精品解析：江苏省南菁高级中学2025-2026学年第一学期高二期末检测数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时间 120分钟 满分 150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求出的值.
【详解】因为，，且，
则，解得.
故选：B.
2. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解.
【详解】因为l的一个方向向量为，
所以直线l的斜率，
直线l过点，所以直线l的方程为，即，
故选：C.
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
故选：C.
4. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A. 52B. 104C. 112D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质即可求解.
【详解】，
故选：A
5. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值.
【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系，
设抛物线方程为，
由图可知抛物线过点，代入抛物线方程，
得，解得，所以抛物线方程为.
因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米，
所以车行驶时，的取值范围为.
当时，，
要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米.
故选：C
6. 如图，在正方体中，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量加法的几何意义及数量积的运算律整理化简，即可得答案.
详解】由题设，易知，且，
.
故选：C
7. 在平面直角坐标系中，已知圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，点，若圆上存在点满足，则圆半径的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由求得点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆，进而问题转化为圆与圆有公共点，列式计算即可得解.
【详解】设，由，得，
化简整理得，即，
所以点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆.
设圆的半径为，因为圆与两坐标轴都相切且圆心在第一象限，所以圆心，
若圆上存在点满足，则圆与圆有公共点，
所以，即，
解得
故选：C.
8. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用求出，进而可得，对分奇偶求得，进而可求得实数的最小值.
【详解】当时，，
当时，，
当时，适合上式，所以，
，
当为偶数时，，
所以，
当为奇数时，，
所以，
综上，，
又因为不等式恒成立，所以，所以.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键在于分为奇数与为偶数两种情况求得，进而求得的最大值，进而求得实数的最小值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则直线，之间的距离为
C. 直线过定点
D. 若直线在两坐标轴的截距相等，则或
【答案】BCD
【解析】
【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可.
【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为，
则，所以不垂直，故错误；
对于，若，所以可得，则直线，
由两平行直线距离公式可得，故正确；
对于，可化为，
所以直线恒过，故正确；
对于，当直线与轴无截距，不满足条件，
当，在两坐标轴的截距相等，分别令，
可求出与轴截距为和轴截距，即
解之可得或，故正确.
故选：
10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ）
A. B. 数列是等比数列
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD.
【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确；
由，得，
所以，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
，故C错误；
由B选项可得，所以，
所以
，故D错误.
故选：AB
11. （多选题）已知三棱柱侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ）
A. 直线MN与所成角的大小为
B.
C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为
D. 点到平面距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角、判断位置关系、求平面与平面所成角的余弦值、结合参数范围求点到平面距离的最值.
【详解】由题设建立如下图示空间直角坐标系，
则，
所以，，，，
则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误；
又，故，B选项正确；
由，，若为平面AMP的一个法向量，
则，令，则，
由平面的一个法向量为，，所以，
设平面与平面所成的角为，
则， C选项正确；
易知，则点到平面的距离为，
又，上式分子分母同时除以，可得，
令，则，
易知当时，，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题意得，边上的高即为点A到的距离，
所以边上的高为．
故答案为：
13. 设等差数列的前n项和为，且，，则的最小值为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列的性质求出数列的通项公式和前n项和，再结合题目条件使用基本不等式计算即可.
【详解】，移项化简得，
已知数列为等差数列，则，
数列的通项公式为，
当时，，
数列的前n项和为，
，
当且仅当“”即“”时等号成立，
故答案为：
14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，由题意求出参数m，进而得到，从而求出，再在中由勾股定理即可求解.
【详解】连接，则由题意可知，
设，则，
因为成等差数列，所以，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以双曲线的离心率的值为.
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设为数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式.
（2）记数列的前项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数列的递推公式和等比数列的性质计算出的通项公式.
（2）利用等比数列通项公式与裂项相消法计算后计算
【小问1详解】
由①，得当时，②
①－②得，
将代入，得到，，
，，
，，
是首项为，公比为的等比数列，.
【小问2详解】
，，
，，
，
数列的前项和为
16. 在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与圆：交于两点.
（1）当，且是的中点时，求的值以及圆的标准方程；
（2）当时，若，求直线的方程.
【答案】（1），；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理，可得，可得直线的斜率，再运用斜率公式即可解得，进而确定圆的标准方程；
（2）运用垂径定理，可得圆心到直线的距离，再分直线的斜率存在与斜率不存在两种情况讨论，设出直线，结合点到直线的距离公式求解即可.
【小问1详解】
可将圆方程整理为，可知圆的圆心为，半径.
由题可知，直线的斜率，
若是的中点时，则由垂径定理可知，，
则，
解得，故圆的标准方程为；
【小问2详解】
若，则圆，圆心，半径，
由垂径定理可知，圆心到弦所在直线的距离.
①若直线的斜率不存在，即，此时圆心到直线的距离，符合题意；
②若直线的斜率存在，可设直线，即，
圆心到直线的距离，得，解得，
则直线，化成一般式得：.
综上所述，直线的方程为或.
17. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O．
（1）求证：平面；
（2）若，，直线与平面所成角的正弦值为，求实数m的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，面面垂直的性质得到线线垂直，从而得到线面垂直；
（2）空间内找到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标即可得向量坐标，利用向量的数量积求平面的一个法向量，由向量的数量积得线面角的正弦值，由题意建立方程，解得的值.
【小问1详解】
∵平面，平面，，
，，为中点，，
又平面平面平面，平面平面，
平面， 平面，，
又平面，平面．
【小问2详解】
取中点E，连接，为的中位线，
，平面，
以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，则
即，
取，
∵，
设直线与平面所成角为，
∴，
∴，所以或，解得或（舍去）.
18. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，是否存在不相等的正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得；
（3）由（1）可得，假设存在，使得成等差数列，根据等差中项的性质得到方程，求出，的值，即可得解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为，则，
整理得，且，所以．
又因，则，
解得，所以．
【小问2详解】
由（1）可得，
则，
．
两式相减得
，
所以．
【小问3详解】
由（1）可得，则，
假设存在，使得成等差数列，
则，即，化简得，
则，
又，为不相等的正整数，
若，则（舍去）；
若，则，符合题意；
综上可得.
19. 已知椭圆过点，离心率为．若、是椭圆上的两个不同的动点，直线、的斜率分别为、，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求坐标原点到直线的距离的取值范围；
（3）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，求的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，并将直线的方程与椭圆方程联立，根据得出参数的值或参数的关系，结合可得出相应参数的取值范围，进而可求得坐标原点到直线的距离的取值范围；
（3）根据条件由、可得，，然后计算出的值，并确定的取值范围，即可得出点的轨迹方程.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由得，
所以，所以，
此时直线的方程为或，则；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则，得，
由韦达定理可得，，
所以
，
化简得，
因为，所以且，，
所以（或），
由且（或由且），
所以或，所以，
综上所述，.
【小问3详解】
当直线的斜率不存在时，，满足，
当直线的斜率存在时，由（2）知，
因为，
所以，
所以，
由（2）知，
综上.