2025-2026学年甘肃省张掖市山丹县育才中学八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年甘肃省张掖市山丹县育才中学八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.篆体是我国古代汉字书体之一.下列篆体字“独”，“具”，“匠”，“心”中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.下列代数式是分式的是( )
A. x2+yB. x2πC. x+3y4x−yD. 3x−2y4
3.计算3a4⋅a5的结果正确的是( )
A. 3a20B. 3a9C. 4a4D. 3a5
4.不论x取何值，下列分式总有意义的是( )
A. x−1x2B. xx2+1C. xx+3D. x2(x+2)2
5.如图，正方形ABCD，点E为CD延长线上一点，以CE为边向右作正方形CEFG，连结AE，AG，EG.若要求出△AEG的面积，只需知道( )
A. AB的长
B. AG的长
C. AE的长
D. CG的长
6.下列计算正确的是( )
A. 2(2a−b)=4a−bB. xy4÷(−xy)=y3
C. (x+y)2=x2+y2D. 3a3b2÷a2b2=3a
7.如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE=CD，若DE=4，则BD=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.已知M=20252，N=2024×2026，则M与N的大小关系是( )
A. M>NB. M8)，将两张边长分别为n和3(n>3)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.若S2−S1=3，则m= .
16.如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S= .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：
(1)(−2x2y)3+(−x3)2(−y)2y；
(2)(x+2y)(y−2)+(2y−4x)(y+1).
18.(本小题9分)
如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程.
(1)该过程是从第______(填序号)步开始出现错误的；
(2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的a的值代入求值.
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−4,2)，点B的坐标为(−3,4)，点C与点A关于y轴对称.
(1)写出点C的坐标；
(2)画出△ABC关y轴对称的△A′B′C′；
(3)已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得△ACE与△ABC全等，写出所有点E的坐标(点B与点E不重合).
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的高，在AB上取一点E，作BE的中垂线交AB于点H，交AD于点F，连接EF，CF.
(1)求证：EF=CF；
(2)若∠ABC=70∘，求∠EFC的度数.
21.(本小题9分)
小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油.白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油.假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元(a≠b).
(1)用含a、b的代数式表示(请填化简后的结果)：
小军爸爸一天加2次油共花费______元，小慧爸爸一天加2次油共花费______元；小军爸爸这天加油的平均单价为______元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为______元/升.
(2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由.
22.(本小题9分)
中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯.有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的53倍.且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒.
(1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？
(2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完.甲种月饼卖了14后.发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？
23.(本小题9分)
通过第11章《整式的乘除》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式.
(1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______.
这种验证思路体现了下列哪一种数学思想______；
A.数形结合思想B.分类讨论思想C.类比思想D.转化思想
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
(2)若xy=4，x+y=6，则x2+y2=______；
【类比应用】
(3)若(2024−x)2+(x−2023)2=2025，求2(2024−x)(x−2023)的值；
【知识迁移】
(4)如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、EG.若阴影部分的面积和为9，△CDG的面积为3，则CE的长度为______.
24.(本小题9分)
【发现问题】
(1)如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，当△ADE旋转至点C，D，E在同一条直线上时，连接BD.
填空：
①∠BDC的度数为______；
②线段CE，BD之间的数量关系为______；
【拓展研究】
(2)如图2，△ABC和△ADE均为等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，点C，D，E在同一条直线上，AF为△ADE边DE上的高，连接BD.请判断∠BDC的度数及线段AF，CD，BD之间的数量关系，并说明理由；
【探究发现】
(3)如图3，点D，E分别在边AB，AC上，△ABC和△ADE均为等边三角形，△ADE绕点A顺时针旋转θ(0∘N，
故选：A.
先把N中的2024写成2025−1，2026写成2025+1，再利用平方差公式进行计算，然后判断M，N的大小即可．
本题主要考查了平方差公式和实数的大小比较，解题关键是熟练掌握平方差公式．
9.【答案】B
【解析】解：∵纸条沿EF折叠，
∴2∠EFB+∠CFB=180∘，
∵纸条再沿BF折叠并压平，
∴∠EFB−∠CFB=∠CFE，
∵∠CFE=18∘，
∴2∠EFB+∠CFB+∠EFB−∠CFB=180∘+∠CFE，
∴3∠EFB=198∘，
∴∠EFB=66∘，
∵纸条沿BF折叠并压平，
∴∠EFH=∠EFB=66∘，
∴∠CFH=∠EFH−∠CFE=48∘，
故选：B.
