黑龙江省哈尔滨市第九中学2026届高三上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2026届高三上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，.则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（ ）
A．B．6C．－6D．
3．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．在的展开式中，各项系数之和为（ ）
A．1B．16C．32D．243
5．，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km），已知距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）

A．最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
10．从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中，依次不放回地随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，D表示事件“第一次取到的球编号为奇数”，E表示事件“两次取到的球编号和为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件，互为对立事件B．
C．事件，为相互独立事件D．事件，为相互独立事件
11．已知封闭直三棱柱中，，，，为该三棱柱的外接球球心，则（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．球的体积为
C．可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为
D．点在四边形及其内部运动，且满足，则最小值为
三、填空题
12．记为数列的前项和，满足，且，则 ．
13．若函数有3个零点，则实数k的取值范围为 ．
14．设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 .
四、解答题
15．某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图.
(1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由.
(2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列.
16．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．若
（1）求角B的值；
（2）数列满足，前项和为，求值.
17．如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
18．已知函数．
(1)若，求证：关于x的方程有且只有一个实数根；
(2)记，试讨论的单调性；
(3)证明：对任意正整数n，不等式恒成立.
19．已知椭圆经过点，两个焦点恰好将长轴三等分：
(1)求椭圆的方程；
(2)设两条直线、与椭圆共有四个不同的交点：直线与椭圆交于点与点，直线与椭圆交于点与点，且、、、四点都在以点为圆心的圆上，为坐标原点.
（i）若与交于点，求以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值；
（ii）若经过椭圆的左焦点，经过椭圆的右顶点，求证：直线与直线的斜率乘积是定值.
参考答案
1．B
【详解】，，
所以
故选：B
2．C
【详解】依题意，复数，因为为纯虚数，所以且，解得.
故选：C.
3．D
【详解】因为，即，
又，，向量与的夹角为，
所以，解得.
故选：D.
4．C
【详解】令，即得的展开式中的各项系数之和为.
故选：C.
5．A
【详解】由题意可得，，
则，，即，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，
所以的取值范围是.
故选：A.
6．B
【详解】因距离发射器处的光功率衰减为初始光功率的一半，
则，
设，则.
故选：B
7．A
【详解】解：因为，所以，
即，
整理得，，所以
，
故选:A.
8．A
【详解】设点，又，由，且，
所以，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
又点在圆上，
所以圆与圆有公共点，
所以，即，
所以，即，
又，，所以的解集为，
由，
所以.
故选：A.
9．ACD
【详解】由图象可知，函数的最小正周期，故A正确；
所以，所以，
又根据图象，可知函数过点，所以，
即，所以，所以，
又，所以，所以，
当时，可得，
根据正弦函数的图象性质，可知当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，故B错误；
令，解得，
所以函数的对称中心为，
当时，对称中心为，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位长度可得到，故D正确.
故选：ACD
10．BCD
【详解】对于A，，{恰有或个白球}全部情况，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，，则，故C正确；
对于D，，，，则，故D正确.
故选：BCD.
11．AB
【详解】因为，所以，
因为为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，，所以，，
所以，故，故A正确；
因为的外接圆的圆心为线段的中点，且为直三棱柱，
所以易知线段的中点为球心，
则球的半径为，故球的体积为，故B正确；
的内切圆半径为，
所以可以放入该直三棱柱的内部的最大球半径为，故C错误；
取线段的中点，线段的中点，
因为平面，所以到平面的距离为，
则以为球心，为半径的球被平面所截得的小圆半径为，
因为点在四边形及其内部运动，且满足，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上且在四边形及其内部的点，
连接，当三点共线时最小，
最小值为，故D错误.
故选：AB
12．2
【详解】因为，且，
所以当时，，
则，结合，即①；
当时，②；
当时，③；
将③代入②可得，结合代入①可得.
故答案为：2.
13．
【详解】当函数有3个零点时，即方程有三个解；
当时，方程无解，
即当时，方程有三个解；
设函数且，
，
令，即，解得或，
当时，，则，即，函数在上单调递增，
当时，，则，即，函数在上单调递减，
当时，，则，即，函数在上单调递增，
可知时，，时，，
因为，所以当有三个解时，，即实数k的取值范围为.
故答案为：.
14．
【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，
设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为，
又，则．由，可知．
设双曲线C的左焦点为，连接，
由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理可得，
整理得，即，则，，所以C的离心率．
故答案为：.
15．(1)强化训练后跳水队成绩有所提高，理由见解析；
(2)分布列见解析.
【详解】（1）强化训练后跳水队成绩有所提高，理由如下：
强化训练前：平均数约为，
由题中图1知频率最大的一组是，所以众数约为；
强化训练后：平均数约为，
由题中图2知频率最大的一组是，所以众数约为.
所以强化训练后的平均数与众数均大于强化训练前，即强化训练后跳水队成绩有所提高.
(也可以比较中位数，强化训练前的中位数位于区间，强化训练后的中位数位于区间，前者小于后者)
（2）由题中图2可知强化训练后的跳水队中优秀学员（得分80分以上（含80分））的频率为，
则非优秀学员的频率为，
从强化训练后的跳水队中共抽取5名，则这5名学员中优秀学员的人数为，非优秀学员的人数为，
从这5名学员中随机选出3人，这3名队员中优秀人数的可能取值为，
且，，，
所以的分布列如下.
16．（1）；（2）
【详解】解：(1)由已知，∴，
由得，，
∴，又a，b，c成等比数列，∴.
(2)
∴
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，连接，
在等边三角形中，，则，
平面平面，且平面平面，平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，平面，故，
由三棱柱的性质可知，，而，故，
且平面，
由线面垂直的判定定理可得：平面.
（2）
如上图，过点作交于，
以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，
由，，，所以，，，据此可得：
，，，，
由可得，利用中点坐标公式可得，
故，
设平面的法向量为，且，，
则，令，则，
所以平面的一条法向量为，，
设直线与平面所成的角为，
，所以.
故直线与平面所成角的余弦值为.
18．(1)证明见详解
(2)答案见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）当时，方程为，即，
令，，则，
当且仅当时，，故在上单调递减，
又，则仅有一个零点，即方程有且只有一个实根.
（2），，则，
令，，
当时，易得，即，故在上单调递增；
当时，对应方程的，
若，即时，，即，故在上单调递减；
若，即时，方程的两根为，，且，
当时，，即，则在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
当时，，即，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
（3）由（1），当时，，即，所以，
令，
，
又
，
所以，得证.
19．(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）由题意可得，，，，得，故椭圆的方程为；
（2）（i）如图，由椭圆的对称性可知，为线段的中点，

若圆心与点不重合，则有，则重合或平行，与题意矛盾，
故、、、四点都在以点为圆心的圆上，
则四边形为矩形，且，
因为，所以直线的斜率均存在且不为0，
故设，，，
联立，得，则，同理得，
则，，
因为，所以，得，即，
则，
则
，等号成立时，
故以、、、四点为顶点的四边形面积的最大值为；
（ii）设椭圆的左焦点为，右顶点为，
故可设，，
联立，得，
则，
则，
则的中点为，
则线段的中垂线方程为，即，
直线的斜率为，且线段的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
即，
同理可得，线段的中垂线方程为，
联立，，
得，
则，
故的外接圆圆心为，则直线的斜率为，
因为直线的斜率为，所以直线与直线的斜率乘积是定值.1
2
3