山东ith济南市长清区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题-自定义类型

这是一份山东ith济南市长清区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题-自定义类型，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（）
A. B. C. D.
2.如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
3.如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（）
A. B. C. D.
4.如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
5.将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
7.下列关于反比例函数，说法不正确的是（ ）
A. 点、均在其图象上
B. 双曲线分布在第一、三象限
C. 该函数图象上有两点，B，若，则
D. 当时，x的取值范围是
8.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A. B. 2C. D. 4
10.已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过，两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ）
①；
②若时，则；
③若点，在抛物线上，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A. ①③④B. ①③C. ①②③D. ①④
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.抛物线的顶点坐标是 ．
12.若关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
13.如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
14.如图,点A在x轴的负半轴上,点C在反比例函数y=(x>0)的图象上,AC交y轴于点B,若点B是AC的中点,AOB的面积为,则k的值为 .
15.如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
16.计算：．
17.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，在中，，于点．
(1) 求证：；
(2) 若，，求．
19.(本小题6分)
随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，)
(1) 如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
(2) 调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．
20.(本小题6分)
石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求的半径长．
21.(本小题9分)
百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：
：，：，：，：，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述图表中 ， ， ．
(2) 在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
(3) （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
22.(本小题6分)
为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为．
(1) 若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？
(2) 当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？
23.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3) 将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
24.(本小题9分)
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝ x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由；
(3) 如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标．
25.(本小题9分)
某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
​​​​​​​
(1) 【问题发现】如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为 ；
(2) 【问题提出】如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明；
(3) 【问题解决】如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】±2
13.【答案】
14.【答案】10
15.【答案】
16.【答案】解：
．

17.【答案】解：∵，
∴（x+2）（x-4）=0，、
∴x+2=0或x-4=0，
∴x1=-2，x2=4.
18.【答案】【小题1】
证明：在中，于点，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：，
，
，
∵，，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：过点作，垂足为，
，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
端点距离地面的高度约为；
【小题2】
解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
答：的长约为．

20.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
为的切线，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的切线；
【小题2】
解：，，
，
，
由（1）知，
，
，
设的半径长为r，则，
在中，，
，
解得，
即的半径长为．

21.【答案】【小题1】

​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】
解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为：
（人）．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
【小题3】
解：画树状图为：
由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．

22.【答案】【小题1】
解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
∵矩形种植场地的总面积为，
∴，解得，，
∵墙的长度为，
若，则，不符合题意，
则，
答：矩形场地中垂直于墙的一边长为6米；
【小题2】
解：设矩形场地中垂直于墙的一边长为，
则矩形种植场地的面积，
∵，
∴，
∵，，
∴时，，
则当矩形场地中垂直于墙的一边长为米时，矩形种植场地的面积最大为．

23.【答案】【小题1】
解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
【小题2】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
【小题3】
解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．

24.【答案】【小题1】
直线l：y＝ x+2过点C（2，n），且与y轴交于点B，
∴n=×2+2=3，当x=0时，y=2，
∴B（0，2），C（2，3）
将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
【小题2】
设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），
∴DE＝﹣m2+ m+1，DF＝ m+2，
＝=＝或，
解得：m＝或，
∴﹣m2+2m+3=，或﹣ m2+2m+3=，
∴点E（，）或（，）；
【小题3】
由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），
DE＝﹣m2+ m+1，DF＝ m+2，
①如图2，当点E在直线BC上方时，
∵AB // EF，∠ABD+∠EDB＝180°，
∵∠AED＝∠ABC，
∴∠AED+∠EDB＝180°，
∴AE // CD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB＝DE＝1＝﹣m2+ m+1，
解得：m＝0或（舍去0）；
∴﹣m2+2m+3=，即 E（，）.
②如图3，当点E在直线BC的下方时，
设AE、BD交于点N，过点N作x轴的平行线交DE于点M
∵AB // DE，
∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC，
∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC，
∴△NAB、△DEN都是以点N为顶点的等腰三角形，
∴点M的纵坐标和AB中点的坐标同为，
由中点公式得：（﹣ m2+2m+3+ m+2）＝，
解得：m＝0或（舍去0），
∴﹣m2+2m+3=，即 E（，）．
综上，点E（，）或（，）．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
在等腰中，，
．
在等腰中，，
．
，
．
．
．
，
，
，
∴，
∴；
【小题3】
如图③，连接，
​​​​​​​四边形是正方形，
．
点是正方形的对称中心，
．
．
．
，
．
．
，
．
设，则，
在中，，即，
解得．
，
．
正方形的边长为．