2025-2026学年重庆市沙坪坝区重庆市第一中学校九年级上册12月期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年重庆市沙坪坝区重庆市第一中学校九年级上册12月期中数学试卷 [附答案]，共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数的相反数为（ ）
A．7B．C．D．
2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（）
A．全国初中生每天的运动量B．某校九年级1班所有同学的视力
C．一批新生产的电池的续航时间D．某种品牌节能灯的使用寿命
3．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，直线分别与、交于点、．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，下列图形是由相同大小的正方形和圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，……按此规律，则第⑦个图形中圆的个数为（）
A．19B．22C．25D．28
6．估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
7．已知点是线段的黄金分割点，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
8．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．%B．%C．%D．%
9．如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．已知整式，其中，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法：
①若，则当时，满足条件的整式共有4个；
②若，则当时，满足条件的整式共有7个；
③若，且，则当且时，满足条件的整式共有个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．第十五届全运会于2025年11月9日在广州开幕，设34个竞技比赛和23个群众赛事活动，共有14000多名运动员参加．数据用科学记数法表示为 ．
12．在不透明盒子中装有2张红桃扑克牌和1张黑桃扑克牌，这些扑克牌除花色外无其他差别．从盒子中一次性随机摸出2张扑克牌，则摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率是 ．
13．如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为 ．
14．已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ．
15．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，对角线、相交于点，为延长线上一点，连接，若，，，则的长度为 ，的长度为 ．
16．我们规定：若一个四位数满足千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数，则称这个数为“五湖四海数”，例如：四位数3276，因为，，所以3276是“五湖四海数”．按照这个规定，最小的“五湖四海数”为 ；若一个“五湖四海数”（其中，，，，且、、、均为整数），记，，若能被3整除，则满足条件的所有的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题
17．按要求完成下列各题：
（1）求不等式组：的所有整数解；
（2）解一元二次方程：．
18．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接．
（1）用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形．
证明：四边形是平行四边形，
①______，，．
∵，
在和中
∴
②______，
，
．
，
．
∵且，
四边形是平行四边形．
平分，
③______
∵，
．
．
④______，
四边形是菱形．
19．先化简，再求值：，其中．
20．为积极响应“体育强国”建设号召，推动青少年健康知识普及，某学校举办了“健康伴我行”体质健康知识竞赛活动．现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为50分且为整数）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分四组：，，，），下面给出了部分信息：
八年级20名学生竞赛成绩是：
50，50，50，49，49，49，48，47，47，46，
46，46，46，45，44，44，43，42，40，39；
九年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：47，47，47，47，46，46，45，45，45．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生体质健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校八年级有学生1680人，九年级有学生1120人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是多少?
21．某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个．
（1）请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？
（2）由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值．
22．在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为．

（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23．“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，重庆市少年儿童图书馆焕新亮相于重庆园博园附近．如图，、、、在同一平面内．图书馆在的东北方向上，且在少年宫的北偏西60°方向上，园博园正门在的正南方向千米处，且在少年宫的南偏西方向1千米处．（参考数据：，，）
（1）求图书馆与少年宫之间的距离（结果保留根号）；