根据折叠的性质得2∠EFB+∠CFB=180∘，再由第2次折叠得到∠EFB−∠CFB=∠CFE，于是把两式相加即可求解∠EFH=∠EFB=66∘，再由∠CFH=∠EFH−∠CFE即可求解．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、9.4×10−7+10≠9.4×10−6，故该项不正确，不符合题意；
B、9.4×10−7−1.4≠8×10−7，故该项不正确，不符合题意；
C、9.4×10−7=0.00000094，是8位小数，故该项正确，符合题意；
D、9.4×10−7不是7位小数，故该项不正确，不符合题意；
故选：C.
根据科学记数法的方法进行解题即可．
本题考查科学记数法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：作DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，
∴DF=DE=2.5，
∵BC=6，
∴S△BCD=12BC⋅DF=12×6×2.5=7.5，
故选：B.
作DF⊥BC于点F，由BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，根据角平分线的性质得DF=DE=2.5，而BC=6，则S△BCD=12BC⋅DF=7.5，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：若关于x的方程k1−x=3x−1−2有非负实数解，关于x的一次不等式组x−12−2x≤1x+k≤2有解，
k1−x=3x−1−2，
去分母得：−k=3−2x+2，
解得x=k+52，
∵分式方程k1−x=3x−1−2有非负实数解，
故k+52≥0，k+52≠1，
解得k≥−5且k≠−3；
{x−12−2x⩽1①x+k⩽2②，
解不等式①，得x≥−1，
解不等式②，得x≤2−k，
∵不等式组，x−12−2x≤1x+k≤2有解，
∴存在x满足x≥−1且x≤2−k，
故2−k≥−1，
即k≤3；
综上，−5≤k≤3且k≠−3.
故所有满足题意整数k的值为：−5，−4，−2，−1，0，1，2，3，
∵(−5)+(−4)+(−2)+(−1)+0+1+2+3=−6.
故选：A.
先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出k的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出k的范围，进而确定出k的具体范围，求出所有满足题意整数k的值，求出其和即可．
本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.【答案】−2a3+6a2
【解析】【分析】
此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】
解：(−2a2)(a−3)=−2a3+6a2.
故答案为−2a3+6a2.
14.【答案】9.8∘
【解析】解：如图2，晷面OA与太阳光MC交于点A，延长FC交AO于E，日晷底座为DC，点N在OA的延长线上，
由题意得：∠α=39.8∘，∠ACD=60∘，
∵晷面与赤道平行，
∴∠AEC=180∘−∠α=140.2∘，
∵日晷底座与日晷所处地地球半径垂直，
∴∠ECD=∠DCF=90∘，
∴∠ACE=∠ECD−∠ACD=30∘，
∴∠EAC=180∘−∠AEC−∠ACE=9.8∘，
∴∠MAN=∠EAC=9.8∘，
∴若太阳光(平行光)与日晷底座夹角为60∘，太阳光与该晷面所夹锐角角度为9.8∘，
故答案为：9.8∘.
设晷面OA与太阳光MC交于点A，延长FC交AO于E，日晷底座为DC，点N在OA的延长线上，由题意易得∠AEC=180∘−∠α=140.2∘，∠ECD=∠DCF=90∘，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解．
本题主要考查三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义是解题的关键．
15.【答案】9
【解析】解：由题知，
S1=5m−n(n−3)=5m−n2+3n，
S2=8(m−3)−n(n−3)=8m−24−n2+3n，
所以S2−S1=8m−24−n2+3n−(5m−n2+3n)=3m−24.
因为S2−S1=3，
则3m−24=3，
解得m=9.
故答案为：9.
根据题意，分别表示出S1和S2，再结合S2−S1=3进行计算即可．
本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，能根据题意分别表示出S1和S2是解题的关键．
16.【答案】50
【解析】解：∵AE⊥AB，EF⊥AF，BG⊥AG，
∴∠F=∠AGB=∠EAB=90∘，
∴∠FEA+∠EAF=90∘，∠EAF+∠BAG=90∘，
∴∠FEA=∠BAG，
在△FEA和△GAB中
∵∠F=∠BGA∠FEA=∠BAGAE=AB，
∴△FEA≌△GAB(AAS)，
∴AG=EF=6，AF=BG=2，
同理CG=DH=4，BG=CH=2，
∴FH=2+6+4+2=14，
∴梯形EFHD的面积是12×(EF+DH)×FH=12×(6+4)×14=70，
∴图中实线所围成的图形的面积S=S梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△DHC
=70−12×6×2−12×(6+4)×2−12×4×2
=50.
