高中数学人教A版 (2019)必修 第二册频率与概率优秀导学案

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【知识点1 频率的稳定性】
1．频率与概率
(1)频率与概率的区别
(2)频率的特点
随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频
率有以下特点.
①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又
具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.
②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可
能性会减小.
③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数
之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.
(3)频率的稳定性(用频率估计概率)
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着
试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生
的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A).
2．生活中的概率
(1)游戏的公平性
在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判
员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.
(2)天气预报的概率解释
天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天
气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.
另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.
【知识点2 随机模拟】
1．随机数的产生
(1)随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.
(2)产生随机数的方法
①利用抽签法产生随机数
要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一
个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.
②利用计算机或计算器产生伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数
的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.
(3)用随机模拟法估计概率
①随机模拟法产生的必要性
用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，
因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.
②随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每
次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
③随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域
中去.
④随机模拟法的步骤
建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.
一．频率及频率的稳定性（共29小题）
1．下列说法错误的是（ ）
A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确；
对于B，根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确；
对于C，抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确；
对于D，由概率的定义，某种疾病的治愈率为10%，则第10个人的治愈率仍为10%，故D错误．
故选：D．
2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重（单位：克）的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78），[78，80），⋯，[84，86]．若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（ ）
A．110B．140C．150D．90
【答案】B
【解答】解：根据题意，由频率分布直方图，净重大于或等于80克的频率为P＝（0.15+0.125+0.075）×2＝0.7，
若这批产品有200个，则净重大于或等于80克的个数为200×0.7＝140个．
故选：B．
3．下列说法正确的是（ ）
A．任何事件的概率总是在（0，1）之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确．
频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确．
频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，
随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确．
故选：C．
4．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】C
【解答】解：随着试验次数的增加，频率一般会稳定在一个常数附近，这个常数就是此试验的事件的概率．
因此C正确．
故选：C．
5．下列叙述错误的是（ ）
A．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
C．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同
【答案】B
【解答】解：根据频率的意义，频率和概率之间的关系知道A正确，
根据随机事件的意义，知道随机事件的概率是大于0且小于1，故B不正确，
互斥事件和对立事件之间的关系是包含关系，是对立事件一定是互斥事件，反过来不成立，故C正确，
抽签先后抽到的概率是相同的，故D正确．
故选：B．
6．将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件A＝“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（ ）
A．20B．25C．50D．无法确定
【答案】D
【解答】解：任意一次随机试验中，随机事件的发生具有随机性，即频率（频数与试验次数的比值）具有随机性，
而随试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率，具有稳定性，
则投掷100次的试验中，事件A发生的频率有随机性，故无法确定．
故选：D．
