广西崇左市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广西崇左市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 关于椭圆，下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与互相垂直，则（ ）
A. B. C. 4D.
2. 已知空间向量，，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 若数列的前项和，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
4. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若抛物线上有一动点，且焦点为，则的最小值为（ ）
A 10B. 17C. 12D. 22
7. 已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（ ）
A B. C. D.
8. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，点关于的对称点分别为点，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（ ）
A 42B. 21C. 63D. 84
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于椭圆，下列选项正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长为
B. 椭圆的一个顶点为
C. 椭圆的焦距为
D. 椭圆的离心率为
10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. 公差
C. 是中最大值D.
11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A. 圆的半径为2
B. 直线与圆相离
C.
D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该乒乓球第3次触地后弹起的高度为______cm．
13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______．
14. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则数列的前项和______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16. 在正四面体中，．
（1）用基底表示；
（2）若，求．
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，，分别为的中点．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角余弦值．
18. 已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线．
（1）若，求曲线的方程．
（2）若，证明：为定值．
19. 已知数列满足，且．
（1）若，求；
（2）求的通项公式（用和表示）；
（3）设的前项和为，若，求（用和表示）．
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到选择性必修第二册第四章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与互相垂直，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两直线垂直的条件建立方程，求解参数即可.
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，解得，故D正确.
故选：D
2. 已知空间向量，，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用共线向量坐标表示列式求解.
【详解】由向量，，且，得，解得，
所以.
故选：B
3. 若数列的前项和，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
分析】应用计算求解.
【详解】数列的前项和，则.
故选：C.
4. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】举例即可说明，充分性以及必要性均不成立，即可得出答案.
【详解】充分性：在等比数列中，设首项为，由，
取，此时等比数列的通项公式为：
，
随着的逐渐增大，增大，
则等比数列是递增数列，不是递减数列，
故充分性不成立，
必要性：取首项，
则等比数列的通项公式为：
，
从而得出数列是递减数列，但是，
所以必要性不成立，
故若等比数列的公比为，
则“”是“是递减数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图结合题设可得，，据此可得答案.
详解】由题可得，从而.
因，则，又由题可得，
则.
故选：A
6. 若抛物线上有一动点，且焦点为，则的最小值为（ ）
A. 10B. 17C. 12D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线定义结合题设可得答案.
【详解】由题可得抛物线焦点为，准线为，如图，过作准线垂线，垂足为，由抛物线定义，.
故选：C
7. 已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】变形给定向量移动式，再利用共面向量定理的推论列式计算得解.
【详解】由，得，
则，由在所在平面内，得，
所以.
故选：B
8. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，点关于的对称点分别为点，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（ ）
A. 42B. 21C. 63D. 84
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件可得，利用及双曲线定义求出实轴长..
【详解】由点分别为线段的中点，为线段的中点，得，
而，则，解得，
由在双曲线的右支上，得的实轴长.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 关于椭圆，下列选项正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长为
B. 椭圆的一个顶点为
C. 椭圆的焦距为
D. 椭圆的离心率为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆的方程可得a，b的值，即可判断A、B的正误，根据a，b，c的关系，可得c值，即可判断C、D的正误.
【详解】由椭圆的方程可得，所以，
所以椭圆的长轴长为，故A错误；
短轴端点为，则一个顶点为，故B正确；
因为，所以椭圆的焦距为，故C错误；
离心率为，故D正确.
故选：BD
10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. 公差
C. 是中的最大值D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于AD，由结合等差数列下标和性质可判断选项正误；对于B，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误.
【详解】对于AD：，故A错误，D正确；
对于B：,
由A分析，.则，故B正确；
对于C：由以上分析，，因，
则，,
结合，可知数列前5项为正数，从第6项开始为负数，则是中的最大值，故C错误.
故选：BD
11. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ）
A. 圆的半径为2
B. 直线与圆相离
C.
