四川省德阳市2025-2026学年高一上学期数学期末练习试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省德阳市2025-2026学年高一上学期数学期末练习试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分100分，120分钟完成．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（ ）
A 1B. 2C. D. 4
2. 命题：的否定是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知定义在上函数为增函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 当时，“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6. 人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
7. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
8. 若函数在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 是定义域为的奇函数
C. 不等式的解集为
D. 函数的值域为
11. 关于的方程有个实数根，令，则下列选项正确的有（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共64分）
三、填空题：本题3个小题，每小题4分，共12分．
12. 已知扇形的中心角为2，周长为4，则该扇形的面积为_____．
13. 已知位于第一象限内的点在一次函数的图象上，则代数式的最小值等于_____．
14. 若函数有最大值，则实数的取值范围是_____．
四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．
16. 已知函数的定义域为，不等式的解集为
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值范围．
17. 某企业生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知该企业的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：
（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；
（2）当月产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？（利润=总收入－总成本）
18. 若幂函数的图象关于原点对称，
（1）求幂函数的解析式；
（2）判断在上单调性并证明；
（3）设，记，是否存在正整数，使得关于的方程在区间上有解？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
19. 若函数定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求函数在内的最值；
（3）若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围．
高一年级数学练习题
说明：
本试卷满分100分，120分钟完成．
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，
所以，
故选：B
2. 命题：的否定是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对全称量词命题进行否定时，只需将全称量词改为存在量词，并否定原命题的结论即可.
【详解】全称量词要改为存在量词，结论要否定为，条件保持不变；
所以命题的否定是.
故选：C
3. 已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性，即可得，求解即可．
【详解】因为函数为定义在上的增函数，且，
所以，解得．
故选：A．
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的定义域，奇偶性与特殊值判断函数图像.
【详解】已知函数，定义域为，排除A，D选项，
令，，
故函数为奇函数关于原点对称，
当时，，排除C选项.
故选：B
5. 当时，“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先求出及表示的集合，再利用充分条件、必要条件的定义分析判断选项．
【详解】，解得，记为集合，
，
，等价于，解得，记为集合，
，
若，则，但，不满足充分性；
若，则一定属于，满足必要性，
“”是“”的必要不充分条件，故C正确．
故选：C．
6. 人类目前暂时无法准确预报地震，但地震学家通过研究，已经对地震有一定的了解，如地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．由此可以知道，里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是里氏5.8级地震发生时所释放出的能量的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知关系式结合已知条件建立对数关系，再利用对数运算法则计算求解．
【详解】设里氏7.8级地震发生时所释放出的能量是，里氏5.8级地震发生时所释放出的能量是，
，
，
，解得，故D正确．
故选：D．
7. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】把分为两个函数的乘积，利用奇函数的乘积为偶函数，求出及解析式，进而求出．
【详解】令，，
是奇函数，
函数为偶函数，令，
也是奇函数，即，
，解得，即，
，
，故A正确．
故选：A．
8. 若函数在上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用诱导公式及辅助角公式化简，通过正弦型函数的图象即可求解.
【详解】函数在上有且仅有两个零点，
即的图象在上与轴有且仅有两个交点.
因为，所以，
结合正弦曲线可知，解得.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A作差法比大小；B举反例；C利用指数函数的单调性；D举反例.
【详解】因为，所以，则，故A正确；
若，则满足，但，故B错误；
因为为减函数，所以，故C正确；
若，则满足，但，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 是定义域为的奇函数
C. 不等式的解集为
D. 函数的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用奇函数概念可判断A，利用定义域可判断B，利用奇偶性求出，可判断C和D.
【详解】因为是奇函数，所以，故A正确；
因为，所以的定义域中肯定不能取到元素，故B错误；
由是奇函数，是偶函数，
可得：，
，
两式相减得：，
所以，解得，故C错误；
因为，所以函数的值域为，故D正确；
故选：AD
11. 关于的方程有个实数根，令，则下列选项正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对数有意义求出，采用换元法化简原方程，去绝对值符号，即可得到方程根的个数及范围，再结合对数运算判断的范围，结合不等式性质判断的范围.
【详解】要使原方程有意义，需使有意义，即，解得.
所以原方程可化.
令，则，即.
解得或.
情况1：，即，解得或.
