黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试卷

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牡丹江二中 2025—2026 学年度第一学期期末试题
数学答案
1【答案】B
【详解】由数列为等差数列，则 ，解得， 可得公差 ，所以 .故选：B. 2．【答案】C
【详解】因为数列为等比数列， ，公比，所以 ，
所以 ，当时， 最大，即，解得： ，
所以当 时， 最大.故选：C.
3． 【答案】C
【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，
结合图象可知，函数 在区间 的极大值点只有 .故选：C.
4． 【答案】D
【详解】令，则，
当时， ， 的单调递减区间为，故选:D. 5．【答案】A
【详解】因为直线 与 平行，所以，即，得：，
将 变形为： ，
则直线 与之间的距离是，
所以 ，所以，解得 或 （舍去），所以 .故选 A.
6． 【答案】A
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（ ），所以渐近线方程为 ，即 .
因为焦点到一条渐近线的距离为 1 ，则有 ，
化简解得，又离心率，所以 .
所以双曲线的标准方程为.故选：A. 7．【答案】D
【详解】依题意， ，
其中后 1012 对（ ）的和均为 ，故这 1012 对的和为 ，由得 .故选：D
【答案】B
【详解】由表示动点 到定点 的距离，表示动点 到定点的距离，
且两点的距离为，
则动点 的轨迹为椭圆，易知 ，，所以离心率.故选：B.
【答案】ACD
【详解】若，则满足 ，但不是等比数列，故 A 错误； ，则当 时， ，
则 ，
又满足上式，则 ，则为等差数列，故 B 正确；若 ，则，
则 不是等比数列，故 C 错误；
若 ，则，则当 时， ，此时不是等比数列，故 D 错误.故选：ACD
【答案】ABD
【详解】对于 A，因为抛物线的准线方程为 ，即，解得 ，故 A 正确；对于 B，所以抛物线，所以焦点为 ，设 ，
因为 为线段 的中点，
所以，即，所以，故 B 正确；对于 C，因为 ，
所以，故 C 错误；
对于 D，如图，过点 分别作准线的垂线，垂足分别为，
由 的坐标可知，
所以 的周长为 ，
当且仅当 P 为 与抛物线的交点时，等号成立，所以 周长的最小值为，D正确.故选：ABD.
【答案】ABD
【详解】函数的定义域 为： ， ．
对于选项 A，因为 ，所以，∴ 是增函数，故 A 正确；
对于选项B，因为 ，所以有解，又 在 为增函数，所以 在 上存在唯一的零点 ，所以 在 上为减函数，在
上为增函数，所以函数 在 上有唯一的极小值，亦是最小值 ，故 B 正
确；
对于选项 C，当 时，当 时， ；当 时， ；由 A 可知 是上的增函数，所以函数在 上存在唯一的零点 ，
所以当时， ；故 C 不正确；
对于选项 D，由 B 可知， 时，函数 存在最小值 ，且
，所以 ，所以，
所以存在使最小值 小于 ，又当 和 时， ，
所以存在，使得函数有两个零点，故 D 正确．
故答案为：ABD．
12【答案】3
【详解】因为 ，，所以，
因此可以判断该数列的周期为，，
【答案】
【详解】解：由，得 ，
设切点为 ，，则，消去并整理，得 ，则． ．故答案为：．
【答案】
【详解】设点 的坐标为 ，其中 ，则，
所以点 到点的距离为，
当 时， 取得最小值，最小值为，所以点 到点距离的取值范围是.
故答案为：.
【答案】(1)证明见解析(2) ，
【详解】（1）因为，即 ， 又，即 ，又 ，所以 ，所以 是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，所以 ，
所以
.
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由题意 .
所以数列，其前项和为 .
当 时， ；
当 时， . 时，上式亦成立.
，
.
所以
（2） ，
所以 .
，
，
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）
由题意可知，对任意的 恒成立，
由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，
所以，函数 在区间上单调递增，则，解得 .
因此，实数的取值范围是 ；
，
.
（2） ，由于 是函数 的极值点，则，解得 ，
令，得 或 ，列表如下：
极小值
所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.所以，函数 在 处取得极小值，且极小值为.
又 ， ，则 ， 因此，函数 在区间上的最大值为.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在 x 轴上，且，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知直线斜率存在，
当直线斜率为 0 时，显然 ，所以；当直线斜率不为 0 时，设直线 方程为 ，
联立方程，消去 x 可得 ，
则 ，
设 ，则，
所以，
因为，
所以.综上， 为定值 0.
19． 【答案】（1）；（2）极大值为 ，无极小值；（3）．
【详解】解：（1） ，∴， ， ，
，，
,∴
．
切线方程为 ,即
由（1）知，函数定义域为 ，所以，故当 时，， 单调递减，
当 时，， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，极大值为，无极小值．
令 ,
，
，
,
当 时， ，所以 在上单调递增，所以，即 符合题意；
当 时，设，
，
①当
，所以在上单调递增，
，
，所以在上单调递增，所以，
所以符合题意；
，
，
②当时， ， ，所以在 上递增，在 上递减，，所以当
所以 在上单调递减， ，所以 ，，舍去.
综上：.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和求解不等式恒成立中的参数取值范围问题，关键难点是不等式恒成立中的分类讨论思想，要理解分类讨论的依据.