（2）小依和小钟相约图书馆阅读，小依从少年宫出发，沿着方向匀速运动，同时小钟从园博园正门出发，沿北偏东某方向匀速直线运动，两人在上某处相遇后再一起前往图书馆．已知小钟速度为小依速度的倍，求两人的相遇点距目的地的距离．（结果保留小数点后两位）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标．
25．如图，在中，，，点是平面内一点，连接，连接交于点．
（1）如图1，，，若，求线段的长度；
（2）如图2，，，点为线段延长线上一点，连接交于点且，点为线段的中点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，．用等式表示线段，与的数量关系并证明；
（3）如图3，，点，分别为线段，上的动点且，点为线段的中点，连接，．当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在的平面内得，此时以为斜边向右侧构造，，连接，当取最大值时，请直接写出的面积．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数作答即可．
【详解】数的相反数为7，
故选A．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：∵A项全国初中生数量大，调查成本高，难以全面调查；
C项电池续航测试具有破坏性，只能抽样；
D项节能灯寿命测试亦具有破坏性且耗时，不宜普查；
而B项某班级同学数量有限，易于全面调查且需精确数据，
∴最适合普查的是B．
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．
【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形；
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，根据对顶角相等可得，进而根据两直线平行同旁内角互补，即可求解．
【详解】解： ∵，
∴
∵，
∴
故选D．
5．【正确答案】B
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可．
【详解】解：∵第①个图形中圆的个数为：，
第②个图形中圆的个数为：，
第③个图形中圆的个数为：，
，
第个图形中圆的个数为：，
第⑦个图形中圆的个数为：．
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解．
【详解】解：
，
∵，，
∴
∴，
∴
故选B．
7．【正确答案】A
【分析】本题考查了黄金分割的定义．根据黄金分割的定义，当时，与的比值为，由此直接计算．
【详解】解：点是的黄金分割点，且，
，
，
．
故选A．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，正确理解连续两次降价的模型是解题关键．设平均每次降价的百分率为，根据连续两次降价后的价格关系列方程求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意，得
，
解得，（不合题意，舍去），
平均每次降价的百分率为．
故选B．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，延长交的延长线于点，证明得出，，进而勾股定理求得，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，再证明进而得出，即可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
在中，
在中，
∵是的角平分线，
∴
又∵
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
故选C．
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了多项式的定义，说法①中，时系数和为，整式有个；说法②中，时满足整式有个；说法③中，在，且、条件下，有个整式；即可求解．
【详解】说法①：，系数和，
若，则，
若，则，有、、对应、、
共个，①正确
说法②：即或，
时：，解得、，、
时：，解得、、、、，对应、、、、，
共个，②正确
∵说法③：∵，为非负整数，
当时
又∵，当时，
当时，，
当时，，不符合题意，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
对于，则有个满足条件的整式
对于，则有个满足条件的整式
……
对于，则有个满足条件的整式
∴共个，③正确
综上，正确个数为3.
故选D．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数．
【详解】解.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了用列表法求概率．根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：将2张红桃扑克牌记为红1、红2，1张黑桃扑克牌记为黑1
列表如下，
共有种等可能结果，其中摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的有2种
∴摸出的两张扑克牌都是红桃扑克牌的概率为
13．【正确答案】
【分析】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．
根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出两个空白扇形的面积，可得答案．
【详解】解：∵在菱形中，点是对角线的中点，，，
∴与交于点，，，，，
∴，，
∴，，
∴菱形的面积为，
∴图中阴影部分的面积为.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到的值，并结合方程根的定义将用表示，代入代数式化简求值．
【详解】解：，是方程的两个根，
，，且，即．
．
15．【正确答案】；
【分析】本题考查圆的综合，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，连接交于，由，得到垂直平分，，则，，根据，得到，再求出，接着根据勾股定理，解得，得到，，最后证明，得到，代入计算，解得．
【详解】解：连接交于，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴垂直平分，，
∴是的中位线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴半径，
∵，
∴，
解得，
∴，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得.
