湖南省衡阳市衡南县2025-2026学年九年级上册期末考试数学试卷

这是一份湖南省衡阳市衡南县2025-2026学年九年级上册期末考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了 计算的结果是， 将方程等内容，欢迎下载使用。
考生注意：请考生把答案写在答题卡的相应位置上，交卷时只交答题卡．
一.选择题（每题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）
A. ﹣2B. 2C. ﹣4D. 4
2. 一个三角形的三条中位线的长为6、7、8，则此三角形的周长为（ ）
A. 40B. 41C. 42D. 43
3. 用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，此方程可变形为（ ）
A. （x﹣3）2＝3B. （x﹣3）2＝6
C. （x+3）2＝12D. （x﹣3）2＝12
4. 已知实数m，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ，B. C. D.
5. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A x2﹣2x+5＝0B. x2﹣2x﹣5＝0C. x2+2x﹣5＝0D. x2+2x+5＝0
6. 已知一元二次方程两根分别为，，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 5
7. 如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 9
8. 某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
10. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. 2C. D.
二.填空题（每题3分，共18分）
11. 使二次根式有意义的x的取值范围是__________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______．
13. 如图，在中，，则的长为___________．
14. 如图河堤横断面迎水坡的坡度是，，则坡面的长度是______m．
15. 如图，在中，，，点是的重心，，则的长为__________．
16. 已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_____．

三.解答题（本大题8小题，共72分）
17. 计算：．
18. 解方程：．
19. 如图，在矩形中，E上一点，于．
（1）求证：∽；
（2）若，，，求的长．
20. 如图，在菱形中，，，为中点，是上一点，为上一点，且，，交于点，求的值．
21. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
22. 学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；

【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点D在上，点E在上．若，求的长．
24. 如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边延长线上，且满足，连接，，与边交于点E．
（1）求证：；
（2）如果，求证：；
（3）交于点O，若，则 （直接写答案、用含k的代数式表示）．2025年下学期期末教学质量检测试卷九年级数学
时量：120分钟 满分：120分
考生注意：请考生把答案写在答题卡的相应位置上，交卷时只交答题卡．
一.选择题（每题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）
A. ﹣2B. 2C. ﹣4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出计算的结果是多少即可
【详解】 =2．
故选B．
此题主要考查了算术平方根的意义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2. 一个三角形的三条中位线的长为6、7、8，则此三角形的周长为（ ）
A. 40B. 41C. 42D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理求出三角形的三边即可解决问题．
【详解】解：∵三角形的三条中位线的长为6、7、8,
∴这个三角形的三边的长分别为：12,14,16,
∴这个三角形的周长=12+14+16=42,
故选C.
本题考查了三角形中位线定理,属于简单题,熟悉中位线的含义是解题关键.
3. 用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，此方程可变形为（ ）
A. （x﹣3）2＝3B. （x﹣3）2＝6
C （x+3）2＝12D. （x﹣3）2＝12
【答案】D
【解析】
【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．
【详解】由原方程移项得：x2﹣6x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2﹣6x+9＝12，
配方得；（x﹣3）2＝12．
故选：D．
此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．
4. 已知实数m，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. ，B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，
当，时，，
故选D．
5. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A. x2﹣2x+5＝0B. x2﹣2x﹣5＝0C. x2+2x﹣5＝0D. x2+2x+5＝0
【答案】B
【解析】
【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．
【详解】解：（x-1）2=6，
x2-2x+1-6=0，
x2-2x-5=0，
即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x2-2x-5=0，
故选：B．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）．
6. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解
【详解】∵一元二次方程的两根分别为，
∴、
∴
故选A．
此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
7. 如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故选：D．
本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
8. 某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一般增长后的量增长前的量×（1+增长率），如果该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示二、三月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得二、三月份的产量为、，
．
故选：．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．讨论：时，方程有实数根；当，，即可求解．
【详解】解：当，即时，方程变形为，此方程有实数根为，
当且时，方程有实数根，
解得：且，
的取值范围为．
故选：A．
10. 如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，则阴影部分的面积等于（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题结合矩形的性质考查反比例函数的系数的意义，关键是利用相似三角形的判定与性质，结合反比例函数的坐标特征求解阴影面积．
【详解】解：四边形是矩形，设，
∴，点纵坐标与点相同，为．
又∵在上，
∴点横坐标为，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴阴影总面积为．
故选：D．
二.填空题（每题3分，共18分）
11. 使二次根式有意义的x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案：
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，射线与轴正半轴的夹角为，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，求正弦值，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再运用勾股定理，则，即可作答．
【详解】解：如图：过点B分别作轴，作轴，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
则，
故答案为：．
13. 如图，在中，，则的长为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意线段要对应．根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】∵，
∴，即，
∴．
故答案为：4．
14. 如图河堤横断面迎水坡的坡度是，，则坡面的长度是______m．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义可得，进而可得的值，再根据勾股定理可得答案．
【详解】解：迎水坡的坡度是，
，
，
，
，
故答案为：10．
15. 如图，在中，，，点是的重心，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键．由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到，，，作，交于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出，进而求解即可．
【详解】解：，，点是的重心，
，，，
如图，作，交于点G，
，，
，，
，
在中，，由勾股定理得，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_____．