D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可得出选项A，计算圆心到直线的距离和半径比较即可得出选项B，由题意画出图形可得即可判断选项C，画出图形，根据圆的切线性质，在直角三角形中分析即可得出选项D.
【详解】由圆，则，
所以圆的圆心为，半径为，故A选项正确，
由圆心到直线的距离为：
，
所以直线与圆相离，故B选项正确，
由直线与圆相离，点在圆上，点在直线上，如图所示：
所以，故C选项不正确，
从点向圆引切线，设切点为如图所示：
则，在直角三角形中，
切线的长为：，
若要切线长有最小值，则有最小值，
即为圆心到直线的距离，
所以切线长的最小值为，
故D选项正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该乒乓球第3次触地后弹起的高度为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】运用等比数列的递推模型，每次高度均为前一次的一半，只需依次进行三次乘法运算，即可得到第三次触地后的弹起高度.
【详解】乒乓球每次触地后弹起的高度是前一次高度的一半：
第一次触地后弹起高度：，
第二次触地后弹起高度：，
第三次触地后弹起高度：，
故第三次触地后弹起的高度为.
故答案为：
13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出向量在向量上的投影向量，然后利用向量求模公式计算即可.
【详解】设向量与向量的夹角为，
因为向量，
所以
所以向量在向量上的投影向量为：
向量在向量上的投影向量的模为：
，
故答案为：.
14. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则数列的前项和______．
【答案】
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出通项公式，再利用等差数列前和公式求解.
【详解】由双曲线性质得双曲线的渐近线方程为，
依点到直线的距离公式得，
而数列是等差数列，故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可求解，
（2）利用裂项相消法求和即可得解.
【小问1详解】
由可得，故，
则，
【小问2详解】
，
故
16. 在正四面体中，．
（1）用基底表示；
（2）若，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的基底，利用向量的线性运算计算即得.
（2）利用空间向量数量积的运算律计算得解.
【小问1详解】
在正四面体中，，
所以.
【小问2详解】
依题意，，，
所以
.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，，分别为的中点．
（1）证明：．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量法证明即可；
（2）在（1）建立的空间直角坐标系中，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
因为底面是正方形，且侧棱底面，
所以两两互相垂直，
故以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
因为，是正方形，分别为的中点，
所以，
又分别为的中点，所以，
所以，
由，
则，所以.
【小问2详解】
因为底面，底面，
所以，
在正方形中，，
由，所以平面，
所以向量为平面的一个法向量，且，
设平面的一个法向量为：，又，
由，
令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
所以
，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线．
（1）若，求曲线的方程．
（2）若，证明：为定值．
【答案】（1）曲线的方程为，曲线的方程为；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设出动点的坐标，利用斜率坐标公式及斜率关系列式求出曲线的方程，再将代入即得.
（2）设，由给定条件可得，再利用斜率坐标公式求出的表达式，然后利用点分别在曲线上推理计算得证.
【小问1详解】
设，而，则，由，
得，整理得，
设，则，由，得，整理得，
当时，曲线的方程为，曲线的方程为.
【小问2详解】
设，则，
由，得，即，
，
由点在曲线上，得；由点在曲线上，得，
则，于是，即，
所以为定值.
19. 已知数列满足，且．
（1）若，求；
（2）求的通项公式（用和表示）；
（3）设的前项和为，若，求（用和表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）（）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件计算即可；
（2）分为奇数和偶数，结合累乘法进行分析得出的表达式；
（3）分为奇数和偶数，利用分组求和与等比数列前项和公式求解即可.
【小问1详解】
因，，
所以当时，，
.
【小问2详解】
当为奇数时，，
因为，所以，
又，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
因为，所以，
又，所以当为偶数时，，
综上所述：.
【小问3详解】
当为奇数时，
，
其中是以首项为，
公比为的等比数列的前项的和，
是以首项为，
公比为的等比数列的前项的和，
所以，
当为偶数时，
，
其中是以首项为，
公比为的等比数列的前项的和，
是以首项为，
公比为的等比数列的前项的和，
所以，
所以，其中.