7．某同学做立定投篮训练，共做3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，则使误差较小、可能性大的估计值是（ ）
A．0.58B．0.61C．0.62D．0.627
【答案】B
【解答】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大，
所以合计列对应的频率最为合适，即0.61．
故选：B．
8．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如表）．下列说法正确的是（ ）
A．该四面体一定不是均匀的
B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72
C．再抛掷一次，标记4的面落地
D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2
【答案】D
【解答】解：对于A选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样，
在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近，
换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，故A错误；
BCD选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为36200，42200，78200，即0.18，0.21，0.39，
对于B选项，估计的概率0.72和频率0.18差别过大，故B错误；
对于C选项，认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为1，但频率只有0.39，
因此不能认为必然发生，故C错误；
对于D选项，标记3的面落地概率估计是0.2，和实验频率0.21非常接近，D选项正确．
故选：D．
9．下列叙述正确的是（ ）
A．随着试验次数的增加，概率一般会越来越接近一个数值
B．若随机事件A发生的概率为P（A），则0＜P（A）＜1
C．口袋里有两个白色乒乓球一个黄色乒乓球，除颜色外完全相同．任取两个球，则一黄一白与两白的概率相同
D．事件A与事件B相互独立，则P(AB)+P(AB)=P(A)
【答案】D
【解答】解：A选项，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近一个数值，
概率是固定值，所以A选项错误；
B选项，随机事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，
所以B选项错误；
C选项，白乒乓球记为1，2，黄乒乓球记为3，
任取2个，基本事件为{1，2}，{1，3}，{2，3}，
一黄一白的概率为23，两白的概率为13，所以C选项错误；
D选项，事件A与事件B相互独立，
则P（AB）+P（AB）＝P（A）P（B）+P（A）P（B）＝P（A）[P（B）+P（B）]＝P（A），所以D选项正确．
故选：D．
10．下列叙述错误的是（ ）
A．有甲乙两种报纸可供某人订阅，事件A：“至少订一种报纸”与事件B：“至多订一种报纸”是对立事件
B．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率
C．互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件
D．从区间（﹣10，10）内任取一个实数，求取到大于1且小于5的概率模型是几何概型
【答案】A
【解答】解：对于A：有甲乙两种报纸可供某人订阅，事件A：“至少订一种报纸”与事件B：“至多订一种报纸”，A的对立事件为：没有订报纸，所以选项A不正确；
对于B：根据频率的意义，频率和概率之间的关系知道B正确；
对于C：互斥事件和对立事件之间的关系是包含关系，是对立事件一定是互斥事件，反过来不成立，故C正确，
对于D：从区间（﹣10，10）内任取一个整数，求取到大于1且小于5的概率模型是几何概型，故D正确．
故选：A．
11．下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①④⑤C．①②③④⑤D．②③
【答案】B
【解答】解：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小所以①正确．
②频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以他们并不是一个值，所以②错误．
③理论上的百分率是概率，所以③错误．
④频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，所以④正确．
⑤频率的数值是通过实验完成的，是概率的近似值，概率是频率的稳定值．所以⑤正确．
所以正确的说法是①④⑤．
故选：B．
12．下列说法正确的有（ ）
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P（A）满足0＜P（A）＜1；
④若事件A的概率趋近于0，则事件A是不可能事件．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解答】解：频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，
故选：C．
13．下列说法一定正确的是（ ）
A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B．一枚硬币掷一次得到正面的概率为12，那么掷两次一定会出现一次正面
C．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D．随机事件发生的概率与试验次数无关
【答案】D
【解答】解：篮球运动员，号称“百发百中”，只是说他投中的概率非常大，并不是必然事件，∴A错误
概率是频率的稳定值，是一个常数．它是刻划随机事件发生的可能性大小的一个数，它与试验次数无关，
∴B错误，C错误，D正确
故选：D．
14．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法中正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会趋近于概率
【答案】D
【解答】解：A、频率不直接等于概率，故错误，不符合题意．
B、频率受试验次数的变化而变化，故错误，不符合题意；
C、概率是理论数据不是随机的，故错误，不符合题意；
D、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确．
故选：D．
15．下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果：
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．①B．②C．①②D．①③
【答案】B
【解答】解：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的频率是0.616，故①错误；
“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估“钉尖向上”的概率是0.618，由频率估计概率可知，②正确；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率不一定是0.620，故③错误．
故选：B．
