首都师大附中2025-2026学年第一学期期末练习高二数学（含答案）

这是一份首都师大附中2025-2026学年第一学期期末练习高二数学（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.抛物线y2=8x的准线方程是( )
A. x=2B. x=−2C. y=2D. y=−2
2.在x2−2x4的展开式中，x5的系数为( )
A. 4B. −4C. 8D. −8
3.已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1+a9=a10，则a1+a2+⋯+a9a10=( )
A. 52B. 92C. 9D. 5
4.某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间(单位：分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是0,5,5,10,...,35,40，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
A. B.
C. D.
5.近年来，盲盒产品风靡市场，深受年轻人追捧．新上市的某种盲盒产品共有6个不同的款式，每一套都有6个外观和质量相同的盲盒，且包含了这6个不同的款式．小铭喜欢其中的2款，他从一套的6个盲盒中随机购买2个，则至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为( )
A. 19B. 815C. 35D. 23
6.设点A1,0，动直线l：x+ay+2a−1=0，作AM⊥l于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为( )
A. 1B. 2+1C. 2−1D. 3
7.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则“a4>a3”是“对于任意n∈N∗且n≠3，Sn>S3”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A, B两点，点O是原点，如果BF=3, ∠BFO=2π3，那么AF的值为( )
A. 1B. 32C. 3D. 6
9.在数列{an}中，若an2−an −12=p，(n≥2，n∈N∗，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断：
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{(−1)n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N∗，k为常数)也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )
A. 50种B. 51种C. 140种D. 141种
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若−S1、S2、a3成等差数列，则数列{an}的公比为 ．
12.若2x+15=a0+a1x+1+a2x+12+⋯+a5x+15，则a0= ；a1+a2+⋯+a5= ．
13.将4位志愿者全部分配到世博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少分配1人，且每位志愿者不能兼职，则不同的分配方案有 种．
14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M, N两点，与双曲线的渐近线交于P,Q两点，若PQMN> 2，则离心率的取值范围为 ．
15.无穷数列an前n项和为Sn，且满足：∀n∈N∗，an>0，Sn≠1，an=SnSn−1，则下面说法中，所有正确结论的序号是 ．
①a2= 2 ②数列an有最大值，无最小值
③∃n0∈N∗，使得Sn00的离心率为 32，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形ABCD的面积为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线PA与直线BC交于点M，直线PD与直线x=−2交于点N，求证：MN//CD．
20.已知椭圆x29+y25=1的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于M，N两点，连接AM，AN分别交直线x=−92于P，Q两点，过点F且垂直于MN的直线交直线x=−92于点R．
(1)求证：点R为线段PQ的中点;
(2)记△MPR，△MRN，△NRQ的面积分别为S1，S2，S3，试探究：是否存在实数λ使得λS2=S1+S3?若存在，请求出实数λ的值;若不存在，请说明理由．
21.已知数列A:a1，a2，…，an(n≥2)满足ai∈N∗且1≤ai≤i(i=1,2,…,n)，数列B:b1，b2，…，bn(n≥2)满足bi=τ(ai)+1(i=1,2,…,n)，其中τ(a1)=0，τ(ai)(i=1,2,…,n)表示a1，a2，…，ai−1中与ai不相等的项的个数．
(1)数列A:1，1，2，3，4，请直接写出数列B；
(2)证明：bi≥ai(i=1,2,…,n)
(3)若数列A相邻两项均不相等，且B与A为同一个数列，证明：ai=i(i=1,2,…,n)．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.B
5.C
6.C
7.B
8.A
9.D
10.D
11.3或−1
12.−1 ； ；2
13.36
14.(1, 2)
15.①②④
16.(1)解：设事件A=“第1次取到白球”，B=“第2次取到红球”，
因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球，
基本事件的总数为N=5×4=20种取法，
则P(A)=C31C4120=1220，P(AB)=C31C2120=620，可得PBA=PABPA=6201220=12，
所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为12．
(2)解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个，
可得基本事件的总数为N1=C52=10种取法，
设事件E=“所取的2个球中至少有一个红球”，则E=“所取的2个球中全是白球”
则P(E)=C3210=310，可得P(E)=1−P(E)=1−310=710，
所以所取的2个球中至少有一个红球的概率710．
(3)解：设事件C=“取到的2个球中恰有1个红球”，事件D1=“从甲袋中取到红球”，
事件D2=“从甲袋中取到白球”，
从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得P(D1)=25,P(D2)=35，
若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球，
则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为PCD1=C21C21C42=46=23；
若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球，
则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为PCD2=C11C31C42=36=12，
根据全概率公式，可得P(C)=P(D1)P(C|D1)+P(D2)P(C|D2)=25×23+35×12=415+310=1730，
所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为1730．

