江苏南通市市区、通州、启东2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题与解析（word版+pdf版）

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1. 直线 x3+y3=1 的倾斜角为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
2. 数列 23,38,415,⋯ 的通项公式可能是 an=
A. nn2−1 B. n+1n2+2 C. n+1n2−1 D. n+1nn+2
3. 已知曲线 C:mx2−4y2=4m 是焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是
A. −4,0 B. −4,+∞ C. 0,4 D. −∞,4
4. 在空间四边形 ABCD 中,已知 AM=12AD,BN=2NC ,则 MN=
A. 13AB+23AC+12AD B. 13AB−23AC+12AD
C. 13AB+23AC−12AD D. 23AB+13AC−12AD
5. 有 5 名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期日两天，每天从中任选 2 人参加服务, 则两天中恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为
A. 120 B. 60 C. 40 D. 30
6. 已知数列 an 满足: 12an+1=an2+ann∈N∗,a1=1 ,则 a8=
A. 19 B. 29 C. 14 D. 27
7. 已知双曲线 C:x24−y25=1 的左焦点为 F,P 为 C 的右支上一动点,定点 A4,2 ,则 PF−PA 的最大值为
A. 2+5 B. 35 C. 4+5 D. 4−5
8. 已知抛物线 C:y2=4x ,若在 C 上存在点 P ,使得过点 P 可作两条互相垂直的直线与圆 x−32+y2=r2r>0 相切,则 r 的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 下列等式恒成立的是
A. A105=10×9×⋯×5 B. C63+C62=35
C. Anm=n An−1m−1m,n∈N∗,m≤n D. mCnm=nCn−1m−1m,n∈N∗,m≤n
10. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 a1=−2,Snn 是公差为 d 的等差数列,则
A. 若 d=1 ,则 S5=10
B. 若 d=2 ,则 an=2n−4
C. an 是等差数列
D. “ d>0 ” 是 “ Sn+Sn+2>2Sn+1 ” 的充要条件
11. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 ， M 是 DD1 的中点， N 为正方形 ABCD 所在平面内一动点， 则下列结论正确的是
A. 若 N 到点 M 与点 B1 的距离相等,则 N 的轨迹为直线
B. 若 N 到直线 BB1 与直线 DC 的距离相等,则 N 的轨迹为抛物线
C. 若直线 MN 与平面 ABCD 所成的角为 60∘ ,则 N 的轨迹为椭圆
D. 若直线 D1N 与直线 AB 所成的角为 60∘ ,则 N 的轨迹为双曲线
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 n=1,−1,2 是平面 α 的一个法向量,点 A0,1,1 在平面 α 内,则点 B1,1,2 到平面 α 的距离为_____.
13. 已知过原点 O 的直线与圆 C:x2+y−42=6 交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 P ,则点 P 的轨迹与圆 C 的公共弦长为_____.
14. 已知数列 an 的前 n 项积为 Tn,a1=1,an=nn2−1n≥2,n∈N∗ ,则 Tn= _____(用阶乘表示)；若数列 Tn 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn0,b>0 与抛物线 C2:y2=8x 有相同的焦点 F .
(1)若 C1,C2 在第一象限的交点为 M ，且 MF=5 ，求 C1 的方程；
(2)过点 F 的直线 l 与 C1 的一条渐近线平行,且与 C2 交于点 A,B . 若 AB=10 ， 求 C1 的离心率.
17. (15 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,an>0 ,且 2Sn=an2+an−2 .
(1)求证: an 是等差数列；
(2)设 bn=an+12an ，求数列 bn 的前 n 项和 Hn .
18. (17分)
如图,在正四棱锥 P−ABCD 中, AB=2,O 为 AC 与 BD 的交点,点 E,F 分别为棱 PB,PD 的中点,且 AE⊥BF .
(1)求 PO 的长度;
(2)求二面角 A−EC−B 的正弦值;
(3)若 PG=λPC ，且 A,E,F,G 四点共面， 求 λ 的值.
19. (17 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 23 ,且经过点 A2,1 .
(1)求 C 的方程；
(2)若三点 P,Q,R 都在 C 上,且 P,Q 关于点 O 对称,直线 PR 与圆 O:x2+y2=2 相切.