故答案为：50.
17.【答案】−7x6y3 4y2−3xy−2y−6x
【解析】解：(1)原式=−8x6y3+x6y3=−7x6y3；
(2)原式=xy−2x+2y2−4y+2y2+2y−4xy−4x
=4y2−3xy−2y−6x.
(1)根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可；
(2)根据多项式乘以多项式展开计算即可；
本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
18.【答案】② (2a+1−1)÷a2−2a+1a+1
=(2a+1−a+1a+1)÷(a−1)2a+1
=2−a−1a+1⋅a+1(a−1)2
=1−a(a−1)2
=11−a，
当a=0时，原式=1
【解析】解：(1)由解题过程可知，这位同学的错误出现在第②步，
故答案为：②；
(2)(2a+1−1)÷a2−2a+1a+1
=(2a+1−a+1a+1)÷(a−1)2a+1
=2−a−1a+1⋅a+1(a−1)2
=1−a(a−1)2
=11−a，
要使分式有意义，a不能取−1，1，
∴a取0.
当a=0时，原式=11−0=1.
(1)分式加减法中通分化为同分母分式进行加减，所以第②步中去括号错误；
(2)根据分式混合运算的法则计算即可，再根据分式有意义的条件选取a的值，代入即可求解．
本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】点C的坐标为(4,2).

(−3,0)或(3,0)或(3,4)
【解析】(1)∵点C与点A(−4,2)关于y轴对称，
∴点C的坐标为(4,2).
(2)如图，△A′B′C′即为所求．
(3)如图，点E1，E2，E3均满足题意，
∴点E的坐标为(−3,0)或(3,0)或(3,4).
(1)关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案．
(2)根据轴对称的性质作图即可．
(3)结合全等三角形的判定确定点E的位置，即可得出答案．
本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
20.【答案】证明：连接BF，
∵FH是BE的垂直平分线，
∴EF=FB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴FD是BC的垂直平分线，
∴FB=CF，
∴EF=CF；
140∘
【解析】(1)证明：连接BF，
∵FH是BE的垂直平分线，
∴EF=FB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴FD是BC的垂直平分线，
∴FB=CF，
∴EF=CF；
(2)解：连接BF并延长交AC于G，
∵FH是BE的垂直平分线，
∴FE=FB，
∴∠FEB=∠FBE，
∴∠GFE=2∠FBE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴FD是BC的垂直平分线，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠GFC=2∠FBC，
∵∠ABC=70∘，
∴∠EFC=∠GFE+∠GFC=2(∠FBE+∠FBC)=2∠ABC=140∘.
(1)连接BF，根据线段垂直平分线的性质得到FE=FB，FB=FC，即可得出结论；
(2)连接BF并延长交AC于G，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
21.【答案】60(a+b);600;a+b2;2aba+b 小慧的爸爸的加油方式比较合算
【解析】解：(1)由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价可得：
小军爸爸白天加油花费60a元，夜间加油花费60b，
∴小军爸爸一天加2次油共花费60(a+b)元，
小慧爸爸一天加2次油共花费300+300=600元，
小军的爸爸在这天加油的平均单价是：60a+60b120=a+b2(元/升)，
小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：600÷(300a+300b)=2aba+b(元/升).
故答案为：60(a+b)，600，a+b2，2aba+b；
(2)a+b2−2aba+b=(a+b)2−4ab2(a+b)=(a−b)22(a+b)，
而a≠b，a>0，b>0，所以(a−b)22(a+b)>0，
从而a+b2−2aba+b>0，即a+b2>2aba+b.
因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算．
(1)由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；
(2)根据题意利用作差法进行分析比较即可．
本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键．
22.【答案】(1)甲种月饼的进货单价为25元，乙种月饼的进货单价为15元 (2)甲种月饼至少要购进66盒
【解析】解：(1)设乙种月饼的进货单价为x元，则甲种月饼的进货单价为53x元，
根据题意得：900x−100053x=20，
解得：x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意，
∴53x=53×15=25(元).
