贵州省贵阳市2025-2026学年度第一学期高一年级期末考试数学科试题（原卷版+解析版）

这是一份贵州省贵阳市2025-2026学年度第一学期高一年级期末考试数学科试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了考试过程中不得使用计算器， 命题p， 已知 ，则， “”是“”成立的， 已知，，且，则的最小值为， 已知函数，则下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟.
2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分.
3.考试过程中不得使用计算器.
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数在上单调递增的是（）
A. B. C. D.
3. 下列哪一组中的函数与是同一函数（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
4. 命题p：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
6. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
8. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中错误的是（ ）
A. B. 最高水位为
C. 该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入D. 一天内限制船只出入的时长为
二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 不等式的解集为或
10. 已知函数，则下列结论正确的有（）
A.
B. 函数零点个数为2个
C. 若函数只有一个零点，则k的取值范围为
D. 方程的实数解个数为6
三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.）
11. 计算__________.
12. 若函数（且）的图象过定点P，则点P的坐标是__________.
13. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是__________.
14. 若，则__________， __________.
15. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．
四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 已知角顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点.
（1）求和的值；
（2）求和的值.
17. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求不等式解集.
18. 已知函数.
（1）请用“五点法”画出函数在上的大致图象（先列表，再画图）；
（2）若将函数的图象向左平移个单位后得函数的图象，求函数的最小正周期和单调递增区间.
19. 函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）若，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围.
五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.）
20. 在初中，我们知道是正比例函数，是反比例函数，学习了幂函数以后，我们知道他们都是幂函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数，例如幂函数与相加构成新函数，研究这类“和分式幂函数”时，通常从定义域、奇偶性、单调性、最值等方面入手——比如利用定义判断奇偶性，结合基本不等式（当时，，当且仅当时取等号）分析最值，通过取值描点或单调性定义探究图象变化趋势，发现图象成“对勾”状.类似地，若将中的分子“1”替换为正数k，可得到新函数，其性质与有共通之处；若将中的“x”替换为，可得到新函数，也可按上述路径进行研究.
定义域关联：函数定义域，当时，；当时，，即.
奇偶性关联：是奇函数（满足），是偶函数（满足），偶函数的性质，可以先分析当时的性质，再通过对称性得到整个函数的性质.
单调性与最值关联：函数（其中，），由基本不等式得（当且仅当时取等号），且在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值.
请结合以上材料，解决下列问题：
已知函数，完成以下探究：
（1）求函数的定义域，并将函数表示成分段函数的形式；
（2）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增，并判断在区间上的单调性；
（3）若函数在区间上恒有，求实数a的取值范围.
x
贵阳市普通中学2025-2026学年度第一学期期末监测
高一数学
注意事项：
1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟.
2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分.
3.考试过程中不得使用计算器.
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合，根据交集的概念求解.
【详解】由题，又，
所以，
故选：B.
2. 下列函数在上单调递增的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据各函数基本性质，逐一分析它们在上的增减性即可.
【详解】选项A：是反比例函数，在上单调递减.
选项B：是开口向下的二次函数，在上单调递减.
选项C：是幂函数，在上单调递增.
选项D：是底数小于1指数函数，在上单调递减.
综上，在上单调递增的是.
故选：C
3. 下列哪一组中的函数与是同一函数（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】分别求每个选项的两个函数的定义域和对应关系即可得正确选项.
【详解】对于A：的定义域为 ，定义域为 ，
定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确；
对于B：的定义域为，的定义域为，
对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，
定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确；
对于D：的定义域为，
的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误；
故选：C.
4. 命题p：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据含有量词命题的否定改写规则直接改写.
【详解】因为含有量词的命题的否定改写的规则是“改量词，否结论”，
所以命题：的否定是：，
故选：B.
5. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出的大小关系.
【详解】∵，，，
∴，即.
故选：A.
6. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】，求得，不能推出，得充分性不成立，可以推出必要性成立，两者结合即可求解.
【详解】由可得，只要，都得不到；
而由可以推出，故“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“1”的代换化简，利用基本不等式求最值.
【详解】因为，所以，
当且仅当即时取等号，此时联立可得，
故选：C.
8. 潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中错误的是（ ）
A. B. 最高水位为
C. 该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入D. 一天内限制船只出入的时长为
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质，结合已知条件求出与，判断选项A、B；利用水深限制列不等式，解不等式求出船只限制出入时段及开始时间，进而判断选项C、D．
【详解】水位最高点和最低点的时间间隔为，
，解得，
，解得，故A正确；
中午点的水深为，
，化简得，解得，
最高水位为函数最大值，故B正确；
当水深超过时限制船只出入，
，则，
解得，
在范围内，有效区间为和，共8小时，在早上8点之后开始首次限制，故C正确、D错误
故选：D．
二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9. 已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A. B. 不等式的解集为
C. D. 不等式的解集为或
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知有是方程的两个根，且，利用根与系数关系得，进而依次判断各项的正误.
【详解】由题设是方程的两个根，且，A对，
所以，可得，则，C错，
由，B错，
由，可得或，D对.
故选：AD
10. 已知函数，则下列结论正确的有（）
A.
B. 函数的零点个数为2个
C. 若函数只有一个零点，则k的取值范围为
D. 方程的实数解个数为6
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A，需要根据分段函数的定义域，逐步计算的值；对于选项B，将函数的零点问题转化为方程的解的问题，分别在不同定义域内求解；对于选项C，将函数只有一个零点转化为方程的解的问题，结合函数图象分析的取值范围；对于选项D，先求出时的值，再分别在不同定义域内求解的值，确定实数解的个数.
