山东省济宁市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1. 答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名， 考生号和座号, 并将条形码粘贴在指定位置上。
2. 选择题答案必须使用 2B 铅笔《按填涂样例》正确填涂；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用 2B 铅笔作答，字体工整、笔迹清晰。
3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知 fx=lnx ,则 f′1=
A. 0 B. 1 C. e D. 1e
2. 在等差数列 an 中, a3=4,a7=16 ,则 a5=
A. 8 B. 10 C. 12 D. 13
3. 将一颗质地均匀的正方体骰子,先后抛掷两次,将落地时面朝上的点数分别记为 m,n , 则 m+2n=8 的概率是
A. 16 B. 19 C. 112 D. 118
4. 已知点 A1,−2 在抛物线 C:y2=2px 上,抛物线 C 的焦点为 F ,则 AF=
A. 2 B. 3 C. 22 D. 5
5. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中, AC 与 BD 的交点为 M . 设 D1A1=a,D1C1=b,D1D=c , 则下列向量中,与 B1M 相等的向量是
A. 12a+12b+c B. 12a−12b+c
C. −12a−12b+c D. −12a+12b+c
6. 已知圆 C1:x2+y2−2x−4y−13=0 ,圆 C2:x2+y2−6x+7=0 ,则它们公切线的条数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知直线 l1:mx−y−m+3=0 ,直线 l2:x+my−m−3=0 相交于点 Pa,b ,则 a2+b2 的最大值为
A. 22 B. 32 C. 8 D. 18
8. 已知 F1,F2 分别是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点,过 F1 作 x2+y2=a2 的切线,交双曲线 C 的右支于点 P ,若 ∠F1PF2=π4 ,则双曲线 C 的离心率为
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分 有选错的得 0 分
9. 记数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S2=3,S5=31 ,且数列 Sn+1 是等比数列,则下列说法中正确的是
A. a1=1 B. S4=17 C. an=2n−1 D. Sn=2an−1
10. 已知曲线 C:x24+y2m=1m≠4 的两个焦点分别为 F1,F2 ,点 P 为曲线 C 上的动点,则下列说法中正确的是
A. 当 m>0 时,曲线 C 的长轴长为 4
B. 当 mb>0 过点 A3,0 ,离心率为 13 .
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)已知直线 l 与椭圆 E 交于 P 、 Q 两点， F 为椭圆 E 的右焦点，且 1PF+1QF=34 .
( i )证明:直线 l 过定点;
( ii )设 P 点关于原点 O 的对称点为 M ,直线 AM 与直线 PQ 交于点 N ,记 ON 的斜率为 k1,AN 的斜率为 k2 . 证明: k1⋅k2 为定值.
2025-2026 学年度第一学期质量检测 高二数学试题参考答案
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1. B 2. B 3. C 4. A 5.C 6.A 7.D 8.C
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
9AD. 10. BCD 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 0.7 13.−3 14.20262分,2n+2+43,n为奇数,2n+2+53,n为偶数. (3 分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。
15. 解: (1) 解法 1 : 设所求方程为 x−a2+y−b2=r2 ,则
−1−a2+3−b2=r22−a2+4−b2=r2a−2b+3=0.3 分
解得 a=1,b=2,r=5 . 6 分
所以圆 C 的方程是 x−12+y−22=5 . 7 分
解法 2: 由 A−1,3,B2,4 ,则线段 AB 的中点 D 为 12,72 , 1 分
直线 AB 的斜率为 kAB=4−32−−1=13 , 2 分
所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y−72=−3x−12 ,即 3x+y−5=0 . 3 分
联立 3x+y−5=0x−2y+3=0 ,解得 x=1y=2 ,
所以圆心 C1,2 , 5 分
圆的半径 r=AC=1+12+2−32=5 , 6 分
所以圆 C 的方程是 x−12+y−22=5 . 7 分
注:若求出的是圆的一般方程形式，做对，得全分。
(2)圆心 C1,2 到直线的距离 d=r2−PQ22=5−4=1 , 9 分
