2025-2026学年重庆市育才中学校教共体九年级上册期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年重庆市育才中学校教共体九年级上册期中数学试卷 [附答案]，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的倒数是（ ）
A．B．2026C．D．
2．下列图标既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在中，，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．下列图形都是由同样大小的闪电按一定的规律组成，其中第1个图形一共有5个闪电，第2个图形一共有7个闪电，第3个图形一共有9个闪电，第4个图形中有11个闪电，…，则第10个图形中闪电的个数为（ ）
A．22B．23C．24D．25
6．反比例函数图象过点，该图象也可能过点（ ）
A．B．C．D．
7．截至2025年，九龙坡区共有中小学约140所，在校学生总数约16.5万人，将“16.5万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
8．2023年重庆市九龙坡区某特色产业年产值约28亿元，2025年该产业年产值预计达到亿元．若这两年的年产值年平均增长率为，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在正方形中，E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接并延长交于点Q，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知整式：，其中和为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．重庆市育才中学初2025届某班有40名同学，其中共有8名同学参与了文艺汇演节目．从该班随机抽取1名同学，抽到参与文艺汇演的同学的概率是 ．
12．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于 度．

13．若，其中，为相邻整数，则 ．
14．若，，且，则 ．
15．如图，以的斜边为直径作圆O，经过点F，点F为弧的中点，切线与直径延长线相交于点D，连接与直径相交于点P，，当时，则 ， ．
16．若一个三位正整数（x，y，z互不相等且均不为0）满足，则称这个三位数为“均平数”，将这个“均平数”的各数位上的数字取出重新排列得到另外5个三位数，，，，，S表示这六个数的和，记，若是最小的“均平数”，则的值为 ；已知m，n都为“均平数”且都能被18整除，若，则的最大值为 ．
三、解答题
17．求不等式组的所有整数解之和．
18．如图，在中，为边上的高线．
（1）尺规作图：过点E作直线的垂线，在垂线上截取一点M，点M在直线右侧，使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程）
证明：为EF边上的高线，
，
又∵①_________，
．
在和中，
（③_________），
∴④__________，
．
∴四边形是平行四边形．
19．学校开展“建党周年庆知识竞赛”活动，从七、八年级学生中各随机抽取25名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）下面给出了部分信息：
七年级25名学生竞赛成绩在B组中的数据是：85，82，86，81，84，87，85，83，85；
八年级25名学生竞赛成绩是：66，68，74，78，82，84，86，86，87，87，87，88，89，90，92，93，95，96，98，99，100，100，100，100，100．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_________，_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生建党周年庆知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生800人，八年级有学生900人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生共有多少人？
20．先化简，再求值：，其中．
21．2026年元旦节即将来临，校团委准备订购一批具有陶味的文创产品．经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个厂家共同生产，并在元旦前赶制完成陶味文创产品共14100件经考察，乙工厂生产陶味文创产品的数量比甲工厂生产陶味文创产品的数量的倍少900件．
（1）求甲、乙两工厂各生产陶味文创产品多少件？
（2）在生产过程中，乙工厂每天生产陶味文创产品的数量是甲工厂每天生产陶味文创产品数量的倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件陶味文创产品？
22．如图，在正方形中，边长为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着方向运动，点是射线上一动点，连接、、，的面积为2．设点、的运动时间为，的面积为，的长为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23．为提高队员海域执行任务能力，相关部门决定进行一次海上演练．如图，A、B、C、D、E在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务．点B在观测点A的北偏西方向海里处，同时在观测点D的北偏西方向处；观测点D既在A的北偏东方向处，同时又在C的北偏西方向处．C处在点A的正东方向，观测点E在上且距离A点100海里处．（参考数据：，，）
（1）求的距离（结果保留根号）；
