广东省梅州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题（原卷+解析）

这是一份广东省梅州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题（原卷+解析），共18页。试卷主要包含了2），考生必须保持答题卡的整洁， “”是“”的， 已知正数满足，则的最小值是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 为第（ ）象限角
A. 一B. 二C. 三D. 四
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 命题“存在一个四边形，其内角和不等于”的否定为（ ）
A. 存在一个四边形，其内角和等于
B. 存无数个四边形，其内角和等于
C. 任意四边形，其内角和不等于
D. 任意四边形，其内角和等于
4. 如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 已知对所有的非负整数，均有，若，则（ ）
A. 9B. 13C. 17D. 21
8. 已知正数满足，则的最小值是（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 3
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
10. 设为实数，则关于的不等式的解集可能是（ ）
A. B.
C. D.
11. 对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则_____.
13. 函数的单调递增区间为_____.
14. 不等式解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 计算下面各式：
（1）；
（2）.
16. 已知函数.
（1）请将函数化简成的形式；
（2）求函数的最小正周期和其图象的对称轴方程；
（3）解不等式：.
17. 位于梅州市五华县华城镇的狮雄山遗址，为全国重点文物保护单位，是西汉南越王赵佗所筑的“长乐台”行宫遗址.2020年考古学家对遗址附近挖掘到的某生物化石标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的80%.
（1）碳-14测年法的原理是放射性元素的衰变满足规律：，其中是放射性元素在生物体中最初的含量，是放射性元素在生物体中经过时间后的含量.已知碳-14的半衰期为5730年，求碳-14测年法中的参数；（不要求具体数值，注：半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间）
（2）据此推测该化石活体生物生活的年代距2026年约多少年.（保留整数部分，参考数据：，）
18. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）若时，，求当时，的解析式；
（2）若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明；
（3）若函数图象还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数.
19 已知函数，.
（1）若，解方程；
（2）讨论函数的零点的个数.
广东省梅州市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题
（2026.2）
本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 为第（ ）象限角
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】利用终边相同角的表示方法即可判断．
【详解】由题意知，
所以与终边相同，故为第四象限角.
故选：
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集的概念即可求出.
【详解】集合，，
根据并集的概念得，.
故选：C.
3. 命题“存在一个四边形，其内角和不等于”的否定为（ ）
A. 存在一个四边形，其内角和等于
B. 存在无数个四边形，其内角和等于
C. 任意四边形，其内角和不等于
D. 任意四边形，其内角和等于
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定即可得出正确答案。
【详解】按照特称命题的否定规则，“存在一个”变成“任意”，同时将结论否定即可，
所以命题“存在一个四边形，其内角和不等于”的否定为
任意四边形，其内角和等于”
故选：D
4. 如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的图象，结合选项判断得解.
【详解】观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变，
选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求.
故选：D
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先化简求出等价条件，再结合充分必要条件的定义判断求解.
【详解】由，得，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知函数，，则函数的最大值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，得，换元得，根据二次函数单调性求得最大值.
【详解】由，
令，，则，
则，
当，即或时，取得最大值.
故选：C.
7. 已知对所有的非负整数，均有，若，则（ ）
A. 9B. 13C. 17D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知关系式推得，再分别求得，，最后求出.
【详解】令，则，所以，
令，则，
即，解得，
令，则，
即，解得
令，则，
即，解得，
故选：B
8. 已知正数满足，则的最小值是（ ）
A. 12B. 9C. 6D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的取值范围，根据将b用a表示，代入后配凑，根据基本不等式求得最小值.
【详解】当时，等式不成立，所以.
由得，
因为均为正数，所以，解得.
将代入得
，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是12，
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据偶函数的定义判断函数是否为偶函数,再根据函数的性质判断函数在区间上的单调性逐个分析选项即可.
【详解】对于选项A,函数其定义域为R,关于原点对称.
,所以是偶函数.
当,,根据正弦函数的图像性质在上单调递增.
故A正确.
对于选项B,函数其定义域为R,关于原点对称.
,所以是偶函数.
根据余弦函数的图像性质,在上单调递减.故B错误.
对于选项C,函数其定义域为,关于原点对称.
,所以是偶函数.
当,,根据正切函数的图像性质在上单调递增.故C正确.
对于选项D, 函数其定义域为R,关于原点对称.
,所以是偶函数.
令,当时, ,函数在上单调递增,根据复合函数的同增异减原则在上单调递增.故D正确.
故选:ACD.
10. 设为实数，则关于的不等式的解集可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据含参数的一元二次不等式求解方法求解即可.
【详解】当时，原不等式可化为，即，所以，
所以此时不等式的解集为，A正确.