所以 d=3×1+4×2+m9+16=m+115=1 , 11 分
解得 m=−6 或 m=−i6 . 13 分
所以数列 bn 是首项 b1=a11=3 ,公差为 2 的等差数列. 4 分
所以 bn=ann=3+2n−1=2n+1 , 6 分
所以,数列 an 的通项公式为 an=2n2+n . 7 分
(2)由(1)可知 Sn=n2n+42=n2+2n ， 9 分
所以 1Sn=1n2+2n=1nn+2 =121n−1n+2 . 11 分
Tn=1S1+1S2+1S3+⋯+1Sn =121−13+1212−14+1213−15+⋯+121n−1n+2
=121+12−1n+1+1n+ 分
=34−121n+1+1n+2=34−2n+32n+1n+ 分
17. 解:(1)用 x1 ， x2 分别表示甲、乙两人出拳手势，则可以用 x1,x2 表示一局比赛的结果. 以 1,2,3 分别表示出拳手势为石头、剪刀、布，则甲、乙两人进行一局比赛的结果包含的基本事件有:(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共 9 种， 2 分
记事件 A= “甲、乙进行一局比赛甲获胜”,则 A 包含基本事件有 1,2,2,3,3,1 共 3 种, 4 分
所以 PA=39=13 ,即甲获胜的概率为 13 . 6 分
(2)记事件 B= “甲、乙两人进行三局比赛，甲获胜局数多于乙获胜局数”，则 B 包含甲胜三局, 甲胜两局负一局, 甲胜两局平一局, 甲胜一局平两局四种情况. 7 分
由 (1) 可知,一局比赛甲获胜概率为 13 ,同理乙获胜概率为 13 ,平局概率为 13
所以,甲胜三局的概率 P1=13⋅13⋅13=127 ; 8 分
甲胜两局负一局的概率 P2=13⋅13⋅13+13⋅13⋅13+13⋅13⋅13=327=19 ; 10 分
甲胜两局平一局的概率 P3=13⋅13⋅13+13⋅13⋅13+13⋅13⋅13=327=19 ; 12 分
甲胜一局平两局的概率 P4=13⋅13⋅13+13⋅13⋅13+13⋅13⋅13=327=19 . 14 分
所以 PB=127+19+19+19=1027 . 即甲获胜局数多于乙获胜局数的概率为 1027 . 15 分
18.(1)证明: ∵PD⊥ 平面 ABCD , AB⊂ 平面 ABCD ∴PD⊥AB . 1 分
∵AD⊥AB,AD∩PD=D ∴AB⊥ 平面 PAD
∵DE⊂ 平面 PAD ∴DE⊥AB 4 分
∵E 是 PA 的中点, DA=DP ∴DE⊥PA 3 分
∵PA∩AB=A ∴DE⊥ 平面 PAB 4 分
(2)解:如图所示，以 D 为原点，以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系,则 D0,0,0,P0,0,2,A2,0,0,C0,2,0,B2,1,0,E1,0,1 ,
F0,1,1 . 5 分

所以 BF=−2,0,1,BE=−1,−1,1 ,
设平面 BEF 的法向量为 m=x1,y1,z1 ,
则 m⋅BE=0m⋅BF ,即 −2x1+z1=0−x1−y1+z1=0 令 x1=1 ,
则 y1=1,z1=2 ,
所以平面 BEF 的一个法向量为 m=1,1,2 , 7 分由(1)得平面 PAB 的一个法向量为 DE=1,0,1 , 8 分设平面 BEF 与平面 PAB 的夹角为 θ ,
所以 csθ=cs=m⋅DEmDE=36⋅2=32 ,
所以平面 BEF 与平面 PAB 夹角的余弦值为 32 . 9 分
(3)设 Fx,y,z ，令 CF=λCP,0≤λ≤1 ，则 x,y−2,z=λ0,−2,2 ，
所以 F0,2−2λ,2λ ,即 DF=0,2−2λ,2λ . 10 分
设平面 DEF 的法向量为 n=x2,y2,z2 ,
则 n⋅DE=0n⋅DF=0 ,即 x2+z2=02−2λy2+2λz2=0 令 y2=λ ,则 x2=1−λ,z2=λ−1 ,
所以平面 DEF 的一个法向量为 n=1−λ,λ,λ−1 , 12 分
AD=−2,0,0,A 到平面 DEF 的距离 d=AD⋅nn=2−2λ1−λ2+λ2+λ−12=21−λ3λ2−4λ+2=43 ,
即 3λ2+2λ−1=0 ,解得 λ=−1 (舍) 或 λ=13 , 14 分
即平面 DEF 的一个法向量为 n=23,13,−23 ,
设 Gx,y,z ,令 BG=μBP,0≤μ≤1 ,则 x−2,y−1,z=μ−2,−1,2 ,
所以 G2−2μ,1−μ,2μ ,即 DG=2−2μ,1−μ,2μ , 15 分
所以 n⋅DG=23,13,−23⋅2−2μ,1−μ,2μ=135−9μ=0 ,
所以 μ=59 , 16 分
19. 解: (1) 依题意: 因为 A3,0 ,所以 a=3 , 1 分
因为 e=ca=13 ,所以 c=1 2 分
则 b=a2−c2=22 3 分
所以椭圆 E 的标准方程为 x29+y28=1 4 分
(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时, PF=QF=83 ,此时直线 l 的方程为 x=1 . 5 分当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,Px1,y1,Qx2,y2 .
由 y=kx+mx29+y28=1 ,消 y 得 8+9k2x2+18kmx+9m2−72=0
由 Δ=18km2−4⋅8+9k2⋅9m2−72>0 ,得 m2