山西省大同市2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题（原卷+解析）

这是一份山西省大同市2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题（原卷+解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 圆与圆的位置关系是（ ）
A 内切B. 相交C. 外切D. 外离
2. 已知向量，若共面，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
3. 已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A 3B. 5C. 7D. 9
4. 椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
5. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A. 2B. 0或C. 0或2D.
6. 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
7. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ）

A. B. C. D.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则
D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为5B. 的最大值为
C. 圆心到直线的距离最大为4D. 直线与圆相切时，
10. 在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 异面直线，所成的角为
D. 与平面所成角的余弦值为
11. 已知函数，则（ ）
A. 必有两个极值点
B. 存在实数使得
C. 点是曲线的对称中心
D. 若曲线有两条过点切线，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等差数列中，若，则的值为__________．
13. 已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线的焦点，，则的最小值为__________.
14. 已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
16. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；
（2）求数列的前16项的和．
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角正弦值.
18. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点.
（1）求双曲线C标准方程；
（2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由．
19. 已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
2025-2026学年第一学期期末检测
高二数学试题
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距和两圆半径的数量关系，得到两圆相交.
【详解】的圆心为，半径为2，
的圆心为，半径为3，
由于，，
故两圆相交.
故选：B
2. 已知向量，若共面，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理结合线性运算的坐标运算计算即可.
【详解】因为，三个向量共面，
所以存在唯一实数对，使得，
所以，所以，解得.
故选：B.
3. 已知直线过定点，若为圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先分析出直线过定点，然后分析出定点在圆外，从而得到最大值为圆心距加半径.
【详解】由，得，所以直线过定点，
由，知圆心坐标，半径为2，
所以到圆心的距离为，
所以在圆外，故的最大值为.
故选：C.
4. 椭圆的右焦点为，定点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，椭圆上存在点，使得，而，故根据，可转化为含的不等式 即可求解.
【详解】由题意，椭圆上存在点，使得，
而，，
显然，所以即可，
得，解得.
故选C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率，属于难题.
5. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A. 2B. 0或C. 0或2D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可.
【详解】设直线与曲线的切点为，
由，则，
则，即切点，所以直线为，
又直线与圆都相切，则有，解得或．
故选：B
6. 在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，，，结合等差数列下标和的性质及等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】因为为等差数列，前项和有最大值，
若，则，即，
所以，，，即，
则，即，
，即，
所以当时，的最大值为11.
故选：A.
7. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先证明三棱锥的外接球球心为的中点，再建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，从而求得点到平面的距离，利用勾股定理求得截面圆的半径，从而得截面圆的面积.
【详解】如图1，分别取的中点为，的中点为，
则，，连接，

因为底面为直角梯形，，，，
所以四边形为正方形，，
因为平面，，
所以平面，平面，
所以，
所以，
而平面，平面，则，
所以，
又为的中点，所以，
所以点到三棱锥各个顶点的距离均为，
故为三棱锥的外接球球心，
如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系，

