2025-2026学年湖北省武汉市青山区第二教联体八年级上册期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年湖北省武汉市青山区第二教联体八年级上册期中数学试卷 [附答案]，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知等腰三角形的两边长分别为5和10，则其周长可能是（ ）
A．15B．20C．20或25D．25
6．如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A．、两角的角平分线的交点
B．的角平分线与线段的垂线平分线的交点
C．的角平分线与线段的垂线平分线的交点
D．、两角的角平分线分别与线段的垂线平分线的交点
9．如图，已知：∠MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为【 】
A．6B．12C．32D．64
10．如图，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，连接AD，AC，BC，BD，若AD＝AC＝AB，则下列结论：①AE垂直平分CD，②AC平分∠BAD，③△ABD是等边三角形，④∠BCD的度数为150°，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．点关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是
13．如图，点B、F、C、E四点共线，，，添加一个条件 ，使得．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形顶角为 ．
15．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1，则AD的长为 ．
16．如图，点A、B在坐标轴上，的平分线过点与x轴交于点C．下列结论：①平分的外角；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号）

三、解答题
17．如图，在中，，，，交于点D，是的角平分线，求，的度数．
18．如图，，，求证：平分．
19．小红在公园里荡秋千．如图，小红从秋千的起始位置处开始，此时秋千绳与地面垂直且点距离地面，她两脚在地面上用力一蹬，秋千到达距地面高的处，随后借助惯性到达另一侧的处．已知、两点到所在直线的水平距离、分别为、，，于点，于点．求秋千绳的长度．
20．如图，在，为等腰三角形，，，且，与相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：垂直平分．
21．如图，在的正方形网格中，点、、都在格点上，是与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并且每张图中画线不能超过8条．
（1）在图1中，画中线；在上画点，使得
（2）在图2中，画的高，再在上画一点，连接，，使．
22．（1）【问题背景】我们把面积相等但不全等的两个三角形称为“偏等积三角形”．
如图1，在中，，，．点是边上一点，点是边上一点．
①当________时，和是偏等积三角形；
②若和是偏等积三角形，且的长为奇数，求的值．
（2）【问题探究】如图2，在四边形中，是边上一点，是延长线上一点．，，且，．试找出图中的偏等积三角形，并证明你的结论．
（3）【问题拓展】如图3，在中，，．和为偏等积三角形，且面积均为，为上一动点，当取最小值时，求_________．
23．完成下列各题：
（1）问题的提出：如图（1），在中，，请你运用所学的全等知识，证明：．
（2）知识的运用：如图（2），已知是等边三角形，若是边的中点，点在射线上，若为轴对称图形，则的度数为 ．
（3）拓展延伸：如图（3），已知是等边三角形，若在边上，，与的外角平分线交于点，于点，求、、之间的关系．
24．已知：在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点是中边上一点，点是边上一点．
（1）如图1，若恰好平分，且，（用含有的式子表示）
（2）若，
①如图2，已知，，点，求点的坐标．
②如图3，若，，设，长为，请用含、的代数式表示的长．
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选A．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形；该选项不符合题意；
B、，能组成三角形；该选项符合题意；
C、，不能够组成三角形；该选项不符合题意；
D、，不能组成三角形，该选项不符合题意；
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”，
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴第一个三角形的边所对的角与第二个三角形的边所对的相等，
，
故选D．
5．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分别讨论腰长为5或10的情况，根据构成三角形的条件进行验证求解即可．
【详解】解：当腰长为5时，则该等腰三角形的三边长分别为5，5，10，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为10时，则该等腰三角形的三边长分别为5，10，10，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该等腰三角形的周长为；
综上所述，该等腰三角形的周长为25，
故选D．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数．
【详解】∵，，
∴，
由作图可知，平分，
∴．
∵，
∴．
故选C．
7．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得，，进而得到，求解即可，理清折叠前后重叠的线段相等是解本题关键．
【详解】解：由题意得，，，
，，，
的周长为7cm，
故选B．
8．【正确答案】B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图应用与设计作图．由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．
【详解】解：要发射塔到两个城镇，的距离相等，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上，
发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处．
故选B．
9．【正确答案】C
【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°．
∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°－120°－30°=30°．
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°－60°－30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1．
