上海市浦东新区上海交通大学附属中学浦东实验高中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份上海市浦东新区上海交通大学附属中学浦东实验高中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了01， 已知，则，________， 在某次体检中，高二等内容，欢迎下载使用。
一､填空题
1. 已知，则，________.
2. 已知正方体棱长为2，则直线到平面的距离为______.
3. 为了了解同学们的作业量，学校决定采用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取150人进行调查，已知高一学生有400人，高二学生有500人，高三学生有600人，则应抽取的高三学生人数为________.
4. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为______．

5. 从字母中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为_____.
6. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.

7. 某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________.
8. 平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________．
9. 在某次体检中，高二（1）班17名男生的平均身高为，方差为25.9，16名女生平均身高为，方差为23.3.则高二（1）班33名同学的方差为__________.（精确到0.1）
10. 如图，棱长为1正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为_____.
二､选择题
11. 若a，b是异面直线，则下列结论中不正确的为（ ）
A. 一定存平面与、都平行
B. 一定存在平面与、都垂直
C. 一定存在平面与、所成角都相等
D. 一定存在平面与、的距离都相等
12. 如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
13. 在研究某个随机现象时，以下关于事件的描述正确的是（ ）
A. 若两个事件可以同时发生，则事件与独立
B. 若，则事件是事件的对立事件
C. 若，则事件不是事件的互斥事件
D. 依某个角度观察时，样本空间的任意两个非空子集所对应的事件要么是相互互斥关系要么是相互独立关系
14. 三棱锥中，，以下选项中不正确的是（ ）

A. 面积最大值
B. 面积没有最大值
C. 三棱锥体积最大值为
D. 异面直线与所成的角可能等于
三､解答题
15. 如图，正方体分别是的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）证明：平面.
16. 为了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
（1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
（2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者的男性和女性中分别独立随机选取1人进行跟踪调查，求被选中的2人都是投赞成票的概率.（结果用最简分数表示）
17. 如图，圆柱轴截面是边长为2的正方形，动点在底面圆周上，是母线的中点.
（1）求圆柱的体积与表面积；
（2）求四面体体积的最大值及此时的大小.
18. 兴趣小组在折纸活动中将矩形纸片沿着对角线翻折至二面角大小为处（如下图）.

（1）若纸片是正方形，请证明：；
（2）若与平面所成角为，请求出的近似值（精确到0.01）.
19. 在学校科技节中甲､乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立.
（1）若甲，乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率；
（2）若甲，乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率.
交大附中浦东实验学校高二期末数学试卷
2026.01
一､填空题
1. 已知，则，________.
【答案】
【解析】
【分析】由对立事件的概率求解即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
2. 已知正方体棱长为2，则直线到平面的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】连接交于，通过线面垂直的判定，得到平面，根据正方体的棱长，得到点到平面的距离.
【详解】连接交于，如图，
因为正方体，所以面为正方形，
所以，
在正方体中，平面，
而平面，
所以，
平面，，
所以平面，
所以为点到平面的距离，
又因为正方体的棱长为，
所以，
所以到平面的距离为，
即直线到平面的距离为.
故答案为：.
3. 为了了解同学们的作业量，学校决定采用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取150人进行调查，已知高一学生有400人，高二学生有500人，高三学生有600人，则应抽取的高三学生人数为________.
【答案】60
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义求解即可.
【详解】由题可知，三个年级共有人，
抽样比例为，
则抽取的学生中，高三年级有人.
故答案为：60.
4. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为______．

【答案】8
【解析】
【分析】根据斜二测画法还原平面图，利用勾股定理求边长，然后可得.
【详解】因为为边长为1的正方形，所以，
还原平面图如图，中，，
所以，所以的周长为.
故答案为：8

5. 从字母中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为_____.
【答案】##
【解析】
【详解】运用列举法根据古典概型计算公式进行求解即可.
从字母中任取两个不同的字母，有以下情形：
，共种情况，其中取到字母a的有三种，
所以取到字母a的概率为，
故答案为：
6. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.