【答案】或
【解析】
【分析】先由一次函数的性质得；勾股定理得，，再设直线的解析式为，运用待定系数法解出直线的解析式为，证明，再进行分类讨论，依据两边成比例列式计算，即可作答．
【详解】解：∵直线与轴、轴相交于、两点，
∴当时，则；
当时，则；
∴；
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴设直线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
∵连接，与轴相交于点，
∴当时，则；
∴，
∴，，
当点在轴正半轴上时，
∴设，
∵，
∴，
∴当时，如图：

∴，
∴ ，
解得 ，
∴，
当时，
∴，
则，
∴；
当点在轴负半轴上时，
，，而，
∴，
∴，不相似；
综上：点的坐标为或，
故答案为：故答案为：或．
本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，一次函数的解析式与图象性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三.解答题（本大题8小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，需牢记、角的正弦、余弦、正切值，再代入表达式进行有理数和根式的运算．
【详解】解：∵，，，
∴
．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可．
【详解】解：
∵，
∴，
∴，
∴，．
19. 如图，在矩形中，E为上一点，于．
（1）求证：∽；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）7.2．
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．
（1）和都直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据可得，问题得证；
（2）运用相似三角形的性质求解．
【小问1详解】
证明：在矩形ABCD中，，，
，
，
，
又，
，
【小问2详解】
解：，，，
，
，
，
即，
20. 如图，在菱形中，，，为的中点，是上一点，为上一点，且，，交于点，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形判定及相似三角形面积比的性质．先证明，求出的长度，进而得到的长度，证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出最终结果．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴为等边三角形，，，
∴，
∵为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
21. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】（1）20，50，见解析
（2）360 （3）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由题意分别列式计算即可；
（2）由该校学生人数乘以喜爱打篮球的学生所占的百分数即可；
（3）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：，
这次共抽取了学生人数为（名），
喜欢打乒乓球的人数为，
补全条形统计图如下：
；
【小问2详解】
解：该校喜爱打篮球的人数：（名）；
【小问3详解】
解; 列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，
∴抽到一男一女学生的概率．
22. 学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度．
【答案】该古建筑的高度为25m．
【解析】
【分析】根据标杆EF和GH在同一竖直平面内可得EF//GH//AB，可得△DFE∽△DAB，△CHG∽△CAB，根据相似三角形的性质可得，，根据EF=GH，先求出BD的长，进而求出AB的长即可得答案．
【详解】∵标杆EF和GH在同一竖直平面内，
∴EF//GH//AB，
∴△DFE∽△DAB，△CHG∽△CAB，
∴，，
∵EF=GH=2，
∴=，
∵DE=2，EG=23，CG=4，
∴，
解得：BD=25，
∴，
解得：AB=25．
答：该古建筑的高度为25m．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理的是解题关键．
23. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：；

【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】（3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点D在上，点E在上．若，求的长．
【答案】（1）见解析（2）5（3）10
【解析】
【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．
（1）利用一线三等角模型，可说明，得；
（2）如图2中，延长交的延长线于点．证明为等腰直角三角形，证明，推出，求出，进而求出，再利用勾股定理求解即可；
（3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，求出的长，可得答案．
【详解】（1）证明：，，
，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：如图2中，延长交的延长线于点．

，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：如图，过点作与交于点，使，

，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，（舍去）
．
24. 如图，在正方形中，点M是边上一点（不与B、C重合），点N在边延长线上，且满足，连接，，与边交于点E．
（1）求证：；
（2）如果，求证：；
（3）交于点O，若，则 （直接写答案、用含k的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
（1）由正方形的性质可得，由“”可证，可得；
（2）由题意可得，，即可证，即可证，再根据可得结论；
（3）过点M作交于点F，设，由，，，再根据可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问3详解】
．
理由：如图，过点M作交于点F，
设，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
男
男
男
女
男
——
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
——
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
——
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
——