江西赣州市2025-2026学年度第一学期期末考试高一数学试卷（试卷+解析）

这是一份江西赣州市2025-2026学年度第一学期期末考试高一数学试卷（试卷+解析），共23页。试卷主要包含了 集合的元素个数是， 关于的不等式的解集是，那么， 根据函数定义判断， 下列说法正确是， 对于函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2026年2月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1. 集合的元素个数是（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 无数个
2. 关于的不等式的解集是，那么（ ）
A. B. -3C. -2D.
3. 根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
6. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数定义域为且，其图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ）
A. 1B. 4C. 5D. 8
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）
A. 若一组数据为，则其平均数、中位数相同
B. 若甲､乙､丙三种物品数量比为，现用分层随机抽样方法抽取甲物品8个，则样本容量为40
C. 分层随机抽样中仅有甲乙两层样本，若甲层样本均值为5，乙层样本均值为10，总样本均值为8，则甲层样本量占总样本量的比例为
D. 若一组数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差均为18
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 定义域为
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增
D.
11. 设均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为9
B. 若，则的最小值为
C. 的最小值为
D. 若，则的最大值为
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上.
12. 当且时，函数的图象经过定点__________.
13. 若满足，则按从小到大排序为__________.
14. 已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15 设全集，集合.
（1）求集合；
（2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
16. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，共同“铭记历史､缅怀先烈､珍爱和平､开创未来”.北斗导航系统首次大规模应用于阅兵保障，以厘米级高精度定位技术确保受阅装备队形“米秒不差”，空中编队误差更是控制在10厘米内.假设某空中编队共40名飞行员，记录训练时的编队间距误差（单位：）数据整理得频率分布直方图（如图）.
（1）求编队间距误差在区间的人数；
（2）求该梯队飞行员编队间距误差的分位数；
（3）从间距误差在区间和飞行员中随机抽取2人复盘训练数据，求这2人间距误差恰在不同区间的概率.
17. 近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，.
（1）求值；
（2）若污染物排放量为时，求所需的处理时间；
（3）若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值.
18. 已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
19. 对于函数和，若存在两不相等的实数，使得和同时成立，则称函数和为“相依函数”.
（1）若函数，判断和是否为“相依函数”，并说明理由；
（2）已知函数，
①若和为“相依函数”，求实数的取值范围；
②若，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，当时，是否存在正整数，使得不等式恒成立；若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由.
赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试
高一数学试卷
2026年2月
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1. 集合的元素个数是（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得.
【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有
当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.
故集合的元素个数是4.
故选：B
2. 关于的不等式的解集是，那么（ ）
A. B. -3C. -2D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知的解为，利用韦达定理求的值，进而代入即可得解.
【详解】由题意可知：的解为，
则，解得.
所以.
故选：D.
3. 根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据函数的定义判断可得.
【详解】对于A：因为时，y的值无意义，所以A不正确；
对于B：因为当时，对应，所以B不正确；
对于C：当分别取，对应的值为，符合题意，所以C正确；
对于D：因为当时，对应，所以D不正确；
故选：C
4. 用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得.
【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或，
当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或；
当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或；
故选：D
5. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】由题可得：,解得：，
所以函数的定义域是,
故选：B
6. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围.
【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，
由题意可得，解得，
由互斥事件的概率公式可得，
由题意可得，解得，
故取值范围是.
故选：A.
7. 使命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据命题是假命题可得命题是真命题，从而可得，再根据包含关系可得.
【详解】因命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，所以.
所以的一个必要不充分条件.