【答案】
【解析】
【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果.
【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图，
则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，

由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2，
则圆锥的体积为，
半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为，
因此剩余部分所形成的几何体的体积为.
故答案为：.
7. 某学校教学管理人员希望调查该校学生平均每天用于体锻的时间，他抽样调查了150名同学，发现他们每天的平均体锻时间是.请问，在前面这个情境中本次调查的总体是__________.
【答案】该校所有学生的平均每天用于体锻的时间
【解析】
【分析】根据给定条件，利用样本、总体的意义判断即得.
【详解】因为调查对象的总体为该校所有学生的平均每天用于体锻的时间，
因此总体应是：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间.
故答案为：该校所有学生的平均每天用于体锻的时间
8. 平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________．
【答案】12
【解析】
【分析】首先设 ，，根据平行平面间的距离列等式求解.
【详解】如图，，由题意可知，， ，
设 ，，
则 ，解得：，
平面与平面间的距离

故答案为：12
本题考查面面平行的性质，方程思想，属于基础题型.
9. 在某次体检中，高二（1）班17名男生的平均身高为，方差为25.9，16名女生平均身高为，方差为23.3.则高二（1）班33名同学的方差为__________.（精确到0.1）
【答案】59.4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的平均数、方差公式计算得解.
【详解】依题意，高二（1）班33名同学的平均身高为，
所以高二（1）班33名同学的方差为
.
故答案为：59.4
10. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】将原问题转化为三点一线即可求解.
【详解】
在 边上取点，使得，由正方体的对称性可知，
过点作平面的垂线得垂足，
连接，则有，
，
显然，当三点共线时最小，
即当是中点的时候，，
，最小值为2；
故答案为：2.
二､选择题
11. 若a，b是异面直线，则下列结论中不正确的为（ ）
A. 一定存在平面与、都平行
B. 一定存在平面与、都垂直
C. 一定存在平面与、所成角都相等
D. 一定存在平面与、的距离都相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据异面直线的几何特征，作与异面直线的公垂线段垂直的平面，且经过公垂线段中点的平面，可以判断A，D的真假；根据线面垂直的几何特征，可以判断B的真假；过公垂线上一点做直线与、所成角都相等，分析，确定的平面与异面直线，的夹角，可以判断C的真假，进而得到答案．
详解】解：若，是异面直线，为他们的公垂线，
则当平面时，平面与、都平行，故A正确；
若平面与、都垂直，则，这与，是异面直线矛盾，故B错误；
过公垂线上一点做直线与、所成角都相等，则，确定的平面与、所成角都相等，故C；
过公垂线的中点做与垂直的平面，则平面与、的距离都相等，故D正确；
故选：B．
12. 如图，一组数据，的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.
【详解】由题意可得：，则，
故，
∵是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，故.
故选：D
13. 在研究某个随机现象时，以下关于事件的描述正确的是（ ）
A. 若两个事件可以同时发生，则事件与独立
B. 若，则事件是事件的对立事件
C. 若，则事件不是事件的互斥事件
D. 依某个角度观察时，样本空间的任意两个非空子集所对应的事件要么是相互互斥关系要么是相互独立关系
【答案】C
【解析】
【分析】由独立事件的定义判断A；由对立事件的定义判断B；由互斥事件的定义判断C，举反例说明D.
【详解】对于A，由独立事件的定义可知，事件需满足，与事件是否同时发生无关，
如：投掷一枚骰子，记事件为：出现点数为1，事件为出现的点数为奇数，
则事件可同时发生，
但不满足，故A错误；
对于B，对立事件要求首先互斥事件，其次是(为样本空间)，
如，，，
此时满足，但事件不是对立事件，故B错误；
对于C，互斥事件的性质为，
又因为，
所以对任意互斥事件都有，
根据其逆否命题可知，当时，事件一定不是互斥事件，故C正确；
对于D，样本空间的非空子集对应的事件未必是互斥或独立事件，
如，，，
则，
则，
所以事件、既不互斥也不独立，故D错误.
故选：C.
14. 三棱锥中，，以下选项中不正确的是（ ）

A. 面积最大值为
B. 面积没有最大值
C. 三棱锥体积最大值为
D. 异面直线与所成的角可能等于
【答案】D
【解析】
【分析】这个三棱锥可以看成一个二面角.选项A、C根据图象来看，面面时，可以取得最大值；选项B，当二面角的平面角最大为时，面积最大，但A、B、C、D共面，不符；选项D，建立平面直角坐标系，假设成立，利用坐标和代数运算相等，找出矛盾即可.
【详解】在三棱锥中：因为，，
所以和均为直角三角形，且为直角.
选项A：的面积，
的最大值为1（当时），
所以面积最大值为，选项A正确；
选项B：的面积，
因为且，
当“二面角”的平面角为0时，；
当“二面角”的平面角为时，，
所以，所以，
因此：，因为A、B、C、D不共面，
所以无限接近，但不等于，也就没有最大值，所以选项B正确；
选项C：以为底面，；
到底面的距离为高，要使体积最大，则需面面，
，
所以体积最大值，所以选项C正确；
选项D：如下图建立空间直角坐标系，以中点为原点，
则，，，，且；
所以得，，
；
若，则有，或
当时，，A、B、C、D共面，不符合；
当时，，又，
所以，不可能，
因此没有满足条件的D点.
所以选项D错误.