16．【正确答案】；
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据最小的四位数千位数字为，百位数字为，结合新定义，即可求解．分时，当时，分别求得的式子，进而根据能被3整除，得出，再分类讨论，求得最大值与最小值，即可求解．
【详解】解：∵最小的四位数的千位数字为，百位数字为
又∵千位数字与十位数字之和为5的倍数，百位数字与个位数字之和为4的倍数，
∴十位数字为，
又∵要找最小数，则个位数字为
∴最小的“五湖四海数”为；
∵，其中：，，，，且均为整数．
当时，
当时，
∵为整数且能被3整除，其中，．
∴是的倍数，
当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数，
当时，M的千位与十位数字之和为，此值应为的倍数，
又因能被3整除，可知是的倍数
综合以上条件，并结合a，c的取值范围，可得满足条件的的值只能是
∴当时符合题意，则，则
列举所有可能如下：
，，，：
，，，：
，，，：
，，，：
，，，：
，，，：
，，，：
所有值按升序排列：，，，，，，．
最小值，最大值
差值
17．【正确答案】（1），
（2）
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，解一元二次方程．
（1）分别解不等式①和②，找出它们的解集的交集，然后确定其中的整数解；
（2）使用求根公式解一元二次方程；
【详解】（1）解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
整数解为：，
（2）解：
∴，，
∴，
解得：
18．【正确答案】（1）见详解
（2）；；；
【分析】本题考查了作角平分线，菱形的判定，平行四边形的性质与判定；
（1）根据题意作的角平分线交的延长线于点，连接；
（2）根据平行四边形的性质得出，进而证明得出，进而证明得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，即可得出，即可得证．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，．
∵，
在和中
∴
，
，
．
，
．
∵且，
四边形是平行四边形．
平分，
∵，
．
．
，
四边形是菱形．
19．【正确答案】；
【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，零指数幂与负整数指数幂，先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时进行整式的混合运算，再根据负整数指数幂与零指数幂求得，最后代入求值．
【详解】解：原式
当时，原式．
20．【正确答案】（1），，；
（2）九年级学生的成绩更好，理由见详解
（3）
【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b,用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）用九、八年级人数乘以大于47分的学生人数所占百分比即可．
【详解】（1）解：八年级20名学生竞赛成绩中出现的次数最多，故众数为，即；
九年级20名学生竞赛成绩在组人数，则九年级20名学生竞赛成绩按从小到大排列的第10和第11名在组中，分别为和，故中位数为；
组占比为，
∴组占比为，
∴.
（2）解：认为九年级学生的成绩更好，理由如下：
因为八年级学生与九年级学生的平均分相等，但九年级学生的中位数和众数都更大；
（3）解：该校八、九年级参加此次竞赛成绩大于47分的学生人数共是（人）．
21．【正确答案】（1）高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋
（2）50
【分析】（1）设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）根据题意升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋，进而根据所用天数相同，列出分式方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋
根据题意，
解得：
答：高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋
（2）解：升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋
解得：
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴的值为．
22．【正确答案】（1），
（2）图象见详解，的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数，根据题意求出一次函数和反比例函数是解题的关键．
（1）根据运动时间的变化，的面积表示方法不同，分别根据当时和当时，表示出即可；先表示出的运动路程，再根据的长与点的运动路程之比为，解答即可；
（2）根据函数，的解析式画出图象即可；根据的图象，写出函数的一条性质即可；
（3）先求出和的交点，再根据图象求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为，
当时，，
当时，，
∴，
∵，的运动路程为，
∴．
（2）解：函数，的图象如图所示，
如图，的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）解：当时，
使，解得，（舍去），
∴当时，和相交，
当时，
使，解得，（舍去），
∴当时，和相交，
∴由图可知，当时，的取值范围约．
23．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用；
（1）如图，过作于，过作于，过作于，由题意可得，，，，，即可得到，，，，设，则，，根据，解得，最后根据求解即可；