17.(1)设等差数列an的公差为d，由a1=5, 7a2=4a4，
所以a2=a1+d=5+d,a4=a1+3d=5+3d，所以7×5+d=4×5+3d，
解得d=3，所以an=a1+n−1d=5+n−1×3=3n+2，
所以an=3n+2；
由Sn=2bn−1n∈N∗，
当n=1时，S1=b1=2b1−1，解得b1=2，
当n≥2时，由Sn=2bn−1，得Sn−1=2bn−1−1，
所以bn=Sn−Sn−1=2bn−2bn−1，即bn=2bn−1，
所以数列bn是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以bn=2×2n−1=2n；
(2)由(1)得Sn=2bn−1=22n−1=2n+1−2，
所以cn=an+Sn=3n+2+2n+1−2=3n+2n+1，
所以Tn=c1+c2+…+cn=3×1+22+3×2+23+…+3n+2n+1
=3×1+2+3+…+n+4×1−2n1−2=3×n1+n2+4×2n−1=3n1+n2+2n+2−4
所以cn的前n项和Tn为：Tn=3n1+n2+2n+2−4．

18.(1)从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为
12+2+18+3+15+6=56，
因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为56100=1425．
(2)设事件A1：抽取的高一学生选择去B地，
事件A2：抽取的高二学生选择去B地，
事件A3：抽取的高三学生选择去B地，
事件Ci：抽取的3人中恰有i人选择去B地，i=2,3，
事件D：抽取的3人中至少有2人选择去B地．
从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为12+2+1+2+2+1=20，
选择去B地的总数为2+2+1=5，所以PA1可估计为520=14；
抽取的100名学生中高二年级学生总数为18+6+6+3+5+2=40，
选择去B地的总数为3+5+2=10，所以PA2可估计为1040=14；
抽取的100名学生中高三年级学生总数为15+6+3+6+8+2=40，
选择去B地的总数为6+8+2=16，所以PA3可估计为1640=25；
因为D=C2∪C3=A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3，
所以P(D)=PC2∪C3=PA1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3
=PA1PA2PA3+PA1PA2PA3+PA1PA2PA3+PA1PA2PA3．
所以抽取的3人中至少有2人选择去B地的概率可估计为
14×14×1−25+2×14×1−14×25+14×14×25=1780．
(3)在三个年级去A地研学旅行的学生中，
调查结果为满意的学生人数的平均数为x1=1312+18+15=15，
则调查结果为满意的学生人数的方差为s12=1312−152+18−152+15−152=6，
调查结果为不满意的学生人数的平均数为x2=131+6+3=103，
则调查结果为不满意的学生人数的方差为s22=131−1032+6−1032+3−1032=389，
则s12>s22．

19.(1)依题意得，a2=b2+c2ca= 3212×2a⋅2b=4，且a>b>0，解得a=2b=1c= 3,
所以椭圆E的方程为x24+y2=1；
(2)设Px0,y0，其中x024+y02=1，x0>0，y0>0．
因为A0,1，B−2,0，C0,−1，D2,0，
所以直线PD的方程为y=y0x0−2x−2，
令x=−2，则y=−4y0x0−2，所以N−2,−4y0x0−2，
因为直线BC的方程为y=0−(−1)−2−0x−1=−12x−1，
又直线PA的方程为y=y0−1x0x+1，
联立y=−12x−1y=y0−1x0x+1，解得x=−4x0x0+2y0−2y=x0−2y0+2x0+2y0−2,
所以M−4x0x0+2y0−2,x0−2y0+2x0+2y0−2，
所以直线MN的斜率kMN=x0−2y0+2x0+2y0−2+4y0x0−2−4x0x0+2y0−2+2=x02+2x0y0+8y02−4y0−4−2x02+4x0y0−8y0+8，
又因为x024+y02=1，
所以kMN=x02+2x0y0+8−2x02−4y0−4−2x02+4x0y0−8y0+8=−x02+2x0y0−4y0+4−2x02+4x0y0−8y0+8=12，
因为直线CD的斜率kCD=0−(−1)2−0=12，所以kMN=kCD，
又因为直线MN与直线CD显然不重合，所以MN//CD．