答：甲种月饼的进货单价为25元，乙种月饼的进货单价为15元；
(2)设甲种月饼购进y盒，则乙种月饼购进(100−y)盒，
根据题意得：50×14y+50×0.8×[(1−14)y−5]+5×5+30(100−y)−[25y+15(100−y)]≥1490，
解得：y≥66，
∴y的最小值为66.
答：甲种月饼至少要购进66盒．
(1)设乙种月饼的进货单价为x元，则甲种月饼的进货单价为53x元，利用数量=总价÷单价，结合用1000元购进甲种月饼的数量比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出x的值(即乙种月饼的进货单价)，再将其代入53x中，即可求出甲种月饼的进货单价；
(2)设甲种月饼购进y盒，则乙种月饼购进(100−y)盒，利用总利润=销售单价×销售数量-进货单价×购进数量，结合总利润不少于1490元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2;A 28 −2024 6
【解析】解：(1)如图①大正方形的边长为a+b，因此面积为(a+b)2，拼成大正方形的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，
所以有(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2，A；
(2)由条件可得x2+y2=(x+y)2−2xy=36−8=28，
故答案为：28；
(3)设2024−x=m，x−2023=n，
则m+n=1，m2+n2=2025，(2024−x)(x−2023)=mn，
∵(m+n)2=m2+2mn+n2=1，
即2025+2mn=1，
mn=−20242=−1012，
∴2(2024−x)(x−2023)=2×(−1012)=−2024.
(4)设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，
∴12a(a−b)+12b2=9，12ab=3，
即a2−ab+b2=18，ab=6，
∴(a+b)2=36，
∴a+b=6(取正值)，
即CE=a+b=6.
故答案为：6.
(1)从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可；
(2)利用平方差公式进行计算即可；
(3)设2024−x=m，x−2023=n，再用(m+n)2=m2+2mn+n2计算即可．
(4)设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为b，由题意得a2−ab+b2=18，ab=6，根据(a+b)2−3ab=18求出a+b的值即可．
本题考查完全平方公式，灵活运用完全平方公式变形计算是解题的关键．
24.【答案】60∘;BD=CE BD=CD+2AF；理由如下：
∵△ABC与△ADE均为等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，
∴AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AF⊥DE，
∴FD=FE，∠DAF=∠FAE=45∘，∠ADF=∠FEA=45∘，
∴FD=FE=AF，且ED=2AF，
∴CD=CE+DE=BD+2AF，
即BD=CD+2AF 60∘或120∘
【解析】解：(1)①∵△ABC与△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60∘，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
如图1，设AB与DC交于点O，
∴∠DOB=∠AOC，
∴∠BDC=∠BAC=60∘，
故答案为：60∘；
②∵△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
(2)BD=CD+2AF；理由如下：
∵△ABC与△ADE均为等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，
∴AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AF⊥DE，
∴FD=FE，∠DAF=∠FAE=45∘，∠ADF=∠FEA=45∘，
∴FD=FE=AF，且ED=2AF，
∴CD=CE+DE=BD+2AF，
即BD=CD+2AF；
(3)∠BOE的度数为60∘或120∘.理由如下：
如图3，点E在△ABC的内部，由(1)知△ABD≌△ACE，同理可得∠BOE=∠BAC=60∘，
如图4，点E在△ABC的外部，
∵△ABC与△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60∘，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠OMB=∠AMC，
∴∠BOC=∠BAC=60∘，
∴∠BOE=180∘−∠BOC=120∘，
综上所述，∠BOE的度数为60∘或120∘.
(1)①根据△ABC和△ADE均为等边三角形，得∠BAC=∠DAE=60∘，AB=AC，AD=AE，进而证得△ABD≌△ACE，依据全等三角形的性质即可得解；
②依据全等三角形的性质即可得解；
(2)根据(1)的做题思想同理证得△ABD≌△ACE，再根据等腰三角形三线合一的性质证得ED=2AF，最后可证得CD=CE+DE=BD+2AF；
(3)根据点E在△ABC的内部和外部，分类讨论求得∠BOE的度数．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知这些性质定理是解题的关键．(2a+1−1)÷a2−2a+1a+1解：原式=(2a+1−a+1a+1)÷(a−1)2a+1①
=2−a+1a+1⋅a+1(a−1)2②
=3−a(a−1)2③