（多选）16．下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀
C．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
【答案】AB
【解答】解：对于A．根据概率的定义可知，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故A正确．
对于B，某人连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，这枚骰子的质地可能是不是均匀的，故B正确；
对于C，随机事件的概率指的是事件发生的可能性的大小，大概率事件未必发生，小概率事件未必不发生，某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖，故C不正确；
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，不是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水，而是明天降水概率为70%指明天该地区降水的可能性为70%，故D不正确；
故选：AB．
（多选）17．下列说法错误的是（ ）
A．一对夫妇生2个小孩，恰好一男一女的概率为13
B．掷一颗骰子2次，两次向上的点数相同的概率为16
C．若A，B为两个任意事件，则事件A+B→对立事件是事件A，B都发生
D．试验次数足够多，事件A发生的频率其实就是事件A发生的概率
【答案】AD
【解答】解：对于A，一对夫妇生2个小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四个基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率为24=12，故A错；
对于B，掷一颗骰子2次出现的点数为基本事件，共36个，其中两次点数相同的共6个基本事件，故由古典概型可知两次向上的点数相同的概率为636=16，故B正确；
对于C，和事件A+B发生，就是A，B事件至少一个发生，它的对立事件就是A，B事件都不发生，即事件A，B都发生，故C正确；
对于D，试验次数足够多，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近，不一定是事件A发生的概率，故D错误．
故选：AD．
（多选）18．下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为11000，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为49100
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%的人认为明天会降水，30%的人认为明天不会降水
【答案】BCD
【解答】解：A，根据概率的定义可知，A正确，
B，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以概率是11000，并不能说买1000张该种彩票就一定能中奖，故B错误，
C，连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的频率为49100，故C错误，
D，明天本市降水概率为70%，是指明天该地区降水的可能性为70%，故D错误，
故选：BCD．
（多选）19．下列说法中，正确的是（ ）
A．对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P（A）＜P（B）
B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率fn（A）具有随机性
C．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）
D．从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件A＝{取出的两个球均为红球}，B＝{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立
【答案】BCD
【解答】解：选项A，如果A⊆B，那么P（A）≤P（B），∴选项A错误；
选项B，根据随机事件发生频率的意义，一个随机事件A发生的频率fn（A）具有随机性，选项B正确；
选项C，随机事件发生的的频率稳定值，即为随机事件发生的概率，选项C正确；
选项D，从2个红球和2个白球中任取两个球，随机事件A、B不可能同时发生，也可能都不发生，选项D正确；
故选：BCD．
（多选）20．利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率表如下：
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．试验次数较小时，频率波动较大 试验次数较大时，频率波动较小；所以试验次数越少越好
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
【答案】AC
【解答】解：对于A，实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故选项A正确；
对于B，实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越多越好，故选项B错误；
对于C，随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值（即随机事件发生的概率）附近，故选项C正确，选项D错误．
故选：AC．
（多选）21．下列说法中，正确的是（ ）
A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率mn就是事件的概率
C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D．任意事件A发生的概率P（A）总满足0＜P（A）＜1
【答案】AC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由概率与频率的关系，A正确；
对于B，概率是频率的稳定值，B错误，
对于C，由概率与频率的关系，C正确，
对于D，任意事件A发生的概率P（A）总满足0≤P（A）≤1，D错误；
故选：AC．
22．下列说法：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；
②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面．因此出现正面的概率是0.51；
③随机事件A的概率是频率值，频率是概率的近似值；
④随机事件A的概率趋近于0，即P（A）→0，则A是不可能事件；
⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是950；
⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；
其中正确的有 ③⑤ ．
【答案】③⑤
【解答】解：概率指的是在无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值就是概率
①通过定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，第一问应该是在10件次品左右波动，期望为10，而并不是一定出现10次，故①错
