广东省深圳市部分学校2024_2025学年高二数学上学期期末联考试卷含解析

这是一份广东省深圳市部分学校2024_2025学年高二数学上学期期末联考试卷含解析，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知直线l经过点，，则正确的是（ ）
A. 直线l的斜率为1B. 直线l的倾斜角为
C. 直线l的方向向量为D. 直线l的法向量为
【答案】B
【解析】
【分析】由两点求得斜率，进而逐项判断即可.
【详解】由斜率公式得，
所以倾斜角为，方向向量为，
法向量为，其中，所以A，C，D错误，B正确.
故选：B
2. 若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆是轴对称图形，所给的三点中有两个点关于轴对称，进而可得点在椭圆上，因此可得椭圆的短轴长.
【详解】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称，
所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点，
所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为.
故选：B.
3. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A. B. C. -1D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选：A
4. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案.
【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1，
所以圆的方程为.
故选：D.
5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.
【详解】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
6. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ）

A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理即可求解.
【详解】由，得，
，
故选：A
7. 已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】设出公差，结合等差数列求和公式计算可得，再用与表示出后，结合二次函数性质即可得.
【详解】设等差数列的公差为，则，
化简得，即，
则
，
由，则当时，取最大值.
故选：B.
8. 若直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据渐近线的概念，写出参数之间的等量关系，根据离心率的概念直接求出结果即可.
【详解】由题意知，所以，
所以离心率．
故选：D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C.
【详解】解：因为，，
所以，故A错误；
，，所以数列是以为周期的周期数列，
所以，故B错误；
因为，，
所以，故C正确；
，故D正确；
故选：CD
10 已知空间向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间向量减法的坐标运算判断A，利用模长公式判断B，利用数量积的坐标运算判断C，利用平行向量的定义判断D即可.
【详解】由题意得，
对于A，由空间向量减法的坐标运算法则得，故A正确，
对于B，由空间向量的模长公式得，故B正确，
对于C，由空间向量的数量积的坐标运算法则得，故C正确，
对于D，设，可得，所以，此时方程组无解，
得到向量与向量不平行，故D错误.
故选：ABC
11. 已知抛物线焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 直线与直线之间的距离为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先将方程变形，再根据平行直线间的距离公式求解出结果.
【详解】因为，
所以平行线间的距离为，
故答案为：.
13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
【答案】
【解析】
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
故答案为：.
14. 圆与x轴相切于点A，点B在圆C上运动，点为线段的中点，点N是直线上一点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先搞清楚点的轨迹，把问题转化成圆外一点与圆上的点的距离问题求解.
【详解】如图：
已知，，
因为为弦的中点，所以，所以点轨迹是以为直径的圆.
设圆心为，半径为1.
作点，则，关于直线对称.
所以.
所以当四点共线且在之间时，
取得最小值，为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求的大小；
（2）若，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理并结合题设求出即可求解；
（2）由结合角B的范围即可分析求解.
【小问1详解】
由余弦定理及得，
显然，，
；
【小问2详解】
，
，
，
的取值范围是.
16. 已知等差数列的前项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
【答案】（1）
（2）20
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）由并项求和法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由题意可得，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
17. 已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和；
（3）记，求．
【答案】（1），
（2）
（3）当为偶数时，；当为奇数时，
【解析】
【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式；
（2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和；
（3）求出，分为偶数，为奇数，求.
【小问1详解】
当时，，解得，
当时，，整理得
又∵，∴，,
∴数列是首项为3、公比为3的等比数列，
，
设等差数列的公差为 ，∵ ，且、、成等比数列
∴. ，即，即
，
解得，∴.
【小问2详解】
由（1）可知
则
【小问3详解】
由题意可知，，
当为偶数时，
当为奇数时，
18. 如图，正四棱台中，为的中点，．
（1）当时，
（i）求证：平面平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值．
（2）若正四棱台存在内切球，求正四棱台的体积．
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）
（2）
【解析】
【分析】(1)（i）连接交于，则平面．证得平面，从而得，再证得，则平面，进而得证；
（ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面的法向量，即可求直线与平面所成角的正弦值；
(2) 设球为正四棱台的内切球，根据轴截面图形可求出正四棱台的高为，从而利用台体体积公式求出答案．
【小问1详解】
（i）证明：连接交于，连接，交于点，连接，
则平面．
∵平面，∴．
在正方形中，，且平面，
∴平面．
∵平面，∴．
∵，∴．
连接，∵且，∴四边形为平行四边形．
∴．
连接，∵为的中点，∴．
∵平面，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（ii）由题意，两两互相垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
连接，则，∴，
∴．
∴，
．
设平面的法向量为，则，
取，则，∴．
设直线与平面所成的角为，
∴．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
【小问2详解】
取的中点，
连接，则．
由题意，设球为正四棱台的内切球，
则为的中点，且球与平面的切点在上，如图，
可证，，
∴．∴．
过作，垂足为，则，
∴，∴，
∴，
∴正四棱台体积为．
19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
（1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解；
（2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可证明；
（ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解.
【小问1详解】
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
，
，
点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
（i）证明：设直线与椭圆的交点坐标为
①当直线斜率存在时，如图，
设，
联立直线与椭圆的标准方程，
可得：，
显然：恒成立，则，
，
，
，
，即为定值；
②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图，
显然，可得：即0，
综上所述：为定值.
（ii），
，由（i）可知：，
设，即，
，可得，
又，，则，
又直线的斜率存在，，
，
综上：.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化.