山东省威海市2026届高三上学期期末模拟数学试题

这是一份山东省威海市2026届高三上学期期末模拟数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足(4+3i)z=5(3+i)，则z⋅z−=( )
A. 12B. 11C. 10D. 9
2.已知集合A=1,2,3,4,8,B=xx13∈A，则∁A(A∩B)=( )
A. 1,2,3B. 2,3,4C. 3,4,8D. 2,4,8
3.将函数f(x)=sinx2−φ的图象向左平移π2个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则φ的一个充分不必要条件为( )
A. φ=0B. φ=-π4C. φ=π2D. φ=π4
4.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：ms)可以表示为v=12lg3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为U，游速为3m/s时耗氧量的单位数为W，则WU=( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
5.已知长为6的线段AB的两端点A,B分别在x轴和y轴上，点Q满足AQ=5QB，则关于点Q的轨迹，下列说法正确的是( )
A. 点Q的轨迹是焦点在x轴上的椭圆B. 点Q的轨迹是短轴长为1的椭圆
C. 点Q的轨迹是离心率为 32的椭圆D. 点Q的轨迹是长轴长为10的椭圆
6.已知函数fx=2ax2−2x−1+x，若对∀x1,x2∈1,3，且x1≠x2，都有fx2−fx1x2−x10，已知函数fx=−x−1,xa.( )
A. fx在−∞,0上单调递减
B. 当a≥12时，fx存在最小值
C. 设Mx1,fx1x1≤a,Nx2,fx2x2>a，则MN>2
D. 设Px3,fx3x3a>0的半焦距为c，直线l过点a,0且与E的一条渐近线平行，若原点到l的距离为 23c，则E的离心率为 ．
14.已知函数f(x)=lnx+x，g(x)=ex+x，若f(a)=g(b)，则ba的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b+ca−b=sinA+sinBsinC．
(1)求A；
(2)已知M是边BC上的点，AM⊥AB,AM= 3，求2b+c的最小值．
16.(本小题15分)
现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本．
(1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率；
(2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为X，求X的分布列及期望．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，▵ADC与▵BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90∘,∠BAC=90∘,E为BC的中点．PA⊥平面ABCD，．
(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：平面PAB；
(2)求点E到平面PCD的距离；
(3)棱PB上是否存在一点Q使得直线DQ与平面PCD所成角的正弦值为 23，若存在，求出Q点的位置；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知函数fx=1x−aln2x+1．
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)是否存在a,b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称.若存在，求a,b的值；若不存在，请说明理由；
(3)当x>0时，fx>2，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知M1(x1,1)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，以点为圆心，1为半径的圆过C的焦点F.按如下方式依次构造点．过点Mn−1作斜率为的直线与C交于另一点点Mn为Nn−1关于x轴的对称点．
(1)求C的方程；
(2)令证明{yn}是等差数列，并求其通项公式；
(3)设Sn是的面积，求证：Sn=Sn+1.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由(4+3i)z=5(3+i)，得z=5(3+i)4+3i=5(3+i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=3−i，
z−=3+i，
则z⋅z−=(3−i)(3+i)=10．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】解：已知B={x|x13∈A}，集合A={1,2,3,4,8}，
当x13=1时，两边同时立方可得x=13=1；
当x13=2时，两边同时立方可得x=23=8；
当x13=3时，两边同时立方可得x=33=27；
当x13=4时，两边同时立方可得x=43=64；
当x13=8时，两边同时立方可得x=83=512，
所以B={1,8,27,64,512}，
则A∩B={1,8}，
所以∁A(A∩B)={2,3,4}．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：将函数f(x)=sinx2−φ的图象向左平移π2个单位长度后，得到f(x)=sinx+12π2−φ=sinx2−φ+π4，
因为图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，
则−φ+π4=kπ+12π,⇒φ=-kπ−π4,k∈Z，
则φ的一个充分不必要条件为φ=-π4．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意可得2=12lg3U100，3=12lg3W100，
两式相减得1=12lg3W100−12lg3U100，所以2=lg3W100−lg3U100，
所以2=lg3WU，所以WU=32=9．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：设Ax0,0,B0,y0，则x02+y02=36，
设点Qx,y，则AQ=x−x0,y,QB=−x,y0−y，
由AQ=5QB得，x−x0,y=−5x,5y0−5y，
所以x−x0=−5xy=5y0−5y，则x0=6xy0=65y,
代入x02+y02=36，得36x2+36y225=36，
即y225+x2=1，则a2=25,b2=1，
所以a=5，b=1,c= a2−b2=2 6，
所以点Q的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，短轴长为2b=2，
离心率为e=ca=2 65，长轴长为2a=10，故 A，B，C错误，D正确．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：由题设，∀x1,x2∈1,3，且x1≠x2，都有[fx2−x2]−[fx1−x1]x2−x101a≥3⇒02，
综上：fx取得最小值−a，故B正确；
对于C：结合图象，
易知在x1=a，x2>a且接近于x=a处，Mx1,fx1x1≤a,Nx2,fx2x2>a的距离最小，
当x1=a时，y=fx1=0，当x2>a且接近于x=a处，y2=fx2> a+2，
此时，MN>y2−y1> a+2>2，故C正确；
对于D：依题意，a>0，
当xa时，fx= x+2，
易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线；
因为Px3,fx3x30，
则ba=lnaa，其中a>0，
设函数h(x)=lnxx,x>0，可得h′(x)=1−lnxx2，
当0e时，h′(x)0，
当a≤0时，1−ax>0，
所以1−axln2x+1−2x>0，即ln2x+1−2x1−ax>0，
令hx=ln2x+1−2x1−ax，则h′x=2xa2x−2a+21+2x(1−ax)2，
若a=0,h′x=−4x1+2x0，
设hx=1−axln2x+1−2x，
则h′x=21−ax2x+1−aln2x+1−2，
设mx=21−ax2x+1−aln2x+1−2，
则m′x=4−ax−a−1(2x+1)2，
当a≥0时，m′x