故选：A
8. 已知函数定义域为且，其图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ）
A. 1B. 4C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，利用函数的单调性奇偶性即可求解.
【详解】由知为奇函数；
，当时，总有，即，
令，则在单调递增，
又为奇函数，所以，即为偶函数，
所以.因为，
即，即，即，
解得，
又，所以的解集为，
则有.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若一组数据为，则其平均数、中位数相同
B. 若甲､乙､丙三种物品数量比为，现用分层随机抽样方法抽取甲物品8个，则样本容量为40
C. 分层随机抽样中仅有甲乙两层样本，若甲层样本均值为5，乙层样本均值为10，总样本均值为8，则甲层样本量占总样本量的比例为
D. 若一组数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差均为18
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，计算平均数和中位数即可；选项B，利用分层抽样方法分析即可；选项C，根据分层抽样均值计算方法计算即可；选项D，利用方差与极差的定义和性质分析即可.
【详解】选项A，数据的平均数为：，
数据从小到大排序为：，中位数为第三个数即为，
故A选项正确；
选项B，由甲､乙､丙三种物品数量比为，
所以分层抽样时，抽甲物品所占比例为：，
设样本容量为，则有，
故B选项不正确；
选项C，设甲层样本量占总样本量的比例为，
则乙层样本量占总样本量的比例为，
由题意得：，解得：，
故C选项正确；
选项D，若数据的最大一个数为，
最小一个数为，则极差为，
此时数据的最大一个数为，
最小一个数为，
则极差，
又若数据的方差为2，
则数据的方差为：，
故D选项正确；
故选：ACD.
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，对数的真数大于零，可求解；
对于B，验证是否成立即可；
对于C，时，利用复合函数的单调性即可判断.
对于D，，由单调性可比较大小.
【详解】对于A,由 得且，所以的定义域为，故A 错误；
对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确
对于C，时，在单调递增，单调递增，在上单调递增，故C正确；
对于D， ,易得在单调递减，，
又，所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 设均为正实数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为9
B. 若，则的最小值为
C. 的最小值为
D. 若，则的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式依次判断选项即可.
【详解】对于A，因为均为正实数，则，解得：，即，当且仅当时等号成立，则的最小值为，故A不正确；
对于B,若，则，当时,取最小值为，故B正确；
对于C，令,则,
因为,当且仅当时等号成立，
则,当且仅当时取等号，
所以的最小值为,故C正确；
对于D，若，则,
所以
因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为，故D不正确.
故选：BC
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上.
12. 当且时，函数的图象经过定点__________.
【答案】
【解析】
【分析】令对数的真数等于，求出的值，再代入函数解析式，可得出定点坐标.
【详解】当且时，对于函数，
令可得，所以，
故函数的图象经过的定点坐标为.
故答案为：.
13. 若满足，则按从小到大排序为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等式关系转化成函数，利用函数图象和性质分析即可.
【详解】由，因为，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以，所以，
由知，
当时，，解得不满足，
当时，，
同理由可得：，
由此可知，
下面判断：的大小，
由，
设，其中，
如图所示：
由图可知，综上可得：，
故答案为：.
14. 已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】根据题意,作出函数的图象,如图:
令，因为方程有6个相异的实数根,
所以方程有两个不等的实根，
所以
解得或,
不妨设这两根,
则或,
当时，，且，所以无解；
当时，
令,
只需,即,解得,
综上所述：.
故答案为:.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设全集，集合.
（1）求集合；
（2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先解分式不等式，再求集合的补集，进而可得交集；
（2）根据充分条件可得，现分和两种情况讨论可得.
【小问1详解】
由，得，所以或
所以.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分条件，所以，
当时，则，得，符合题意；
当时，则，，得.
综上所述，实数的取值范围.
故实数的取值范围.
16. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，共同“铭记历史､缅怀先烈､珍爱和平､开创未来”.北斗导航系统首次大规模应用于阅兵保障，以厘米级高精度定位技术确保受阅装备队形“米秒不差”，空中编队误差更是控制在10厘米内.假设某空中编队共40名飞行员，记录训练时的编队间距误差（单位：）数据整理得频率分布直方图（如图）.
（1）求编队间距误差在区间的人数；
（2）求该梯队飞行员编队间距误差的分位数；
（3）从间距误差在区间和的飞行员中随机抽取2人复盘训练数据，求这2人间距误差恰在不同区间的概率.
