2025-2026学年上海二中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海二中高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在以下调查中，适合用普查的是( )
A. 调查某批次汽车的抗撞击能力B. 调查一批LED灯的寿命
C. 调查某城市居民的食品消费结构D. 调查一个班级学生的身高情况
2.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“k1>k2”是“α1>α2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5的日均值(单位为μg/m3)，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则下列四个结论中正确的个数为( )
①前4天的极差大于后4天的极差；
②前4天的方差小于后4天的方差；
③这组数据的中位数为31或33；
④这组数据的第60百分位数与众数相同．
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.对于一个四棱锥P−ABCD，已知二面角A−PB−C、B−PC−D、C−PD−A、D−PA−B大小都相等，有下列两个命题：①底面ABCD可以是等腰梯形；②若底面ABCD是平行四边形，则ABCD是矩形.下列说法正确的是( )
A. ①②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①②都是假命题
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.半径为3的球的表面积为 ．
6.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.5，P(AB)=0.4，那么P(B)= ．
7.直线2x−y−3=0与直线x−3y−5=0的夹角大小为______．
8.现从编号为01，02，⋯，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为 (以下随机数表第7行)．
39832276 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
9.用“市”、“二”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成多少种不同的七字短语 .(不考虑短语的含义)
10.某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有 人.
11.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 (结果用数值表示)．
12.已知A(−5,2)，B两点关于直线x+y−10=0对称，则点B的坐标为 ．
13.当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是 ．
14.一盒子里有编号1，2，3的红球和编号1，2，3的白球各一个，随机取出4个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有 种.
15.如图，有一边长为2cm的正方形ABCO，D，E分别为AO、AB的中点.按图中的虚线翻折，使得A，B，O三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：
①三棱锥的表面积为4；
②三棱锥的体积为13；
③三棱锥的外接球表面积为6π；
④三棱锥的内切球半径为1．
则以上结论中，正确结论是 .(请填写序号)
16.已知直线l1：mx−y+m=0，l2：x+my−m(m+1)=0，l3：(m+1)x−y+(m+1)=0，三条直线围成△ABC，则当△ABC面积取得最大时m的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．
(1)求a4的值；
(2)求a1+a2+a3+a4+a5的值．
18.(本小题15分)
已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a−1)y+a2−1=0．
(Ⅰ)当l1//l2时，求a的值；
(Ⅱ)当l1⊥l2时，求a的值．
19.(本小题16分)
为了了解某校高二年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若落在[50,60)学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在[60,70)学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求落在[50,70)的学生的成绩的平均数和方差.(结果精确到0.1)
20.(本小题18分)
在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．
(Ⅰ)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
(Ⅱ)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．
21.(本小题20分)
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P−ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P−MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角Q−MN−P的平面角的余弦值为 1010？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.A
5.36π
6.0.8
7.π4
8.32
9.2520
10.2
11.120
12.(8,15)
13.58
14.12
15.①②③
16.1
17.
18.解：(I)由a(a−1)−2=0，解得a=2或−1.经过验证a=2时两条直线重合，舍去．∴a=−1．
(II)a=1时，两条直线不垂直，舍去．
a≠1时，由l1⊥l2时，∴−a2×(−1a−1)=−1，解得a=23．
19.
20.解：(Ⅰ)重复发信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：
(1,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，
∵信号的传输相互独立，
∴“至少收到两次1”的概率为P=23×23×23+23×13×23+23×23×13+13×23×23=2027．
(Ⅱ)事件A与事件B不互相独立，证明如下：
若依次发送1，1，0，则三次都没改到正确信号的概率为：
P=13×13×12=118，
∴至少收到一个正确信号的概率为P(A)=1−118=1718；
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能为：
(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，(1,0,0)，根据事件的相互独立性，
P(B)=13×13×12+13×13×12+13×23×12+23×13×12=13，
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：
(0,0,0)，(0,1,0)，(1,0,0)，根据事件的相互独立性，
P(AB)=13×13×12+13×23×12+23×13×12=518，
∵P(A)P(B)≠P(AB)，∴事件A与事件B不互相独立．
21.(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，
证明：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴BD/​/MN，
又因为菱形ABCD中∠ DAB=60°，∴△PMN是等边三角形，
∵ G是MN的中点，∴MN⊥PG，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴MN⊥AC，
∵AC∩PG=G，AC⊂平面PAG，PG⊂平面PAG，
∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG．
(2)解：由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB=4，MN=2，O1G= 3，
所以等腰梯形MNDB的面积S=(2+4)× 32=3 3，
要使得四棱锥P− MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，
∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为 3，
此时四棱锥P− MNDB体积的最大值为V=13×3 3× 3=3，
连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠ PBG，
在Rt△PBG中，PG= 3，BG= 7，由勾股定理得：PB= PG2+BG2= 10．
∴sin∠PBG=PGPB= 3 10= 3010．
(3)解：假设符合题意的点Q存在．
以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(3 3,0,0)，M(0,1,0)，N(0,−1,0)，P(0,0, 3)，因为AG⊥平面PMN，故平面PMN的一个法向量为n=(1,0,0)，
设AQ=λAP(0≤λ≤1)，∵AP=(−3 3,0, 3)，AQ=(−3 3λ,0, 3λ)，
故Q(3 3(1−λ),0, 3λ)，∴NM=(0,2,0)，QM=(3 3(λ−1),1,− 3λ)，
平面QMN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅NM=0，n2⋅QM=0，
即2y2=03 3(λ−1)x2+y2− 3λz2=0，令z2=1，所以y2=0x2=λ3(λ−1)，
即n2=(λ3(λ−1),0,1)=13(λ−1)(λ,0,3(λ−1))，
则平面QMN的一个法向量n=(λ,0,3(λ−1))，设二面角Q−MN−P的平面角为θ，
所以|csθ|=|n⋅n1|n|⋅|n1||=|λ λ2+9(λ−1)2|= 1010，解得：λ=12，
故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点．