当时，的两根为，.
当时，，此时不等式的解集为，B正确；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为；
当时，，此时不等式的解集为，D正确.
故选：ABD.
11. 对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】准确理解集合的新定义，结合元素与集合的关系、集合间的关系求解即可.
【详解】选项A：根据函数的定义，当时，.
已知集合，因为，所以，A正确；
选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误；
选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于，
所以，所以，C错误；
选项D：，，
所以，而，
所以，D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则_____.
【答案】##
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式求值.
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：
13. 函数的单调递增区间为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性判断函数的单调性.
【详解】设，则函数在上单调递减，在上单调递增，且.
又在上单调递增，根据复合函数单调性的判断方法“同增异减”可得，
函数的单调递增区间为.
故答案为：
14. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【详解】原不等式变形为．
设．易知，在上单调递增，且当时，原不等式化为．
故或
解得或．
故原不等式解集为．
故答案为
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下面各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用根式与分数指数幂的关系及分数指数幂的运算性质即可求解；
（2）利用对数的运算性质求解
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
16 已知函数.
（1）请将函数化简成的形式；
（2）求函数的最小正周期和其图象的对称轴方程；
（3）解不等式：.
【答案】（1）
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）逆用两角差的正弦公式化简即可；
（2）根据最小正周期的公式可求最小正周期，整体法可得对称轴的方程；
（3）整体法解三角不等式.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为函数，
所以函数的最小正周期为；
令，解得，
所以函数图象的对称轴方程为.
【小问3详解】
由得：，
所以，
所以，
解得
所以原不等式的解集为.
17. 位于梅州市五华县华城镇的狮雄山遗址，为全国重点文物保护单位，是西汉南越王赵佗所筑的“长乐台”行宫遗址.2020年考古学家对遗址附近挖掘到的某生物化石标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的80%.
（1）碳-14测年法的原理是放射性元素的衰变满足规律：，其中是放射性元素在生物体中最初的含量，是放射性元素在生物体中经过时间后的含量.已知碳-14的半衰期为5730年，求碳-14测年法中的参数；（不要求具体数值，注：半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间）
（2）据此推测该化石活体生物生活的年代距2026年约多少年.（保留整数部分，参考数据：，）
【答案】（1）
（2）年
【解析】
【分析】(1)利用半衰期的定义，代入衰变公式并取自然对数，即可推导出衰变参数；
(2)将碳剩余比例代入公式，结合已知的与参考数据，计算出化石距现在的时间.
【小问1详解】
由碳的半衰期为5730年，可知，，消去后取自然对数得，因此.
【小问2详解】
已知，代入公式：，，将代入：，而，代入题干给的数据，，，
据此推测该化石活体生物生活的年代距年约年.
18. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）若时，，求当时，的解析式；
（2）若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明；
（3）若函数的图象还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出的解析式，再利用奇偶性写出即可.
（2）根据函数单调性的定义证明即可.
（3）结合函数奇偶性、对称性求解即可.
【小问1详解】
解：因为函数是定义域为的奇函数，
设，则，
则
即当时，.
【小问2详解】
判断：函数在上单调递增.
证明：设，则，
由函数在上单调递增，有，
所以，
因此，函数在上单调递增.
【小问3详解】
证明：因为函数是奇函数，
所以对于任意，都有，
又图象关于直线对称，可得，即，
则，所以，
因此函数为周期函数，周期为12.
19. 已知函数，.
（1）若，解方程；
（2）讨论函数的零点的个数.
【答案】（1）
（2）当时，有3个零点；
当时，有6个零点；
当时，有7个零点；
当时，有8个零点.
【解析】
【分析】（1）把代入，再分类讨论解方程即可；
（2）先求出的零点，再令，将函数转化为，通过讨论的取值情况来确定的解的个数，进而得到函数的零点的个数.
【小问1详解】
当时，，
于是方程分为以下两种情形：
①；②，
分别解得：①，②（注意到，不符），
因此当时，方程的解只有.
【小问2详解】
分类讨论：
（i）当时，时，，对称轴为，
所以在单调递增，函数图象如下：
令， 解得或，
即或，
根据图象，有2个解，有1个解，
所以此时有3个零点；
（ii）当时，，
对称轴为，
所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：
令，解得或或，
根据图象有2个解，有3个解，
对于的解的情况，再分以下三种情况：
①当，即时，根据图象，有3个解；
②当，即时，根据图象，有2个解；
③当，即时，根据图象，只有1个解；
综上所述：
当时，有3个零点；
当时，有6个零点；
当时，有7个零点；
当时，有8个零点.