因为平面，平面，则，
与底面所成的角为，则为等腰直角三角形，，
则，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，可取，
因为，
所以点到平面的距离，
设截面圆的半径为，则，
所以截面圆的面积为.
故选：A.
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则
D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30°
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称规则可判断A错误，利用向量共线的条件可得，可得B正确，由共面定理可知C错误，再由线面角定义可得D错误.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误；
对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为，
因为，所以，则，故B正确；
对于C.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则，解得，故C错误；
对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，
则直线l与平面所成的角为，故D错误.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为5B. 的最大值为
C. 圆心到直线的距离最大为4D. 直线与圆相切时，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解.
【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点，
所以的最大值，故A错误；
B：如图所示，当直线斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，故B正确；
C：圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，故C错误；
D：直线，即，过定点，
代入圆的方程得，则定点在圆外.
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2，
即，解得，故D正确.
故选：BD
10. 在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C. 异面直线，所成的角为
D. 与平面所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法证明线面关系即可判断选项；用向量法分别表示向量，以及求出平面的法向量，代入异面直线所成的角的向量公式可判断选项，代入直线与平面所成角的余弦公式即可判定选项.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.
对于A，因为，平面的一个法向量为，
所以，所以平面，故A正确.
对于B，因为，，
所以，
所以DP，EC不垂直，故B错误.
对于C，因为，，
所以，
所以异面直线，所成的角为，故C正确.
对于D，设平面的法向量为，
因为，，
所以令，得.
设与平面所成的角为，因为，
所以，
，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 必有两个极值点
B. 存在实数使得
C. 点是曲线的对称中心
D. 若曲线有两条过点的切线，则或
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可判断A；令，令，结合零点存在性定理判断B；由判断C；设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，再令，利用导数说明函数的单调性，依题意要使有两个解，一个极值一定为0，即可求出的值.
【详解】对于A，因为，当时，有两个不相等实数根，所以有两个极值点，
当时，恒成立，所以无极值点，故A错误；
对于B，，令，则，
令，，当时，
根据函数零点存在定理，存在实数使得，故B正确；
对于C，由，知的图象关于中心对称，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，过的切线的切点为，
切线斜率为，则切线方程为，
把点代入可得，化简可得，
令，则，令可得或，
在和上大于零，所以在和上单调递增，
在上小于零，所以在单调递减，
要使有两个解，一个极值一定为0，
若函数在极值点时的函数值，可得，
若函数在极值点时的函数值，可得，
所以若曲线有两条过点切线，则或，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等差数列中，若，则的值为__________．
【答案】40
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由可得，故，
则，
故答案为：40
13. 已知抛物线，且是抛物线上一点，设是抛物线焦点，，则的最小值为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点及准线方程，作出图形，结合抛物线的定义求出最小值.
【详解】抛物线焦点，准线方程为，
如图，过作准线的垂线，交准线于，过作准线的垂线，交准线于，
则，当共线时取等号，
所以的最小值为5.
故选：5
14. 已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，、为方程的两根，列出韦达定理，将不等式变形为关于实数的不等式，即可解得实数的最小值.
【详解】函数定义域为，且，
因为函数有两个极值点、，则，可得，
由题意可知，、为方程的两根，
由韦达定理可得，
所以，
，解得，所以，，
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程；
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案.
【小问1详解】
设，则，
故，
化简整理得，
故曲线的标准方程为；
【小问2详解】
曲线是以为圆心，1为半径的圆，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求，
当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到的距离，
解得，故切线方程，即，
综上，过点且与曲线相切的直线方程为或.
16. 等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式，并求取到最小值时的值；
（2）求数列的前16项的和．
【答案】（1），当取得最小值时，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可；
（2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由题可得：，
即，
解得，，所以；
由，可得，解得，
因为，所以时，取得最小值时，；
【小问2详解】
由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数，
故
；
故数列的前16项的和.
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
连接交于，连接，由于是的中点、是的中点，
所以是三角形的中位线，所以，
由于平面平面，所以平面；
【小问2详解】
依题意，底面是矩形，所以，
底面，平面，所以，
由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则.
18. 已知O为坐标原点，双曲线的焦距为6，且经过点.
（1）求双曲线C标准方程；
（2）已知点，点P在双曲线C上，设直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是求出其值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）为定值，其值为.
【解析】
【分析】（1）利用焦距为6可求，双曲线的方程可设为，将代入求解可得，即可求出曲线的轨迹方程.
（2）设，计算，利用在椭圆上化简可得定值.
【小问1详解】
由题意可得出：，则，
所以双曲线的方程可设为，因为经过点，
所以，化简可得：，
解得：或（舍去），
所以双曲线C标准方程为：.
【小问2详解】
，设，
因为在双曲线上，所以，则，
则.
所以为定值，其值为.
19. 已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）讨论或两种情况，并结合导数研究零点，最后根据零点个数确定参数范围.
【小问1详解】
当时，，
则，
所以，
所以在点处的切线方程为，
即．
【小问2详解】
令可得或，对两个方程分别讨论，
①设，则，
所以在单调递增，且，
所以存在唯一的零点，使，即，
②令，即，
设，可得，
则在上单调递增，又且时，，
当时，存在唯一的零点，使，即，
若时，得，则，可得，故，
所以且时，有两个不同的零点；
综上，实数的取值范围为．