贵州省六盘水市2026年初中学业水平适应性考试（一）数学试卷

这是一份贵州省六盘水市2026年初中学业水平适应性考试（一）数学试卷，共35页。试卷主要包含了这组数据的中位数和众数分别是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效．
3．考试形式为闭卷考试，不能使用计算器．
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答）
1. 如果上升记作，那么下降记作（ ）
A. B. C. D.
2. 下列立体图形中，俯视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
3. 关于x的一元二次方程的根为（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
4. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（ ）
A. 36B. 30C. 24D. 18
5. 已知反比例函数图象如图所示，m的值可以是（ ）
A. B. C. D. 1
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
7. 为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 236，235B. 236，239C. 235，236D. 235，235
8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（ ）
A 3B. 4C. 5D.
9. 如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
10. 六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（ ）
A. 1B. C. D. 3
12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（ ）
A. 30B. 24C. 18D. 15
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13. 化简：_____．
14. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．先将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回．不断重复这个过程，发现摸到红球的频率在附近摆动，则袋中有红球_____个．
15. 小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m．
16. 如图，在中，，于点D，，边与的延长线相交于点F，的延长线与相交于点M，过点C作于点E．若，，则_____．
三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解不等式：．
18. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求方程的解．
19. 为了解学生“防诈骗意识”的强弱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把“防诈骗意识”分为A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表：
学生“防诈骗意识”强弱情况人数统计表
（1）本次抽取的学生共_____人， _____；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为提升全校学生的“防诈骗意识”，学校从“防诈骗意识”很强的四名同学（两男两女）中随机抽取两名同学，进行防诈骗知识宣讲，请用列表或画树状图的方法求抽到一男一女的概率．
20. 在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点．
（1）请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质；
（2）在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离．
21. 某经销商销售某种农产品，每盒进价为30元．调查发现：当售价为每盒40元时，平均每天可售出100盒，如果该农产品售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒．
（1）若设该农产品每盒降价x元，则每盒农产品的售价可表示为______元，每天的销量可表示为_______盒；
（2）该经销商每天销售利润要达到1120元，若要尽可能让利于顾客，该农产品每盒需降价多少元？
22. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）．
（1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号）
（2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到）
23. 在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．
（1）用含t的代数式表示______，_______；
（2）是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；
（3）当t何值时，与相似．
24. 阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根．
学习任务：
（1）方程的根是：，_____，_____；
（2）求方程的根；
（3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长．
25. 当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯．
【初步感知】
（1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：；
【解决问题】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长．
等级
人数（人）
A（很强）
4
B（强）
C（一般）
10
D（弱）
8
E（很弱）
16
2026年初中学业水平适应性考试（一）数学试卷
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效．
3．考试形式为闭卷考试，不能使用计算器．
一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答）
1. 如果上升记作，那么下降记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查正负数的意义．直接根据正负数的意义进行求解即可．
【详解】解：如果上升记作，那么下降记作．
故选：A．
2. 下列立体图形中，俯视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了三视图．根据各立体图形的俯视图进行判断即可．
【详解】解：A、立方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
C、四棱锥的俯视图是中间带点的正方形，故本选项不符合题意；
D、球的俯视图是圆，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 关于x的一元二次方程的根为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．通过提取公因式求解即可．
【详解】解：，
，
或，
即，．
故选：B．
4. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（ ）
A. 36B. 30C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定．证明是等边三角形求出即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故选：C．
5. 已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可．
【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第一、三象限，
则，
解得：．
观察四个选项，只有D选项符合题意．
故选：D．
6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的实数根，，一元二次方程没有实数根，，一元二次方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解．
【详解】解：∵，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
7. 为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 236，235B. 236，239C. 235，236D. 235，235
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键．因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可．
【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240，
其中第5和第6个数据为235，237，
所以这组数据的中位数是；
因为出现次数最多的数据是235，
所以这组数据的众数是235．
故选：A．
8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，利用相似三角形的性质解题．设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，列方程求解即可．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到，
解得，
即蜡烛火焰的高度是．
故选：B．
10. 六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这两年游客人数的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：A．
11. 如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，
四边形是正方形，
，，
点G是的中点，
，
沿折叠至，
，，
，，
，
，
，
设，则，
根据图形翻折的性质可知，，
在中，，
，
解得，
的长是．
故选：B．
本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（ ）
A. 30B. 24C. 18D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C，先证明四边形是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出，再根据勾股定理求出，即可求得答案．
【详解】解：过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C，
，
四边形是矩形，
平分，
，
同理，
，
四边形是正方形，
设，
点P恰好在反比例函数的图象上，
，
解得或（舍去），
，
，，
，，
在中，，
的面积是．
故选：D．
本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，添加辅助线构造全等三角形是关键．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13. 化简：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了约分．通过约分化简分式，消去分子和分母中的公因式．