②100次并不是无穷多次，出现的频率也并非就是概率本身，事实上硬币只有两个面，每个面出现的概率是相等的，它的正面的概率为0.5，故②错
③随机事件的概率是通过多次重复试验，算出它的频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来越接近概率，所以说随机事件的概率其实是一个频率值，这个频率值又是概率的近似值，故③正确
④随机事件的概率趋于0，说明发生这种事件的可能性很小，但并不表示不会发生，就像买六合彩一样，中头奖的可能性很低，但还是会有，不可能事件指的是绝对不会发生的事件，可以看出，趋于0的概率事件并不等于不可能发生的事件，故④错
⑤频率就是重复试验时，出现的次数与重复试验的次数的比值，故出现1的频率为950，故⑤正确
⑥根据定义随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，故⑥错
故答案为③、⑤
23．在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 24 个．
【答案】24．
【解答】解：设袋子中红球约有x个，
利用频率的稳定值来估算概率，则x6+x=0.8，
解得x＝24，
即袋子中红球约有24个．
故答案为：24．
24．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了 500 次试验．
【答案】500
【解答】解：∵随机事件A发生的频率是0.02，
事件A出现了10次，
则试验次数约为：100.02=500，
故答案为：500
25．下列说法：
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P（A）总满足0＜P（A）＜1；
其中正确的是 ①② ；（写出所有正确说法的序号）
【答案】①②
【解答】解：频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，∴③错误
故答案为：①②
26．概率及其记法：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的 概率 ．
【答案】概率
【解答】解：根据概率的定义，事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率，
故答案为 概率．
27．有下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小．
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率．
③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值．
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确说法的序号是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【解答】解：由频率与概率的意义可知，①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A的概率错误；
③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值正确；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值正确．
故答案为：①③④．
28．为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干粒进行发芽试验，其结果如下表：
（1）计算各批种子的发芽频率；（保留三位小数）
（2）怎样合理地估计这类种子的发芽率？（保留两位小数）
【答案】（1）0.960，
0.857，
0.892，
0.913，
0.903，
0.904，
0.903；
（2）在这7组种子发芽实验中，前3组实验次数较少，其频率的稳定性比较弱，不适合作为估计种子的发芽率的依据，而后4组实验次数较多，且其种子的发芽率稳定在0.90附近，即近似地认为这类种子的发芽率为0.90．
【解答】解：（1）计算各批种子的发芽频率分别为：
2425=0.960，
6070≈0.857，
116130≈0.892，
639700≈0.913，
18192015≈0.903，
27133000≈0.904，
36124000=0.903；
（2）在这7组种子发芽实验中，前3组实验次数较少，
其频率的稳定性比较弱，不适合作为估计种子的发芽率的依据，
而后4组实验次数较多，且其种子的发芽率稳定在0.90附近，
即近似地认为这类种子的发芽率为0.90．
29．通过初中概率知识的学习，我们知道抛掷一枚硬币正面向上的概率为0.5．历史上曾经有人做过大量重复抛掷硬币的试验，结果如下表所示：
历史上做过的掷硬币试验
比较试验求得的频率与事件发生的概率，你有什么发现？
【答案】答案见解析．
【解答】解：对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，这个常数即为事件的概率．
二．模拟方法估计概率（共31小题）
30．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
【答案】C
【解答】解：根据题意，在20组数据中，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，
则一年内这3台设备都不需要维修的概率P=1020=0.5．
故选：C．
31．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ）
A．16B．19C．29D．518
【答案】D
【解答】解：18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5组数据满足条件，
所以估计恰好抽取三次就停止的概率p=518．
故选：D．
32．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数：
425 123 423 344 144 435 525 332 152 342
534 443 512 541 135 432 334 151 312 354
若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（ ）
A．920B．12C．1120D．1320
【答案】D
【解答】解：设事件A＝“三天中至少有两天下雨”，
20个随机数中，至少有两天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354，即事件A发生了13次，用频率估计事件A 的概率近似为1320．
故选：D．
33．一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
由此可以估计事件M发生的概率为（ ）
A．29B．13C．518D．23
【答案】B
【解答】解：∵将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，
∴数字0和1都出现即为事件M发生，
∵18组随机数中有6组数字0和1都出现，
∴事件M发生的概率为：618=13，
故选：B．
34．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：
