R.
化简 y  f x 的解析式，并写出函数 y  f x 的最小正周期；
求函数 y  f x 的单调增区间和对称中心；
用五点法画出函数 y  f x, x   π , 11π 的图象，若函数 gx  k  f x在
 12 12 
0, 2π 内有两个相异的零点，求实数 k 的取值范围.
3 
▲
若函数 y  f (x) 对定义域内的每一个值 x1 ，在其定义域内都存在唯一的 x2 ，使
f (x1 )  f (x2 )  1成立，则称该函数为“关联函数”.
判断 y  x2 是否为区间1,1上的“关联函数”；
设函数h(x)  1 (x  3)2 在定义域s, t(s, t  Z ) 上为“关联函数”，
4
① 求lg3 (s  t)  sin(s  t)π的值；
s
②当 s  3 时，设 p(x)  x   t ，若存在实数 x  1,3使不等式
x0
p(x0 )  m2  2m  k 对任意 m  R 都成立，求实数 k 的取值范围.
高 2028 届高一上期期末教学质量监测
数学试题参考答案
一、选择题（1-8 题每小题 5 分，共 40 分。9-13 题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
B
B
C
C
B
C
AB
AD
BCD
二、填空题
21
 2, 5 
​
2
42 2

1
14 ．【 详 解 】 由 已 知 k  1 ， 又 g(x)  ax2  bx  c 为 奇 函 数 且 g(1)  2 得
a  0, c  0, b  2
f (x ) 
f (x )  g(x )因为函数 f (x)  x  在
，结合图象有1
32 ，x
(0,1) 上单调递减，在(1,) 上单调递增，由题意可知0  x1  1  x3 ，
由 f  x   f  x  可得 x  1  x  1 ，
131x3x
即 x  x   1  1
13
  x  x   x1  x3   x1  x3  x1x3 1  0 ，
13xx
13x xx x
131 31 3
因为0  x1  1  x3 ，则 x1  x3  0 ，故 x1 x3  1，
因为 f  x   g  x  ，则 x  1  2x ，
x
1212
1
所以， f  x  x   g  x  x   x  x 1 2  x  x 
312131x  x21
31
 1  x 1 2x  2x  1  x 1 x  1  2x  2  1  x  1

x1 1x
21x
1 1
1x1
 x1  1，
11
x1x
 x11
 1
x  x1
111
1
因为0  x  1，函数 y  1 、 y  x 在0,1 上单调递减，
x
1
1
故函数 y  1  x 在0,1 上单调递减，当 x 0,1 时， y  1  x  0 ，
x
x
111
11
f (x  x )  g(x  x )  f (x  x )  g(x  x )  2( 1  x ) 1
x
3112
3121
11  x
1
x
1
1
2( 1  x ) 
1
x
1
1
x
1  x
1
1
2
2 2
2  1  x  1
2
  x1  1
当且仅当  1
 x1 时，即当 x 时，等号成立，
1
x
12
0  x1  1
2
因此， f  x3  x1   g  x2  x1  的最小值为2.
2
故答案为： 2
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
【详解】
【详解】（1）由 x2  2x  8  0 ，即(x  2)(x  4)  0 ，解得
2  x  4
.1 分
所以
B  x x2  2x  8  0 x  2  x  4
.2 分
当 a  1 时，
A  x 0  x  1
.3 分
所以
A  B  x 0  x  1
.4 分
CR A  x x  0或x  1
.5 分
所以
(CR A)  B  x  2  x  0或1  x  4
.6 分
因为集合 B 是集合 A 的真子集
又 A  x a 1  x  3  2a, B  x  2  x  4，则
a 1  3  2a

a 1  2

3  2a  4
a 1  3  2a

或a 1  2

3  2a  4
.10 分
解得
a  1或a  
.12 分
综上可得 a  1 ，
故实数 a 的取值范围是
 ，1
.13 分
【详解】（1）由 tan β 3 ， β  0,π 可知，
2
 
4
sin β 3 , csβ 44 分
55
则
)
cs(β π  csβcsπ sin βsin π
666
.6 分
 4 
3  3  1  4
3  3
525210
.7 分
2
3ππ
（2）因为sinα, tan β ，其中α  0, ,β  0,  ，
104
所以
csα 7 2 , tanα 1
2 2 
107
.10 分
所以
1  3
tanα β  tanα tan β 74 1
1 tanαtan β 1 1  3
74
.13 分
因为α β 0,π，所以
α β π
4
.15 分
【详解】（1）当 x 0,10 时， L  x  8x   1 x2  3x  10   1 x2  5x 102
 44

分
当 x 10, ∞ 时，
L  x  8x   10x  450  90  10  2x  450  804 分
xx

所以
 1 x2  5x 10, x 0,10

L  x   4
450
2x  80, x 10, ∞
x
.5 分
（2）当 x 0,10 时， L  x   1  x 102 15 ，
4
因为0  x  10 ，所以
L  x  15
.8 分
当 x 10, ∞ 时，
x  225
x
L x   225 
 2  x 
x   80  4
 80  20 ，12 分