(i) 从下面两个结论中选择一个证明:
①直线 QR 与圆 O 相切；② △PQR 为等腰三角形；
(ii) 求 △PQR 面积的取值范围.
高二数学参考答案及评分建议
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 62 13. 15 14. 2nn+1! 2
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
【解】(1)设等比数列 an 的公比为 q .
因为 S6≠2S3 ,所以 q≠1 , 1 分
所以 S3=a11−q31−q=72,S6=a11−q61−q=632 . 3 分
将上面两个等式的两边分别相除,得 1+q3=9 ,
解得 q=2 ,所以 a1=12 . 5 分
所以 an=12×2n−1=2n−2 . 6 分
(2)设等差数列 an 的公差为 d .
因为 a6,a7,a9 成等比数列,
所以 a72=a6a9 ,即 a6+d2=a6a6+3d , 8 分
所以 d2=a6d ,
因为 d≠0 ,所以 a6=d . 10 分
所以 S11a10=11a6a6+4d=11a65a6=115 . 13 分
16. (15 分)
【解】(1) 抛物线 C2:y2=8x 的焦点 F2,0 ,准线方程为 x=−2 , 2 分
由 MF=5 ,结合抛物线的定义知,点 M 的横坐标为 3,
所以点 M 坐标为 3,26 . 4 分
所以 a2+b2=4,9a2−24b2=1, 解得 a2=1,b2=3, 6 分
所以 C1 的方程为 x2−y23=1 . 7 分
(2)设直线 l 的方程为 y=kx−2 .
联立方程组 y=kx−2,y2=8x, 消 y 得 k2x2−4k2+8x+4k2=0 ,
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 x1+x2=4k2+8k2 .
由 AB=x1+x2+4=4k2+8k2+4=10 , 10 分
解得 k=±2 . 12 分
因为直线 l 与 C1 的一条渐近线平行,所以 ba=2 ,
所以 C1 的离心率 e=1+ba2=5 . 15 分
17. (15 分)
【解】(1) 由 2Sn=an2+an−2 ,
则当 n≥2 时, 2Sn−1=an−12+an−1−2 ,
两式相减得, 2an=an2−an−12+an−an−1 , 2 分
所以 an+an−1=an2−an−12 .
因为 an>0 ,所以 an−an−1=1n≥2 , 4 分
所以 an 是等差数列,且公差为 1 . 5 分
(2)当 n=1 时， 2S1=a12+a1−2 ，
即 a12−a1−2=0 ,解得 a1=2 或 a1=−1 (舍去). 7 分
由(1)知， an=2+n−1×1=n+1 .
所以 bn=an+12an=n+22n+1 . 10 分
所以 Hn=322+423+524+⋯+n+22n+1 ,
12Hn=323+424+525+⋯+n+22n+2,
两式相减,得 12Hn=322+123+124+⋯+12n+1−n+22n+2 , 12 分
即 12Hn=34+181−12n−11−12−n+22n+2=1−12n+1−n+22n+2=1−n+42n+2 ,
所以 Hn=2−n+42n+1 . 15 分

18. (17 分)
【解】(1)在正四棱锥 P−ABCD 中，以 O 为坐标原点， OA,OB,OP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 AB=2 ,则 A2,0,0,B0,2,0 , C−2,0,0,D0,−2,0 .
设 P0,0,aa>0 ,则 E0,22,a2,F0,−22,a2 .
所以 AE=−2,22,a2,BF=0,−322,a2 . 3 分
因为 AE⊥BF ，
所以 AE⋅BF=−32+a24=0 ,解得 a=6 .
所以 PO=6 . 5 分
(2)由(1)知， AE=−2,22,62,AC=22,0,0 ， BC=−2,−2,0,EB=0,22,−62.
设平面 AEC 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,
由 n1⊥AE,n1⊥AC, 得 n1⋅AE=−2x1+22y1+62z1=0,n1⋅AC=22x1=0,
则 x1=0 ,取 z1=1 ,则 y1=−3 ,
即平面 AEC 的一个法向量为 n1=0,−3,1 . 7 分
设平面 BEC 的法向量为 n2=x2,y2,z2 ,
由 n2⊥BC,n2⊥EB, 得 n2⋅BC=−2x2−2y2=0,n2⋅EB=22y2−62z2=0,
取 z2=1 ,则 y2=3,x2=−3 ,
即平面 BEC 的一个法向量为 n2=−3,3,1 . 9 分
设二面角 A−EC−B 的大小为 θ ,
则 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=−3+12×7=77 ,
所以 sinθ=427 ,
即二面角 A−EC−B 的正弦值为 427 . 12 分
(3)由 PC=−2,0,−6 ，
所以 PG=λPC=−2λ,0,−6λ ,
所以 AG=AP+PG=−2λ−2,0,−6λ+6 .