【详解】选项A：因为，所以，A正确.
选项B：令，即，当时，，解得：或.
当时，解得：，共3个零点，B错误；
选项C：时，，时，.
要使只有一个解，需，C正确；
选项D：令，则，由选项B知的解为.
分别解、、：
当时，若，，解得：；若，，解得：；
当时，若，，解得：；若，解得：；
当时，若，；若，
所以方程的实数解个数为6，D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上.）
11. 计算__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案：4
12. 若函数（且）的图象过定点P，则点P的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数的性质，令求解.
【详解】令，解得，解得，
所以P的坐标是.
故答案为：
13. 若函数在区间上存在零点，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与性质，函数在区间上存在零点等价于，解此不等式即可求得实数的取值范围
【详解】当时，，在区间上不存在零点，不合题意.
当时，函数是一次函数，若在区间上存在零点，
则.
因为，，
所以，
解得，
因此，实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 若，则__________， __________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】应用平方关系及的关系求目标函数值.
【详解】由题设，
所以，则，
由.
故答案为：，
15. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合指数函数单调性可得，去绝对值可得，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】因为，即，
且在定义域内单调递增，可得，
且，则，可得，
原题意等价于对，恒成立，
又因为，则，可得，解得且，
可知在内的最小值为1，可得且，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点.
（1）求和的值；
（2）求和的值.
【答案】（1）；；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义求出、，再利用诱导公式求解即可；
（2）根据三角函数定义求出，再利用倍角公式和两角和的正切公式求解.
【小问1详解】
，，
；；
【小问2详解】
；
，
.
17. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过对数的真数大于0列出不等式组，求出定义域；
（2）先化简函数表达式，再将不等式转化为对数不等式，结合定义域求解.
【小问1详解】
由题意得：解得
的定义域为
【小问2详解】
，（）
由得
解得
所以不等式的解集为.
18. 已知函数.
（1）请用“五点法”画出函数在上的大致图象（先列表，再画图）；
（2）若将函数的图象向左平移个单位后得函数的图象，求函数的最小正周期和单调递增区间.
【答案】（1）答案见解析
（2），，
【解析】
【分析】（1）用“五点法”取关键点，计算出对应的值，描点后连成光滑曲线即可得到图像；
（2）先写出的表达式，再按“左加右减”的平移规则得到，最后根据正弦型函数的周期公式和单调区间的求解方法，求出的最小正周期和单调递增区间.
【小问1详解】
在平面直角坐标系中描点连线，如图所示：
【小问2详解】
，，
由得，，
19. 函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数.
（1）求函数图象的对称中心；
（2）若，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设函数图象的对称中心为，化简，利用恒成立可求；根据定义域的对称性求出，再根据对称性代特值求.
（2）将问题转化为，根据单调性求最值即可.
【小问1详解】
方法一：设函数图象的对称中心为，
则由题意得，
即，
整理得
所以，解得
所以图象的对称中心为.
方法二：设函数图象的对称中心为
因为的定义域为，所以，
则由题意可得为奇函数，
设
则，解得，则，
经检验，则是奇函数，
所以函数图象的对称中心为.
【小问2详解】
由对任意，总存在，使得，
可得，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故，
在上单调递增，故，
所以，解得
所以实数m的取值范围是.
五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.）
20. 在初中，我们知道是正比例函数，是反比例函数，学习了幂函数以后，我们知道他们都是幂函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数，例如幂函数与相加构成新函数，研究这类“和分式幂函数”时，通常从定义域、奇偶性、单调性、最值等方面入手——比如利用定义判断奇偶性，结合基本不等式（当时，，当且仅当时取等号）分析最值，通过取值描点或单调性定义探究图象变化趋势，发现图象成“对勾”状.类似地，若将中的分子“1”替换为正数k，可得到新函数，其性质与有共通之处；若将中的“x”替换为，可得到新函数，也可按上述路径进行研究.
定义域关联：函数定义域为，当时，；当时，，即.
奇偶性关联：是奇函数（满足），是偶函数（满足），偶函数的性质，可以先分析当时的性质，再通过对称性得到整个函数的性质.
单调性与最值关联：函数（其中，），由基本不等式得（当且仅当时取等号），且在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值.
请结合以上材料，解决下列问题：
已知函数，完成以下探究：
（1）求函数的定义域，并将函数表示成分段函数的形式；
（2）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增，并判断在区间上的单调性；
（3）若函数在区间上恒有，求实数a的取值范围.
【答案】（1）定义域为，；
（2）证明见解析，在区间上单调递减；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由分式的性质求函数的定义域，并写出函数的分段函数形式；
（2）应用单调性的定义证明区间单调性，结合函数的奇偶性判断对称区间上的单调性；
（3）根据（2），将问题化为且求参数范围.
【小问1详解】
由解析式知，故定义域为，；
【小问2详解】
，则，、，且，
有
，
、，则，，
，即，
在上单调递增，而在定义域上，
∴为偶函数，则在区间上单调递减；
小问3详解】
由材料知，当时，，当且仅当时取等号，
且在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值6.
当时，或，即，此时.
为偶函数，则当时，，此时，
综上：a的取值范围为.
x
x
0
0
1
0
0
0
2
0
0