情况2：.
因为，令，则方程变为.
当时，，方程为.
函数单调递增，单调递减，
在处，在处，
故有1个解，对应.
当时，，方程为.
函数单调递减，单调递减，
在处，，在处，
故有1个解，对应.
综上，方程的根为，，，（，），
共4个根，故A错误，B正确.
.
因为，，所以，.
由，，所以，
因为，所以，又单调递增，所以，即.
所以，故.
因此，即.故D正确.
.
因为，，，，
所以，
，
因此，故C错误.
故选：BD.
第Ⅱ卷（非选择题，共64分）
三、填空题：本题3个小题，每小题4分，共12分．
12. 已知扇形的中心角为2，周长为4，则该扇形的面积为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据条件求出半径，再根据面积公式求解.
【详解】设扇形的中心角为，半径为，
则，得，故该扇形的面积为.
故答案为：
13. 已知位于第一象限内的点在一次函数的图象上，则代数式的最小值等于_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据点在一次函数图象上得到，再根据基本不等式求解即可.
【详解】因为第一象限内的点在一次函数的图象上，
所以，，，即.
所以
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：3.
14. 若函数有最大值，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数分析当时，函数单调性和最值，从而讨论一次函数，即可得解.
【详解】当时，，则，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以当时，有最小值，无最大值，
但是当时，，
所以要满足有最大值，
则只需要，解得，
即实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）3 （2）2
【解析】
【分析】（1）分子分母同除，代入即可求解；
（2）先利用构造出分母，再分子分母同除，最后代入即可求解．
【小问1详解】
因为，
所以．
【小问2详解】
因为，
所以．
16. 已知函数的定义域为，不等式的解集为
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数、对数函数的性质求出集合，，再根据并集的定义求解即可.
（2）根据集合的包含关系列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由，得，即，
由得，即，解得，即，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
17. 某企业生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知该企业的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：
（1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数；
（2）当月产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？（利润=总收入－总成本）
【答案】（1）
（2）300台，最大利润25000元．
【解析】
【分析】（1）根据题意分段求出函数解析式即可；
（2）结合函数性质分段求出最值，再比较大小即可.
【小问1详解】
当时，.
当时，.
故．
【小问2详解】
由（1）知，当时．
所以，当时，；
当时，为减函数，所以．
所以，当月产量为300台时，该企业获得利润最大，最大利润为25000元．
18. 若幂函数的图象关于原点对称，
（1）求幂函数的解析式；
（2）判断在上的单调性并证明；
（3）设，记，是否存在正整数，使得关于的方程在区间上有解？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）存在5，6，7，8，9．
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义，结合图象关于原点对称，解出参数，得到解析式；
（2）利用函数单调性定义，通过作差、变形、判号等步骤进行证明；
（3）先利用的奇偶性推导出的对称性，通过“倒序相加法”求得的表达式，进而将方程有解问题转化为复合函数的值域问题，求出正整数的取值．
【小问1详解】
由得或3，
又因为该幂函数的图象关于原点对称，所以，
．
【小问2详解】
由（1）知，且在上单调递增，
证明过程如下：
设，且，
则，
因为，所以，
从而，即，
所以在上单调递增．
【小问3详解】
显然，即为奇函数，
又，所以，
从而，
又，
所以，
上述两式相加得，即，
令，由于，所以
所以要使得关于的方程在区间上有解，
则，即，
从而存在正整数满足题意，其值为5，6，7，8，9．
19. 若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求函数在内的最值；
（3）若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）代入参数解一元二次不等式，利用分母恒大于零的性质，去分母简化运算即可；
（2）先将分式函数变形，再利用均值不等式，并结合参数进行分类讨论，从而确定函数的值域与最值；
（3）将“三角形函数”的条件转化为“两倍最小值大于最大值”，结合第（2）问的最值结论，分情况求解参数的范围．
【小问1详解】
当时，由于，
所以，
从而不等式的解集为．
【小问2详解】
变形得．
当时，；
当时，由于，所以，
当且仅当即时取等号，
①当时，，
从而，即无最小值，当且仅当时，；
②当时，，
从而，即无最大值，当且仅当时，．
【小问3详解】
当时，，符合题意；
当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即，
所以；
当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即，
所以．
综上，实数的取值范围为．