高中人教版 (2019)简谐运动的描述学案及答案

这是一份高中人教版 (2019)简谐运动的描述学案及答案，共5页。
一、简谐运动的振幅、周期和频率
1.振幅
(1)概念：振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，常用字母A表示。振动物体运动的范围是振幅的两倍。
说明：①位移是矢量，振幅是标量，最大位移的数值等于振幅。
②一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。
2.周期和频率
(1)全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。
(3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。
(4)周期和频率的关系：f＝1T。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。
(5)圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期成反比、与频率成正比，它们间的关系式为ω＝2πT，ω＝2πf。
(6)简谐运动的周期是由振动系统本身的性质决定的，与振幅无关(填“有关”或“无关”)。
做简谐运动的物体，一个周期内，路程和振幅有什么定量关系？半个周期呢？
答案 无论从什么位置开始计时，振动物体在一个周期内通过的路程均为4A。
无论从什么位置开始计时，振动物体在半个周期内通过的路程均为2A。
例1 (2024·长沙市德成学校高二期末)如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，小球经过A点时开始计时，经过2 s首次到达B点，则( )
A.从O→B→O小球做了一次全振动
B.振动周期为2 s，振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s，小球通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s，小球处在平衡位置
答案 C
解析 小球从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B是半个全振动，用时2 s，所以振动周期是4 s，振幅A＝12AB＝10 cm，B错误；因为t＝6 s＝112T，所以小球经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，小球处在最大位移处(A或B)，D错误。
例2 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知( )
A.质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B.质点经过每1 s通过的路程总是2 cm
C.0~3 s内，质点通过的路程为6 cm
D.t＝3 s时，质点的振幅为零
答案 C
解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，故A错误；质点在1 s内即14个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0~3 s为34T，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，故D错误。
拓展 质点在0.5~1.5 s内路程 2 cm，在1.5~2.5 s内路程 2 cm(均选填“大于”“等于”或“小于”)。
答案 大于 小于
提升总结
14个周期内路程与振幅的关系
1.振动物体在14个周期内的路程不一定等于一个振幅A。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，14个周期内的路程才等于一个振幅。
2.当初始时刻振动物体不在平衡位置或最大位移处时，若质点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在14个周期内的路程大于振幅A，若质点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点在14个周期内的路程小于振幅A。
二、简谐运动的相位、表达式
1.相位
(1)概念：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相。
(2)意义：描述做简谐运动的物体某时刻在一个运动周期中的状态。
(3)两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)，常说1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
说明：若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相。若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
2.简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)＝Asin(2πTt＋φ0)，其中：x表示振动物体在t时刻离开平衡位置的位移，A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位。
说明：(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ0)体会简谐运动的周期性。当Δφ＝(ωt2＋φ0)－(ωt1＋φ0)＝ω·Δt＝2nπ(n＝1，2，3…)时，Δt＝2nπω＝nT(n＝1，2，3…)，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动。
例3 (多选)(2025·广州市第六中学月考)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋π2) m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋π6) m。以下说法正确的是( )
A.物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B.物体A、B的周期相等，为100 s
C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D.物体A的相位始终超前物体B的相位π3
答案 CD
解析 物体A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；物体A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝2πω＝π50 s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φA0－φB0＝π3，故物体A的相位始终超前物体B的相位π3，D正确。
例4 甲、乙两个弹簧振子均做简谐运动，甲的振幅为4 cm，乙的振幅为2 cm，它们的周期都是2 s，当t＝0时，甲的位移为4 cm；乙的位移为－2 cm。如图所示为甲的振动图像。
(1)试在图中画出乙的振动图像(画出一个周期)。
(2)写出甲、乙两个振子的振动方程并求出相位差。
答案 见解析
解析 (1)乙的振动图像如图
(2)甲振子的振动方程为：x甲＝4sin(πt＋π2) cm
乙振子的振动方程为：x乙＝2sin(πt－π2) cm
甲、乙振子的相位差Δφ＝(πt＋π2)－(πt－π2)＝π。
三、简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两段路程的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等、方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。
例5 (多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从小球通过O点时开始计时，小球第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则小球第三次通过M点还要经过的时间可能是( )
A.13 sB.815 sC.1.4 sD.1.6 s
答案 AC
解析 假设弹簧振子在B、C之间振动，M点在O点的右侧，如图甲，若小球开始先向左振动，小球的振动周期为T＝0.3＋0.223×4 s＝1.63 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.63 s－0.2 s＝13 s。如图乙，若小球开始先向右振动，小球的振动周期为T＝4×(0.3＋0.22) s＝1.6 s，则小球第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正确。
1.周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。