故选：D.
三､解答题
15. 如图，正方体分别是的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）证明：平面.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）作出异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求角.
（2）根据线面平行的判定定理证明线面平行.
【小问1详解】
连接，如图：
因为，分别为，的中点，所以，
又为正方体，所以，
所以.
所以即为异面直线与所成的角.
又为等边三角形，所以.
即异面直线与所成角为.
【小问2详解】
由（1）知：，平面，平面，
所以平面.
16. 为了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
（1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
（2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者的男性和女性中分别独立随机选取1人进行跟踪调查，求被选中的2人都是投赞成票的概率.（结果用最简分数表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出位置，再根据百分位数的求法求解即可；
（2）利用独立事件概率公式结合古典概型即可得到答案.
【小问1详解】
由条件得位置，
则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后，
第30人与第31人的年龄平均值，
由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45，
则所求的第60百分位数是.
【小问2详解】
由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，
其中6名男性，3名女性，
设为都投赞成票，为男性中有1人投赞成票，为女性中有1人投赞成票
依题意得，，
而相互独立，则.
17. 如图，圆柱轴截面是边长为2的正方形，动点在底面圆周上，是母线的中点.
（1）求圆柱的体积与表面积；
（2）求四面体的体积的最大值及此时的大小.
【答案】（1）体积与表面积分别为
（2）最大值为，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式、表面积公式计算即可.
（2）利用圆柱的结构特征，结合线面垂直、线面平行求出四面体体积关系，再利用基本不等式求解即得.
【小问1详解】
由圆柱轴截面是边长为2的正方形，得圆柱的底面圆半径，高，
所以圆柱的体积，表面积.
【小问2详解】
连接，显然点与点都不重合，由点在底面圆周上，得，
由是母线的中点，得平面，而平面，
则，又平面，因此平面，
由平面，平面，得平面，
则点到平面的距离等于，而，，
于是四面体的体积，
当且仅当，即是半圆弧的中点时取等号，此时，即，
所以四面体的体积最大值为，.
18. 兴趣小组在折纸活动中将矩形纸片沿着对角线翻折至二面角大小为处（如下图）.

（1）若纸片是正方形，请证明：；
（2）若与平面所成角为，请求出的近似值（精确到0.01）.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形对角线的性质可得线线垂直，根据线面垂直的性质与判定，可得答案；
（2）根据锐角三角函数，以及面面垂直的性质与线面角的概念，可表示各个边长，利用余弦定理建立方程，分解因式，可得答案.
【小问1详解】
连接，取的中点为，连接，

由矩形是正方形，则易知，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以.
【小问2详解】
在平面中，过作，垂足为，连接，

设，由矩形的性质，易知，，由题意可得，
由，即平面平面，且平面平面，
，平面，则平面，
因为平面，所以，由与平面的夹角为，则，
设，在中，，，
在中，，，
在中，，
易知，，，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
由，则化简可得，
令，则，分解因式可得，
由，则，即，解得，
所以，即的近似值为.
19. 在学校科技节中甲､乙两位同学分别参加闯关游戏，已知两位同学每次闯关通过概率均为，且两人每次闯关的结果相互独立.
（1）若甲，乙各参加一次闯关游戏，求甲通过次数不低于乙通过次数的概率；
（2）若甲，乙分别参加了次和次游戏，求乙通过次数大于甲通过次数的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将目标情况拆解为三个互斥事件，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.
（2）结合题意合理拆分事件，再结合二项分布的性质和全概率公式求解即可.
【小问1详解】
设甲通过为事件，乙通过为事件，
因为两位同学每次闯关通过概率均为，
所以，，，，
则甲通过次数不低于乙通过次数为如下事件，
甲通过且乙通过，甲通过且乙不通过，甲不通过且乙不通过，且三者互斥，
当甲通过且乙通过时，甲通过与乙通过相互独立，此时概率为，
当甲通过且乙不通过时，甲通过与乙不通过相互独立，此时概率为，
当甲不通过且乙不通过时，甲不通过与乙不通过相互独立，此时概率为，
则甲通过次数不低于乙通过次数为.
【小问2详解】
由题意得甲参加过次游戏，设通过次数为，
由题意得乙参加过次游戏，设通过次数为，
由题意得，，
把乙的次游戏拆分为前次和第次，
设乙前次通过游戏的次数为，第次通过的次数为，
可得，，则，且相互独立，
得到，而，
由全概率公式可得
，
因为同分布且相互独立，所以，
而，
则
.