（2）观测结束后，甲巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点出发沿往处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇和甲巡逻艇之间的直线距离为200海里时可开始共同执行任务，请问乙巡逻艇距离处多少海里时，两巡逻艇开始共同执行任务？（结果保留小数点后一位）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线BC上方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点D，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接BN，PM．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点E为点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程．
25．如图，中，，以为斜边向的左侧作等腰直角，，，点M是的中点，连接交于点G．
（1）如图1，若，，求线段的长度；
（2）如图2，点E是边上一点，连接，点F是的中点，连接，，若，猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）问条件下，若，当点D到直线的距离取得最大值时，请直接写出此时的面积．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：的倒数为，
故选C．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称又是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键．
由，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故选D．
5．【正确答案】B
【分析】此题主要考查了图形变化类，根据图形中闪电的个数变化规律，进而求出答案．
【详解】解：∵第一个图形有个闪电，
第二个图形有个闪电，
第三个图形有个闪电，
第四个图形有个闪电，
∴第个图形的闪电的个数是：．
第个图形有：个，
故选B．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，正确求得函数解析式是解答的关键．
由点在反比例函数图象上，可求出反比例函数的解析式，再验证各选项点是否满足解析式。
【详解】解：设反比例函数的一般形式为，
∵点在图象上，
∴，解得，
∴函数解析式为．
验证选项：
A. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意；
B. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意；
C. ：，该图象过此点，故符合题意；
D. ：，该图象不可能过此点，故不符合题意；
故选C．
7．【正确答案】D
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可．
【详解】解：16.5万，
故选D．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据题意，2024年产值为，2025年产值为，据此列出方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为，
根据题意得，
故选A．
9．【正确答案】D
【分析】过点Q作于点，由正方形得到，则，，然后得到，可得，则，再解，表示出，然后根据表示出即可．
【详解】解：过点Q作于点，
解：∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查整式的概念及其运算、二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过是列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可．
【详解】解：∵整式：，其中和为自然数，为正整数，且，
∴当时，，
∴，
∴当时，整式为单项式；
当时，，
∴，
∵整式为单项式，为正整数，
∴，
∴，
此时整式，满足题意；
当时，为正整数，那么整式至少有两项，不是单项式，
∴满足条件的单项式有2个，①错误，
当时，，
那么，
∵，
∴，或，，，
∴满足条件的整式为、、、，
∴满足条件的整式的和为：，故②错误；
当时，，
那么，
∵整式为二次三项式中，，
∴，，或，，，
∴满足条件的整式为、、、、、，
当整式为时，且，那么其值一定是非负数；
当整式为时，且，那么其值一定是非负数；
当整式为时，且，那么其值不一定是非负数；
当整式为时，且，那么其值一定是非负数；
当整式为时，且，那么其值一定是非负数；
当整式为时，且，那么其值一定是非负数；
故满足条件的整式有5个，故③正确；
综上，正确的个数是1个，
故选B．
11．【正确答案】
【分析】题目主要考查概率的计算，理解概率的计算方法是解题关键．
本题中，事件为抽到参与文艺汇演的同学，情况数为8，总情况数为40，因此概率为，即可求解．
【详解】解：由概率计算公式，抽到参与文艺汇演同学的概率为参与人数与总人数之比，即.
12．【正确答案】110
【分析】本题考查平行线的性质、直角三角形的角度计算，通过平行线的同旁内角互补，结合直角条件计算角度是解题关键．
根据三角尺的直角和，可得的余角为，再根据同旁内角和对顶角即可求解．
【详解】解：设直角三角形直角边与直尺上下两边的夹角为，，
，，
，
、为同旁内角，，
，
．
13．【正确答案】20
【分析】本题考查估算无理数的大小，解题关键是找到与61相邻的两个为平方数的整数．
根据，得出，从而确定介于两个相邻整数之间的值，再计算它们的乘积．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
因此，，
所以．
14．【正确答案】或
【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，根据绝对值的定义，可知，，然后根据，即异号，分类讨论得出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴异号，
∴当时，，那么；
当时，，那么.
