【数学】辽宁省丹东市2026届高三上学期期末教学质量监测试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数的最小正周期是（）
A. B. C. D.
2. 设集合，则（）
A. B. C. D.
3. （）
A. 4iB. C. 4D.
4. 已知向量，，若，则（）
A. B. 4C. D. 5
5. 若，则（）
A. B. C. D.
6. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，且乙和丙相邻，则不同的排列方式共有（）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
7. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若线段的中点为，则的方程为（）
A. B.
C. D.
8. 设函数是奇函数，若，，则（）
A. B. C. D. 0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 在正四棱柱中，点分别是棱的中点，则下列命题正确的是（）
A. B.
C. 平面D. 平面
10. 已知直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，与的准线交于点，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. 以为直径的圆与相交D.
11. 已知的三条中线，，交于点，，，当的面积取最大值时，下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 底面直径与母线长均为2的圆锥，其侧面积为________．
13. 若指数函数满足，则不等式的解集为________．
14. 已知有两个极值点，，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 记为等差数列的前n项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
16. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图．
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者年龄位于区间的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率）．
17. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求在上的最大值；
（3）若在上单调递增，求实数的取值范围．
18. 在等腰梯形中，，（如图1），将沿翻折至（如图2），其中为动点．
（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为时．求三棱锥的体积；
（3）当二面角的正弦值取得最大值时，求的长．
19. 记椭圆的焦距为，且过点，点为下顶点．
（1）求的方程；
（2）已知点不在轴上，点在射线上，．
（ⅰ）设，用，表示点的坐标；
（ⅱ）设为坐标原点，直线的斜率为直线的斜率的2倍，，是上的点，求面积的最大值．