且仅当 x  225 ，即 x  15 时取等号，所以
x
max
L  x 2013 分
综上所述，当年产量15 万件时，该厂所获利润最大，最大利润为20 万元15 分
18、【详解】（1）由函数
f x  2
3 sin x cs x  2 sin 2 x 
3 sin 2x  cs 2x 1 
 π 1 ，..3 分
6
2 sin 2x 

所以函数
f x 的最小正周期为
T  2π  π5
ω
分
（2）由（1）知 f x 
 π 1 ，
令
2kπ
2 sin 2x
6

ππ


π  2x 
26
 2kπ
, k  Z
2
.6 分
解得
kπ
π  x  kπ
3
π
, k  Z
6
.7 分
所以函数
f x 的单调增区间为
kπ ππ


, kπ , k  Z8 分
36 
由2x
 π  kπ, k  Z ，得 x 
6
kπ
2
π , k  Z ，
12
即
 kπ π， 
f x 的对称中心为
 Z
2

12
1, k

分
由 x   π , 11π ，可得2xπ 0,2π，
 12
列表：
12  6 
描点、连线
.1
3 分
由函数 gx  k  f x在0, 2π 内有两个相异的零点，即 k  f x在0, 2π 内有
2x  π
6
0
π
2
π
3π
2
2π
x
 π
12
π
6
5π
12
2π
3
11π
12
f x
1
1
1
 3
1
两个相异的实根，
3 
3 
即 y  f x 和 y  k 的 图 象 在 0, 2π 内 有 两 个 不 同 的 交
3 
点14 分
x  0, 2π
2xπ
π 3π
因为3  ，可得 6   6 , 2  ，
当2x
 π 
6
π时，即 x  0 ，可得 f 0  0 ；
6
当2x  π  π时，即 x  π，可得 f π  1；
626
 6 

2xπ3π2π
当 
6
时，即
2
x ，可得
3
f  2π  316 分
3


要使得 y  f x 和 y  k 的图象在0, 2π 内有两个不同的交点，
3 
结合图象，可得0  k  1，即实数 k 的取值范围为
0,117 分
19 ．【 详解 】（ 1 ） 由于 x 1,1， 若 x1  0 时， f (x1 )  0 ， 此时不存在 x2 使得
f (x1)  f (x2 )  1，
故y  x2 不是区间1,1上的“关联函
数”；4 分
函数 h(x)  1 (x  3)2 的图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x  3 ，由已知函数为
4
“关联函数”，故
s  3 或者
t  3
.5 分
① s  3 时，函数在区间s, t上单调递增
所以在定义域s, t(s, t  Z , s  3) 上 h(x) h(s), h(t)
h(x ) h(s), h(t), h(x ) h(s), h(t).0  h(s)  h(t),1  1 , 1 


12
h(x1) h(t) h(s) 
1
1
为使 h(x2 )  h(x ) 在其定义域内存在唯一的 x2
 11 
则必须且只需, h(s), h(t)


 h(t)
h(s) 
 h( s ) 1
即h(t ) 得

h(t ) 1
h( s )
h(s)  h(t)  1
.7 分
（直接得到 h(s)  h(t)  1 也给分）
得(s  3)(t  3)  4 ，又 s  4, t  5(s, t  Z )
故
s  4, t  7
.8 分
所以
lg3 (s  t)  sin(s  t)π lg3 11 sin(11π)  lg3
.9 分
②当t  3 时，函数在区间s, t上单调递减
所以在定义域s, t(s, t  Z , t  3) 上 h(x) h(t), h(s)
h(x ) h(t), h(s), h(x ) h(t), h(s).0  h(t)  h(s),1  1 , 1 


12
h(x1) h(s) h(t) 
1
1
为使 h(x2 )  h(x ) 在其定义域内存在唯一的 x2
 11 
则必须且只需, h(t), h(s)


 h(s)
h(t) 
 h(t ) 1
即h( s ) 得

h( s ) 1
h(t )
h(s)  h(t)  1
.11 分
（直接得到 h(s)  h(t)  1 也给分）
得(s  3)(t  3)  4 ，又t  3(s, t  Z )
故
s  1, t  2
.12 分
所以lg3 (s  t)  sin(s  t)π lg3 1 sinπ 0
综上：
lg3 (s  t)  sin(s  t)π lg3 3  sinπ的值为
lg3 11或
013 分
由上面知 s  4, t  7 则当 x  1,3时，函数 p(x)  x  4  7 在区间1,2上递减，区
x
间 2,3递 增 ， 又
 215 分
p(1)  2, p(3)   8 ， 故
3
p(x) 在 区 间 1,3上 最 大 值 为
所以 m2  2m  k  2 对任意 m  R 恒成立，
即k  m2  2m  2 对任意m  R 恒成
立16 分
当 m  1时， y  m2  2m  2 的最小值为 3 ，故
k  3
.17 分