15．【正确答案】；
【分析】本题考查了直角三角形、圆的性质（直径所对圆周角、弧中点性质）、切线性质、相似三角形及三角函数的应用．解题关键是利用圆的性质确定角度关系，结合三角函数和相似三角形求解线段长度．
（1）连接，过点B作于H，先求出，根据求出，在中求出，最后根据求得结果；
（2）连接，先证明，令，则，根据相似三角形的性质得出，再证，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，
∵点F为弧的中点，
，，
为圆的直径，
，
，，
，
，
在中，，
设， 则， 由勾股定理，得，
，
解得，，即，
过点B作于H，
，
，
，即，
，
在中，，
；
（2）连接，
是圆的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
令，则，
，
，解得，，
，
，
，
.
16．【正确答案】4；1296
【分析】本题考查了列代数式，整式的加法，有理数的加法，有理数的除法，理解题意的“均平数”是解题的关键．对于均平数，，可证，，那么，，那么最小为1，最小为2，从而求得最小的“均平数”；不妨设分别为，十位上的数字，那么，根据m，n能被18整除，可知其数字和被9整除且个位为偶数，因此只能为3或者6，然后分别列出对应的均平数，求出的最大值即可．
【详解】解：对于均平数，，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
根据题意可知，，那么最小为1，最小为2，那么，最小的“均平数”是123，
故；
不妨设分别为，十位上的数字，
那么，且各个位数上的数字之和为，各个位数上的数字之和为，
∵，
∴，
∴，
∵m，n都为“均平数”且都能被18整除，
∴m，n各个数位数字和被9整除且个位为偶数，
∴、能被9整除，
∴能被3整除，能被3整除，
∵，
∴只能为3或者6，
当时，，那么或，或；
当时，，那么或，或；
那么则的最大值为.
17．【正确答案】6、
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取它们的公共部分得不等式组的解集，求出整数解的和即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：，
∴，
∴满足原不等式组的所有整数解的和为6．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）①；②；③；④．
【分析】本题考查了用尺规作垂直，作线段等于已知线段，平行的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）延长，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于两点，然后分别以这两点为圆心，以超过这两点距离为半径画弧，两弧相交于一点，连接和这个点，得到直线，然后以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，连接即可；
（2）根据平行线的判定，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定填空即可．
【详解】（1）解：如图即为所求：
（2）证明：为边上的高线，
，
又∵，
．
在和中，
，
，
∴，
．
∴四边形是平行四边形．
19．【正确答案】（1）85，100，24；
（2）我认为八年级成绩较好，理由见详解（答案不唯一，任意合理理由都可以）；
（3）共是688人．
【分析】本题考查了扇形统计图、统计表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．
（1）分别根据中位数和众数的定义可得p和q的值，进而即可得到m的值；
（2）根据众数的特征解答即可；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】（1）七年级25名学生竞赛成绩在B组中的数据从小到大排列为：81，82，83，84，85，85，85，86，87；
∵，
∴排在第13位的数是85，
∴．
∵八年级25名学生竞赛成绩中100出现的次数最多，
∴众数．
∵，
∴，
∴．
（2）答：我认为八年级成绩较好，因为八年级众数大于七年级众数85，所以八年级较好．（答案不唯一，任意合理理由都可以）
（3）（人）
答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是688人．
20．【正确答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算是解题关键．
先化简原式，再计算的值，最后代入求值．
【详解】解：原式
=
=，
=
=
=，
将代入原式，得原式．
21．【正确答案】（1）甲工厂生产陶味文创产品6000件，则乙工厂生产8100件；
（2）乙工厂每天生产180件陶味文创产品．
【详解】【1】
本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题目中的数量关系列方程是解题关键．
（1）设甲工厂生产陶味文创产品x件，根据乙工厂生产数量与甲工厂生产数量的关系，列出一元一次方程求解；
（2）乙工厂每天生产件陶味文创产品，则甲工厂每天生产件陶味文创产品，根据两个工厂完成生产的时间关系，列出分式方程求解．
【详解】解：（1）设甲工厂生产陶味文创产品件，
则乙工厂生产陶味文创产品（件，
依题意得：，
解得：．
乙工厂生产陶味文创产品：（件），
答：甲工厂生产陶味文创产品6000件，则乙工厂生产8100件，
（2）乙工厂每天生产件陶味文创产品，则甲工厂每天生产件陶味文创产品，
依题意得：，
解得：，检验：当时是原方程的解．
答：乙工厂每天生产180件陶味文创产品．
22．【正确答案】（1），；
（2）见详解；