977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，
431，257，394，027，556，488，730，113，537，908．
由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.75D．0.8
【答案】B
【解答】解：根据题意，在20组随机数中，表示今后三天中至少有一天下雨的有191，925，271，932，812，683，
431，257，394，027，730，113，537，908；共有14个，
则今后三天中至少有一天下雨的概率P=1420=0.7；
故选：B．
35．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为（ ）
A．310B．720C．25D．920
【答案】D
【解答】解：依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537共9组，
所以所求概率P=920．
故选：D．
36．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内至少有1台设备需要维修的概率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.55D．0.6
【答案】B
【解答】解：在20组随机数中，三位数字中有数字1的即可，
故共有9个随机数中含有数字1，
所以一年内至少有1台设备需要维修的概率为920=0.45．
故选：B．
37．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率p．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039
据此估计p的值为（ ）
A．0.6B．0.65C．0.7D．0.75
【答案】B
【解答】解：由题意：射击中击中至少两次的为：151，525，271，592，408，471，257，333，027，554，730，537，039，一共有13组，
故至少击中两次的概率为P（A）=1320=0.65．
故选：B．
38．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示命中，用5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35B．0.30C．0.25D．0.20
【答案】C
【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．
共5组随机数，
∴所求概率为520=0.25，
故选：C．
39．袋子中有四个小球，分别写有“武、汉、军、运”四个字，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“军”“运”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“军、运、武、汉”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220
231 130 133 231 331 320 122 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A．14B．12C．18D．116
【答案】C
【解答】解：由题意知，经随机模拟产生了如下16组随机数，
在16组随机数中恰好第三次就停止的有021、130，共2组随机数，
∴所求概率为216=18，
故选：C．
40．经统计某射击运动员随机命中的概率可视为710，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，5550
0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据，则可根据该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（ ）
A．25B．310C．720D．14
【答案】A
【解答】解：根据随机模拟产生的20组随机数知，
该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：
7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8组；
根据以上数据计算该运动员射击4次恰好命中3次的概率为P=820=25．
故选：A．
41．如图椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为204粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为（ ）
A．7.68B．8.68C．16.32D．17.32
【答案】C
【解答】解：设椭圆面积为s，
∵椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，
在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为204粒，
∴s6×4=204300，
以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为：
s=24×204300=16.32．
故选：C．
42．用计算器或计算机产生20个0～1之间的随机数x，但是基本事件都在区间[﹣1，3]上，则需要经过的线性变换是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝3x+1C．y＝4x+1D．y＝4x﹣1
【答案】D
【解答】解：根据题意得，需要经过的线性变换将0～1之间的随机数x变换成区间[﹣1，3]上的数，
设需要经过的线性变换为y＝kx+b，则把它看成直线，此直线经过点（0，﹣1）和（1，3），如图．
从而有：−1=b3=1×k+b∴b=−1k=4，
则需要经过的线性变换是y＝4x﹣1．
故选：D．
43．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行为此发行了以此为主题的金质纪念币，如图1所示，该圆形金质纪念币，直径22mm．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻（将芝麻近似看作一个点）向硬币内随机投掷220次，其中恰有60次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A．32πmm2B．33πmm2C．132πmm2D．133πmm2
【答案】B
【解答】解：根据题意，设军旗的面积为s，
由圆的直径为22mm，可知其半径为11mm，其面积为π×112＝121π，
用1粒芝麻向硬币内随机投掷220次，其中恰有60次落在军旗内，
则有60220=s121π，
解可得s＝33πmm2，
故选：B．
44．为了研究椭圆的面积公式，研究人员制定了下列的几何概型模型，如图，已知矩形ABCD的长、宽分别为2a，2b，以矩形的中心O为中心制作得的内切椭圆如图阴影部分所示，为保证试验的准确性，经过了十次试验，若十次试验在矩形ABCD中共随机撒入5000颗豆子，落在阴影部分内的豆子是3925颗，那么，据此估计椭圆的面积S的公式为（ ）
A．S＝πabB．S=34πabC．S＝3abD．S＝3.2ab
【答案】A