20.解：(1)A(3,0)，F(−2,0)，设l:x=my−2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my−2,x29+y25=1,得(5m2+9)y2−20my−25=0，则y1+y2=20m5m2+9，
y1y2=−255m2+9，
直线AM:y=y1x1−3(x−3)，令x=−92得y=−15y12(x1−3)，
所以P(−92,−15y12(x1−3))同理，Q(−92,−15y22(x2−3)).
所以yP+yQ=−15y12(x1−3)−15y22(x2−3)=−152(y1my1−5+y2my2−5)
=−152⋅2my1y2−5(y1+y2)m2y1y2−5m(y1+y2)+25=−152⋅−50m5m2+9−100m5m2+9−25m25m2+9−100m25m2+9+25=5m．
直线RF:y=−m(x+2)，令x=−92得y=5m2，所以R(−92,52m)，
则yP+yQ=2yR，点R为线段PQ的中点．
(2)由(1)知，|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ (20m5m2+9)2+1005m2+9=30(1+m2)5m2+9，
又|RF|= (−92+2)2+(5m2)2=5 1+m22，所以S2=12⋅|RF|⋅|MN|=75(1+m2)322(5m2+9)．
而S1+S3=12⋅|PR|⋅|x1+92|+12⋅|QR|⋅|x2+92|=14⋅|PQ|⋅|x1+92+x2+92|
=14|−15y12(my1−5)+15y22(my2−5)|⋅|m(y1+y2)+5)|
=758|y1−y2m2y1y2−5m(y1+y2)+25|⋅|m(y1+y2)+5)|
=758|30 1+m25m2+9−25m25m2+9−100m25m2+9+25|⋅|20m25m2+9+5|=225(1+m2)324(5m2+9)
所以32S2=S1+S3．
故存在λ=32使得λS2=S1+S3．
21.【详解】(1)b1=τ(a1)+1=0+1=1，b2=τ(a2)+1=0+1=1，b3=τ(a3)+1=2+1=3，
b4=τ(a4)+1=3+1=4，b5=τ(a5)+1=4+1=5．
故数列B为1，1，3，4，5．
(2)证明：i．i=1时，由1≤ai≤i知a1=1，b1=τ(a1)+1=1≥a1，结论正确；
ii．i≥2时，设ai=k，(1≤k≤i)，
①若k=1，则有bi≥ai；
②若2≤k≤i，则由a1≤1，a2≤2，…，ak−1≤k−1知a1，a2，…，ak−1中均不与ai相等，
于是τ(ai)≥k−1，bi=τ(ai)+1≥k=ai．
综上bi≥ai(i=1,2,…,n)．
(3)证明：i.当i=1时，a1=1，结论正确；
ii.当i≥2时，假设a1，a2，…，ai−1中有一项与ai相等，设为ak，
在数列a1，a2，…，ak…，ai−1，ai中，由ai≠ai−1，ai=ak，可知第i项之前与ai不相等的项比第k项之前与ak不相邻的项至少多了一项ai−1，则τ(ai)>τ(ak)，
于是bi=τ(ai)+1>τ(k)+1=bk，又B与A为同一个数列，则ai=bi>bk=ak，这与ai=ak矛盾，
于是a1，a2，…，ai−1中均不与ai相等，则ai=bi=τ(ai)+1=i．
综上若数列A相邻两项均不相等，且B与A为同一个数列，则ai=i(i=1,2,…,n)．

高一
高二
高三
A地
B地
A地
B地
A地
B地
满意
12
2
18
3
15
6
一般
2
2
6
5
6
8
不满意
1
1
6
2
3
2