（3）．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及求反比例函数与一次函数的表达式、画函数图象以及两个函数图象的交点问题等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）根据题意，利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据两个函数的表达式画图象，再根据图象说出函数，的性质即可；
（3）观察图象可得结论．
【详解】（1）解：当时，点在上，
；
当时，，
∴；
由图可知，，
∴；
（2）函数，的图象如图所示，
由图可知，函数的性质有：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
函数的性质有：当时，随的增大而减小；
（3）由图可知，两个函数相交时即或
解得或
∴时的取值范围．
23．【正确答案】（1）海里；
（2）乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．
（1）过点作，垂足为F，则，，再进一步求解即可．
（2）设乙巡逻艇距离处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务，过M作，垂足为P，，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：由观测点D既在A的北偏东方向处，
同时又在C的北偏西方向处知：，
∵点B在观测点D的北偏西方向处．
，
∵点B在观测点A的北偏西方向，
，
过点作，垂足为F，则，．
在中，，，
（海里），
（海里），
在中，，，
（海里）．
（2）解：由（1）得：在中，，，，
∴（海里），（海里），
设乙巡逻艇距离处海里的处时，此时甲巡逻艇到处，两巡逻艇开始共同执行任务，连接，
过M作，垂足为P，，
在中，，，
，，，
在中，海里，
由勾股定理得：，
解得：，（舍去），
（海里），
答：乙巡逻艇距离D处海里时，两巡逻艇开始共同执行任务．
24．【正确答案】（1）
（2）的坐标为，
（3）点的坐标为：或，过程见详解
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求出直线的解析式，然后设点的坐标，过点作轴的平行线交于点，求出长，再证明相似，根据对应边成比例和二次函数的性质求出的最大值，把此时的点向下平移个单位长度得到点，连接，可得到三点共线即时取到最小值，最后利用勾股定理计算解题；
（3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点，易知，由与得从而得到，求出直线，得出点为直线与抛物线的交点，联立即可解题．
【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴是直线，
所以，
解得，
把点代入抛物线得，
即，
所以，
解得，
所以抛物线的表达式：；
（2）令，
解得，
∴，
令，，
∴，
∴由待定系数法得直线：，
过作，如图所示：
设点的坐标为，
则点的坐标为，
∴，
∵作，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，
∴的坐标为，的坐标，
∵，所以把向下平移3个单位得到，
过作，连结，如图所示：
∵点点关于对称轴的对称点为点，
当点三点共线时最小，
即，
令，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：．
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，
即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度，
则，
过作轴交轴于点，
如图点沿射线方向平移至点，所以，
∵，，
∴，
∴，
∵的坐标为，
∴
∴直线：（如上图）或（如下图），
点为直线与抛物线的交点，
∴或，
解得：，（舍去）或，（舍去），
∴点的坐标为：或．
25．【正确答案】（1）；
（2）；见详解；
（3）．
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，解三角形，垂直平分线的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键
（1）根据直角三角形的性质得出，确定垂直平分．再解三角形即可；
（2）过点作交AD于点，延长交于点，连接，根据全等三角形的判定得出，，，然后利用全等三角形的性质及勾股定理即可得出结果；
（3）根据题意得出等腰固定，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆；当时，点到的距离取得最大值，再由勾股定理及解三角形求解即可．
【详解】（1）解：在中，
∵点M是的中点，
，
，
垂直平分．
，
，
在中，
，
．
（2）猜想：．
证明：如图，过点作交于点，延长交于点，连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
由（1）知，，
则，
∴，
，，
，
，
．
，
，，
在中：．
（3）过点E作的延长线于点Q，过点C作，
等腰固定，
∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；
∴四点共圆，
根据题意得：点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆，
∴均在圆O上，
当垂足为S时，点到的距离取得最大值．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四点共圆，
，
∵，
，
，，
∵，
∴，
∴在等腰中，
∴，
∴，
∴．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
p
85
八年级
86
89
q