【解答】解：由几何概型，得：
S椭圆S矩形=S椭圆2a⋅2b=39255000，
解得S椭圆＝3.14ab≈πab．
故选：A．
45．大双和小双两兄弟同时参加驾考，在进行科目一考试前，两兄弟在网上同时进行了5次模拟测试，他们每一次的成绩统计如表：
x1，x2分别表示大双和小双两兄弟模拟测试成绩的平均数，s12，s22分别表示大双和小双两兄弟模拟测试成绩的方差，则有（ ）
A．x1=x2，s12＞s22
B．x1=x2，s12＜s22
C．x1＞x2，s12=s22
D．x1＞x2，s12＞s22
【答案】B
【解答】解：x1=93+96+99+97+955=96，
x2=92+96+98+110+945=96，
所以x1=x2，
S12=15[（﹣3）2+02+32+12+（﹣1）2]＝4，
S22=15[（﹣4）2+02+22+42+（﹣2）2]＝8，
所以S12＜S22．
故选：B．
46．一个长为12m，宽为4m的长方形内部画有一个中国共青团团徽，在长方形内部撒入80粒豆子，恰好有30粒落在团徽区域上，则团徽的面积约为（ ）
A．16m2B．30m2C．18m2D．24m2
【答案】C
【解答】解：设团徽的面积S，满足S12×4=3080，即S＝18m2，
故选：C．
47．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为66颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积为（ ）
A．5.28B．16.32C．17.28D．18.72
【答案】D
【解答】解：黄豆落在椭圆外的概率为：66300=24−S24，
解得：S≈18.72．
故选：D．
48．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0无实根的概率为（ ）
A．12B．14C．34D．23
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0无实根，
∴Δ＝1﹣4a＜0，
∵0＜a＜1，
∴14＜a＜1，
∴事件“关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0无实根”的概率为P=1−141=34．
故选：C．
49．如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为（ ）
A．235B．2310C．523D．1823
【答案】A
【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是138300，
矩形的面积为10，设阴影部分的面积为S阴影，
则有S阴影10=138300，
∴S阴影=235，
故选：A．
50．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
488 932 812 458 989 431 257 390 024 556
734 113 537 569 683 907 966 191 925 271
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为 0.3 ．
【答案】0.3
【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，
∴所求概率为620=0.3．
故答案为：0.3．
51．已知函数y＝f（x）在区间[0，2]单调递增，且经过（0，0），（2，1），我们利用随机模拟的方法估计一下曲线y＝f（x）与x轴，x＝2围成的面积S．在[0，2]产生x1，x2，…，xn，在[0，1]产生y1，y2，…，yn，构成（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）n个点，其中yi＞f（xi）（i＝1，2，3，…，n）有m个点，那么估计的S＝ 2（1−mn） ．
【答案】2（1−mn）．
【解答】解：根据题意，x轴、y轴，直线x＝2和y＝1围成一个矩形，其面积S′＝2，
而曲线y＝f（x）与x轴，x＝2围成的面积为S，
又由在[0，2]产生x1，x2，…，xn，在[0，1]产生y1，y2，…，yn，构成（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）n个点，
其中yi＞f（xi）（i＝1，2，3，…，n）有m个点，即有n﹣m个点在曲线y＝f（x）与x轴，x＝2围成的图形中，
则有n−mn≈s2，则有s＝2（1−mn），
故答案为：2（1−mn）．
52．已知某运动员每次投篮命中的概率都为30%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，表示命中，4，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．20组随机数：
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.2 ．
【答案】0.2．
【解答】解：由表中数据可知，三次投篮恰有两次命中为191，271，431，393，共4个，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为420=0.2．
故答案为：0.2．
53．在直角△ABC中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在△ABC中随机地选取m个点，其中有n个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 12nm ．（答案用m，n表示）
【答案】12nm
【解答】解：根据题意，在直角△ABC中，三条边恰好为三个连续的自然数，设其三条边为：n﹣1、n、n+1，
则有（n﹣1）2+n2＝（n+1）2，
解可得：n＝4，
则三角形的三边为：3、4、5，
则S扇形=π×122，S△ABC=3×42=6，
又由在△ABC中随机地选取m个点，其中有n个点正好在扇形里面，
则有S扇形S△ABC=π×12212×3×4=nm，
解可得：π=12nm；
故答案为：12nm．
54．通过模拟试验，产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754 如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 25% ．
【答案】25%
【解答】解：四次射击中恰有三次击中目标的随机数有3013，2604，5725，6576，6754，
所以四次射击中恰有三次击中目标的概率约为520=25%．
故答案为：25%．
55．如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为13，那么△ABC的面积是 6π ．
【答案】6π
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S，
阴影部分的面积S1=12π22＝2π．
点P落在区域M内的概率为P=2πS=13．
故S＝6π，
故答案为：6π．
56．如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为 2.4 ．
【答案】2.4
【解答】解：根据几何概率的计算公式可得，向距形内随机投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，则落在矩形ABCD的阴影部分中的点数为600个，