【答案】（1）人
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据频率和为1求的值，再根据频率和频数的关系求频数；
（2）利用频率直方图结合百分位数的计算方法求解；
（3）根据古典概型概率计算公式求解.
【小问1详解】
因为，
可得.
所以编队间距误差在区间的人数为人.
【小问2详解】
因为6组数据所占频率分别为，
，，
所以该组数据的分位数落在内，
由，
所以该梯队飞行员编队间距误差的分位数为.
【小问3详解】
组中共有人，设为，
组中共有人，设为，
从这6人中随机选出2人，
样本空间
共15个样本点，
用表示“2人不在同一组”，则，
共8个样本点，
，
所以抽取的2人间距误差恰在不同区间的概率为.
17. 近年来，赣州市坚定走生态优先､绿色发展之路，获评生态环境领域激励表扬城市.某校数学建模小组开展“保护环境，从我做起”研究活动，发现某类污染物处理时间（单位：天）与污染物排放量（单位：吨）之间满足关系式（其中均为常数），且当时，；当时，.
（1）求的值；
（2）若污染物排放量为时，求所需的处理时间；
（3）若污染物分两次处理，排放量分别为和，其中，求所需的总处理时间的最小值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题干中的函数解析式以及给定的值，建立方程组，结合对数运算，可得答案；
（2）由（1）所得函数解析式，代入给定值，可得答案；
（3）由基本不等式，可得答案.
【小问1详解】
由题意知，得，故，
两式相减可得，故，
故．
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，
故所需的处理时间为天.
【小问3详解】
，
当且仅当时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为天.
18. 已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增可求得；
再利用奇函数的性质求时的解析式，即可得在R上的解析式；
（2）利用的奇偶性和单调性将不等式转化为含参不等式，求解不等式即可.
【小问1详解】
因为函数为幂函数，
所以，解得或.
当时，，在上单调递减，不符合题意；
当时，，在上单调递增，符合题意；
所以，，
所以时，.
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，，
当时，，则.
故.
∴.
【小问2详解】
由（1）中的解析式易证在上是增函数.
，
，
，即
当时，原不等式可化为，即，所以，
所以此时不等式的解集为.
当时，的两根为，.
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为.
19. 对于函数和，若存在两不相等的实数，使得和同时成立，则称函数和为“相依函数”.
（1）若函数，判断和是否为“相依函数”，并说明理由；
（2）已知函数，
①若和为“相依函数”，求实数的取值范围；
②若，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，记，当时，是否存在正整数，使得不等式恒成立；若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）和不是相依函数
（2）①；②,理由见解析.
【解析】
【分析】(1) 先根据求出的关系，再代入验证是否存在不相等的；
(2) ① 先分析的奇偶性与单调性，得到的关系，再转化为方程有解问题求的范围；
② 先化简，求的表达式，再结合的最值分析不等式恒成立的范围。
【小问1详解】
由得：，则，
因为，即，即，
将代入：
则​，
化简得：，
判别式，方程无实数解。
因此，和不是相依函数；
【小问2详解】
①的定义域为，
因，
故是奇函数，
当时，是单调递增函数，则是单调递减函数，
则在上单调递减，
根据奇函数的性质可得：在上是单调递减函数，
由，可得，结合单调性得。
又，故。
此时，即，
因此相依函数的条件转化为：存在，使得成立；
代入：
，
整理得：
，
令，则，
因为，则，且。
代入上式得：
，即
设函数（），
在上单调递减，故，且当时，。
因此，实数的取值范围为；
②根据题意可得：,
因此：
​
令，则时，时，
求和项变为，
由是奇函数，，且，故互为相反数的项相加为0，
即：.
因此，化简为：
​.
,
令，则，
该二次函数在上单调递增，
故：,
即，
要使对任意恒成立，只需，
解此不等式：,
解得：.​
所以存在正整数使得不等式恒成立，且的取值范围为.