设平面 AEF 的法向量为 n3=x3,y3,z3 ,
因为 AE=−2,22,62,AF=−2,−22,62 ,
由 n3⊥AE,n3⊥AF, 得 n3⋅AE=−2x3+22y3+62z3=0,n3⋅AF=−2x3−22y3+62z3=0,
则 y3=0 ,取 z3=2 ,则 x3=3 ,
即平面 AEF 的一个法向量为 n3=3,0,2 . 15 分
因为 A,E,F,G 四点共面,则 n3⊥AG ,
所以 −2λ−2×3+−6λ+6×2=0 ,
解得 λ=13 . 17 分
19. (17 分)
【解】(1)由 C 的焦距为 23 ，且经过点 A2,1 ，
则 a2−b2=3,4a2+1b2=1, 解得 a2=6,b2=3,
所以 C 的方程为 x26+y23=1 . 3 分
(2)(i)选择①:
当直线 PR 的斜率不存在时,
此时直线 PR 的方程为 x=2 (或 x=−2 ),
不妨取点 P2,2 ,则 Q−2,−2,R2,−2 ,
所以直线 QR 的方程为 y=−2 ,满足与圆 O 相切. 4 分
当直线 PR 的斜率存在时,设方程为 y=kx+m ,
设 Px1,y1,Rx2,y2 ,则 Q−x1,−y1 .
因为直线 PR 与圆 O:x2+y2=2 相切,
所以 mk2+1=2 ,即 m2=2k2+1 . 6 分
联立方程组 y=kx+m,x26+y23=1, 消 y 得, 2k2+1x2+4kmx+2m2−6=0 ,
所以 x1+x2=−4km2k2+1,x1x2=2m2−62k2+1 .
因为直线 QR 的方程为 y+y1=y2+y1x2+x1x+x1 ,
即 y2+y1x−x2+x1y+x1y2−x2y1=0 ,
所以圆心 O 到直线 QR 的距离
d=x1y2−x2y1y2+y12+x2+x12=mx1−x21+k2x2+x12+4kmx2+x1+4m2 =m16k2m22k2+12−42m2−62k2+11+k216k2m22k2+12−16k2m22k2+1+4m2 =m16k2m2−42m2−62k2+116k2m21+k2−16k2m22k2+1+4m22k2+12 =m86k2−m2+32m1+4k2=81+4k221+4k2=2,
所以直线 QR 与圆 O 相切.
综上,直线 QR 与圆 O 相切. 10 分
选择②:
要证 △PQR 为等腰三角形,
即证 PR=QR ,即证 OR⊥PQ . 5 分
当直线 PR 的斜率不存在时,同①知,满足 OR⊥PQ . 6 分
当直线 PR 的斜率存在时,设方程为 y=kx+m ,
设 Px1,y1,Rx2,y2 ,则 Q−x1,−y1 .
同①知， x1+x2=−4km2k2+1,x1x2=2m2−62k2+1 .
所以 x1x2+y1y2=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2
=1+k22m2−62k2+1+km−4km2k2+1+m2
=12k2+11+k22m2−6−4k2m2+m22k2+1
=32k2+1m2−2k2−2=0,
所以 OR⊥PQ .10 分
(ii) 由 (i) 知, △PQR 的面积
S=x12+y12⋅x22+y22=x1x2+y1y22+x1y2−x2y12 =x1y2−x2y1=mx1−x2. 13 分
当直线 PR 的斜率不存在时, S=4 ;
当直线 PR 的斜率存在时,
由 x1−x22=16k2m22k2+12−42m2−62k2+1=86k2−m2+32k2+12=84k2+12k2+12 ,
所以 S2=m2⋅84k2+12k2+12=16k2+14k2+12k2+12 .
设 t=2k2+1 ,则
S2=16×t+122t−1t2=82t2+t−1t2=8−1t2+1t+2.
因为 t≥1 ,所以 0