设阴影部分的面积为S，落在阴影部分为事件A，
∴落在阴影部分的概率P（A）=6001000=S4，解得S＝2.4．
故答案为：2.4
57．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 9 ．
【答案】9
【解答】解：本题中向正方形内随机投掷800个点，相当于800个点均匀分布在正方形内，
而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面=200800×62=9．
故答案为：9．
58．平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则P（A）=区域M的面积区域N的面积．
大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．
（1）为了估算曲线y＝sinx（x∈[0，π]）与x轴围成的区域M的面积，记点集{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤1}表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（π≈3.14，结果保留一位小数）
（2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为x（0＜x＜π），如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，x＝0．
（i）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ii）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点（x，y），利用（1）的结论，求圆周率π的近似值（用m，n表示）．
【答案】（1）2.0；
（2）（i）0≤y≤sinx（x∈[0，π））．
（ii）π≈2n3m．
【解答】解：（1）由题，区域N的面积为π，记区域M的面积为SM，
则SMπ=640010000，所以SM＝3.14×0.64≈2.0；
（2）（i）当中点在平行线上时，y＝0，当针的一个端点在平行线上时，y＝sinx，
针与平行直线有公共点，y与x满足的不等关系式为0≤y≤sinx（x∈[0，π））．
（ii）试验条件对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤3}表示的区域面积为3π，
由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集{（x，y）|0≤x＜π，0≤y≤sinx}表示的区域面积为2，
所以针与平行直线有公共点的概率为23π，
由题，23π≈mn，所以π≈2n3m．
59．某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），
（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b）（a，b）
其中a，a分别表示甲组研发成功和失败，b，b分别表示乙组研发成功和失败．
（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
【答案】（Ⅰ）x甲=23，S甲2=29，x乙=35，S乙2=625，甲的研发水平高于乙的研发水平；
（Ⅱ）P（E）=715．
【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，
则x甲=1015=23，
S甲2=115[(1−23)2×10+(0−23)2×5]=29
乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则x乙=915=35，
S乙2=115[(1−35)2×9+(0−35)2×6]=625．
因为x甲＞x乙，S甲2＜S乙2
所以甲的研发水平高于乙的研发水平．
（Ⅱ）记E＝{恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，
恰有一组研发成功的结果是（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b）共7个，
故事件E发生的频率为715，
将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=715．
60．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c＝600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2=1n[(x1−x) 2+(x2−x) 2+⋯+(xn−x) 2]，其中x为数据x1，x2，…，xn的平均数）
【答案】（1）23；
（2）310；
（3）a＝600，b＝0，c＝0；s2＝80000．
【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600=23；
（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为3001000=310；
（3）由题意可知：∵a+b+c＝600，∴a，b，c的平均数为200
∴s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2]=13(a2+b2+c2−120000)，
∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000．
频率
本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.
概率
本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变.
举例辨析
例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数，
第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
68
124
174
366
命中的频率
0.68
0.62
0.58
0.61
四面体的面
1
2
3
4
频数
44
36
42
78
序号
n＝20
n＝100
n＝500
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
种子粒数n
25
70
130
700
2015
3000
4000
发芽粒数m
24
60
116
639
1819
2713
3612
实验者
投掷次数n
正面朝上的次数m
频率mn
德*摩根
2 048
1 061
0.5181
布丰
4 040
2 048
0.5069
费勒
10 000
4 979
0.4979
皮尔逊
24 000
12 012
0.500 5
罗曼诺夫斯基
80 640
40 173
0.498 2
110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
次数
1
2
3
4
5
大双
93
96
99
97
95
小双
92
96
98
100
94
907
966
191
925
271
935
810
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60