（2）设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，设小依运动路程，则小钟运动路程，在中，得到，，则，，再根据，列方程解得，最后代入两人的相遇点距目的地的距离计算即可．
【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，过作于，则四边形为矩形，
∴，，
由题意可得，，，，，
∴中，，，
∴，，
解得，，
∴，
∵中，，
∴，
设，则，，
∵中，，，
∴，，
解得，
∴；
（2）解：设两人在上的点相遇后再一起前往图书馆，过作于，过作于，则四边形为矩形，
∴，，
设小依运动路程，
∵小钟速度为小依速度的倍，
∴小钟运动路程，
∵中，，，
∴，，
∴，，
中，，
∴，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴两人的相遇点距目的地的距离．
24．【正确答案】（1）
（2），
（3）x的横坐标为或
【分析】（1）根据已知条件求出点C，点B的坐标，再将点A，点B坐标利用待定系数法分别代入抛物线中即可求得其解析式；
（2）作轴交于点D，作轴交于点E，得出，先利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点D的坐标进而得出，的值，证明得到最大值时，最大，设，则，列出的二次函数关系式求得点P的坐标；作于点F，利用三角形面积公式得出的值，通过平移得出点的坐标并得出，再作轴于点G，通过正弦的定义得出，进而求得当，M，G三点共线且轴时，的最小值；
（3）先求出平移后的新抛物线解析式及其对称轴，设，则，利用正切的定义得出线段比例关系，此时分情况讨论：①当点E在点D下方时，②当点E在点D上方时，分别作对应的辅助线后利用求出的值，进而推出点的坐标，
从而得出结论当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为，进而求出和的值，利用待定系数法分别求出直线和的解析式，最终联立新抛物线解析式即可求出点E的横坐标．
【详解】（1）解：由题意知，当时，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
将点A，B分别代入抛物线得
，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图，作轴交于点D，作轴交于点E，
∴，
∵，，
设直线的解析式为，
代入得，解得，
∴直线的解析式为，
∴点D坐标为，则，，
∵，，
∴，
∴，则最大值时，最大，
设，则，
，
∵，
∴当时，最大，此时，
作于点F，
∴，得，
将点P沿方向平移得点，则，且，
∴，
作轴于点G，，
∴，
∴，
当，M，G三点共线且轴时取等号，故.
（3）解：∵抛物线沿射线平移，且过点C，
∴新抛物线解析式为，对称轴为，记对称轴为直线，
设，则，
∴，即，
①当点E在点D下方时：
如图，过点C作，在直线上取点且位于点下方，使得，
设，
∴，即，
延长至点F，与直线交点F，
∴，
∴，解得，
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴，点坐标为，
∴，，
当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为，
则，
设直线的解析式为，将点代入得
，解得，
∴直线的解析式为，
联立新抛物线解析式得，，
解得（舍去），；
②当点E在点D上方时：
如图，过点C作，在直线上取点且位于点上方，使得，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为，
则，
设直线的解析式为，将点代入得
，解得，
∴直线的解析式为，
联立新抛物线解析式得：，
解得（舍去），，
综上所述，x的横坐标为或．
25．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）过点作于点，在中，，，则，，根据设，则，，勾股定理得出，根据得出，进而求得，根据，求得，进而求得的长，即可求解．
（2）结论：，证明得出，则，延长至，使得，连接，进而证明得出，，则，即可求解；
（3）过点作，过点作于点，连接，过点作于点，证明，连接，，作关于的对称点，则当在上时，取最小值，进而作出辅助线，解直角三角形，根据的面积为，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，则；
（2）解：，
理由如下：∵， ，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，延长至，使得，连接，
又∵点为线段的中点，
∴，
∵，，
∴
∵将线段绕点顺时针旋转至，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作，过点作于点，连接，过点作于点，
∴，，
∴，，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴共线，
∴垂直平分，
∴，
连接，，作关于的对称点，
∴，
∴当在上时，取最小值，此时如图，
∵，点为线段的中点，
∴，，
∴，
过点作于点，则是等腰直角三角形，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
∵将沿所在直线翻折到所在的平面内得，
∴，，则，
此时以为斜边向右侧构造，，
则在以的中点为圆心为半径的圆上运动，当经过点时，取最大值，
设，交于点，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点，作的垂线，垂足为，，交于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积为，
．
年级
平均数
中位数
众数
八年级
46
46
九年级
46
47
红1
红2
黑1
红1
红1，红2
红1，黑1
红2
红2，红1
红2，黑1
黑1
黑1，红1
黑1，红2