【详解】解：．
故答案为：．
14. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．先将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回．不断重复这个过程，发现摸到红球的频率在附近摆动，则袋中有红球_____个．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了频率估计概率，正确理解频率估计概率是关键．根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在附近，因此摸到红球的概率约为，再利用概率公式列方程求解即可．
【详解】解：设红球有x个，
根据题意，得，
解得，
因此袋中红球约有6个．
故答案为：6．
15. 小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
解得（m）．
故答案为：12．
16. 如图，在中，，于点D，，边与的延长线相交于点F，的延长线与相交于点M，过点C作于点E．若，，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求角的正切值，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先求得平分，作于点N，证明，求得，，再证明，求得，在中，解直角三角形即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，即平分，
作于点N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂的运算，特殊角三角函数值，解一元一次不等式，熟练掌握零指数幂的运算，特殊角三角函数值及解一元一次不等式是关键．
（1）先化简绝对值，零指数幂的计算及求特殊角三角函数值，再进行有理数的混合运算即可；
（2）通过去括号，移项，合并同类项等步骤计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
18. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求方程的解．
【答案】（1），
（2）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出；两个函数解析式即可；
（2）根据图象，即可得到方程解．
【小问1详解】
解：一次函数与反比例函数的图象相交于点，，
，
，，
∴点，，反比例解析式为，
，在一次函数上，
，
解得，
直线解析式为：；
【小问2详解】
解：由图象可知，方程的解为：或．
19. 为了解学生“防诈骗意识”的强弱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把“防诈骗意识”分为A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表：
学生“防诈骗意识”强弱情况人数统计表
（1）本次抽取的学生共_____人， _____；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为提升全校学生的“防诈骗意识”，学校从“防诈骗意识”很强的四名同学（两男两女）中随机抽取两名同学，进行防诈骗知识宣讲，请用列表或画树状图的方法求抽到一男一女的概率．
【答案】（1）50；12
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图的综合运用，画树状图法求随机事件的概率．
（1）根据C等级的人数和占比求得本次抽取的学生总数，用50减去其他等级的人数即可求得的值；
（2）根据（1）的结论即可补充条形统计图；
（3）运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：（人），
，
故答案为：50；12；
【小问2详解】
解：补充条形统计图如图：
【小问3详解】
解：两名男生表示男，男，两名女生表示为女，女，
画树状图如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
20. 在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点．
（1）请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质；
（2）在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离．
【答案】（1）作图见解析；平行四边形；（不唯一）
（2）
【解析】
【分析】（1）由于点D是边上中点，所以旋转后点B与点C对应，点C与点B对应，所以只需画出点A的对应点即可，作射线，在射线上截取点，使，连接，，即可根据平行四边形的判定证明新组合图形的形状；
（2）根据勾股定理求出，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，就是所求作的图形；
绕点D旋转后得到，
，，
新组合图形是平行四边形；
该平行四边形的一条性质：；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
即点A与其旋转后的对应点之间的距离是．
本题考查了图形旋转的尺规作图，图形旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握图形旋转的性质及正确作出图形是关键．
21. 某经销商销售某种农产品，每盒进价为30元．调查发现：当售价为每盒40元时，平均每天可售出100盒，如果该农产品的售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒．
（1）若设该农产品每盒降价x元，则每盒农产品的售价可表示为______元，每天的销量可表示为_______盒；
（2）该经销商每天销售利润要达到1120元，若要尽可能让利于顾客，该农产品每盒需降价多少元？
【答案】（1）；
（2）该农产品每盒需降价3元
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据该农产品每盒降价x元可表示出降价后的售价，根据售价每降价1元，平均每天可多售出20盒可表示出降价后的销量；
（2）利用总利润=每盒商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合为了让利于顾客，即可确定结论．
【小问1详解】
解：∵该农产品每盒降价x元，
∴降价后的售价为元；
∵售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒
∴降价后的销量为盒．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：每盒利润为元，即元；由题意得，
，
整理得，
解得，．
∵为了让利于顾客，
∴
答：该农产品每盒需降价3元．
22. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）．
（1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号）
（2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到）
【答案】（1）
（2）峡谷AC的宽度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键．
（1）在中，根据求解即可；
（2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是；
【小问2详解】
解：连接，过点B作于点H，
是水平线，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
峡谷的宽度约为．
23. 在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．
（1）用含t的代数式表示______，_______；
（2）是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，与相似．
【答案】（1），
（2）不存在时间t，使得，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质分类讨论是解（3）的关键．
（1）根据可表示出的长，根据路程=速度×时间可表示出的长；
（2）根据列出方程，结合根的判别式解答即可；
（3）分和两种情况，利用形似三角形的性质列式求解即可．
【小问1详解】
解：∵动点P的速度为，动点Q的速度为，
∴，．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
整理得，，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在时间t，使得；
【小问3详解】
解：当时，
则，
∴，
解得；
当时，
则，
∴，
解得．
综上可知，当t的值为或时，与相似．
24. 阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根．
学习任务：
（1）方程的根是：，_____，_____；
（2）求方程的根；
（3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长．
【答案】（1），
（2），；
（3）的长为．
【解析】
【分析】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根．
（1）首先提出，然后因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【小问1详解】
解：提公因式得，
继续分解得，
∴或或，
∴，，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，
方程的两边平方，得，即，
因式分解得，
∴或，
∴，，
经检验，，都是原方程的解．
所以方程的解是，；
【小问3详解】
解：因为四边形是矩形，
所以，，
设，则，
因为，，，
，
两边平方并整理，得，
解得或8（不合题意，舍去），
经检验，是方程的解．
答：的长为．
25. 当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯．
【初步感知】
（1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：；
【解决问题】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，得出即可；
（2）过点M作于点H，交于点G，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，最后求出结果即可；
（3）过点E作于点G，延长，过点B作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，解直角三角形得出，，求出，，，，，根据，得出，求出x的值，然后根据勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点M作于点H，交于点G，如图所示：
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即正方形边长为．
（3）解：过点E作于点G，延长，过点B作于点H，如图所示：
则，
∵在中，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
设，则，，
∴在中，根据勾股定理得：，
，，
∴在中，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∴，
解得：，
∴，
∴．
本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．等级
人数（人）
A（很强）
4
B（强）
C（一般）
10
D（弱）
8
E（很弱）
16