∴A2B1=1．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3．
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°．
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3．
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16．
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32．
故选C．
10．【正确答案】D
【分析】首先证明△AEC≌△BED,得到AC=BD=AB=AD,得到△ABD是等边三角形，③正确；根据∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形，得到∠CAB＝∠CAD＝30°∠CAE＝∠EAD＝15°得到①②正确；∆ ABC，∆CAD为等腰三角形，顶角都为30°，得到∠ACB＝∠ABC=75°，∠ACD＝∠ADC=75°，得出∠BCD的度数为150°④正确
【详解】解：∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形
∴AE=BE, DE=CE
∵∠AEB＝∠DEC＝90°
∴∠AEC＝∠DEB
∴△AEC≌△BED
∴AC=BD
∵AD＝AC＝AB
∴AD＝BD＝AB
∴②∆ ABD是等边三角形正确
∴∠ABD＝∠BAD＝∠ADB=60°
∵∆ ABE与∆ CDE都是等腰直角三角形
∴∠EAB＝∠ABE=45°
∴∠CAB＝30°，∠CAE＝∠EAD＝15°
∴AE为∠CAD的角平分线
∵∆ ABD为等腰三角形
∴①AE垂直平分CD正确
∴∠CAD＝30°
∴②AC平分∠BAD正确
∵∆ ABC为等腰三角形，顶角∠BAC＝30°
∴∠ACB＝∠ABC=75°
同理∠ACD＝∠ADC=75°
∴④∠BCD的度数为150°正确.
故选D
11．【正确答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称点的坐标特点，点关于x轴对称的点的坐标是．利用关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的性质，求点A关于x轴对称的点．
【详解】解：因为点关于x轴对称，
所以横坐标不变，为1；纵坐标互为相反数，为2；
因此对称点的坐标为；
故答案为．
12．【正确答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的．
【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”．
13．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉三角形全等的判定定理内容是关键；由题意可得一边一角对应相等，再添加一角对应相等或一边（已知角的一条夹边）对应相等的条件即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
若添加，则由判定；也可以添加条件：或.
14．【正确答案】或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
∴，
若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
综上，等腰三角形的顶角的度数为或．
15．【正确答案】7
【分析】由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE．则易求．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
16．【正确答案】①②④
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及正确作出辅助线．
【详解】解：过点D作轴于点E，作轴于点H，作的延长线于点F，如图所示：

平分，
①在和中，
平分
平分的外角，
故①正确；
②由①可知
轴于点H，
平分，
为直角三角形，
又
，
故②正确，
③无法得出③的结论，故错误；
④设
在和中，
，，
即
，
故④正确.
17．【正确答案】，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质及角平分线的定义，属于基础问题．
由，得，由是的角平分线，则可求得的度数，由及三角形内角和可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【正确答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
19．【正确答案】秋千绳的长度为
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明两个三角形全等是关键；证明，得的长度，再由勾股定理即可完成解答．
【详解】解：由题意知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
答：秋千绳的长度为．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识．
（1）证明即可；
（2）由得，再由等边对等角得，从而得，由线段垂直平分线的判定即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，点A在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查了用无刻度直尺画图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；
（1）取格点M、H，连接交于点E，连接即可；取格点F，连接交于点D，则；
（2）取格点H，连接交于点M即可；取格点E，连接，连接交于点G，连接交于点F，连接交于点N，连接，则点N满足条件．
【详解】（1）解：如图所示是中线，；
理由如下：由于，
∴，
∴，
∴，
∴是中线；
∵，
∴，
即是等腰直角三角形，且，
∴．
（2）解：如图，，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．【正确答案】（1）①3；②5；（2）与是偏等积三角形；见详解；（3）1
【分析】（1）①根据三角形的中线平分三角形的面积即可求解；
②利用三角形的中线平分三角形的面积、三角形三边的关系即可求解；
（2）过点C作交的延长线于点M；则，；由得；由，得；从而可证明，则，，再证明得，从而得，即得与是偏等积三角形；
（3）由题意知点D是的中点，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，当点P与点F重合时，取最小值，的面积等于的面积，从而得的面积为3；设，则由面积求得a，再由勾股定理求得的长，再由面积关系求得，从而求得，即可求得的面积．
【详解】解：（1）①∵和是偏等积三角形，
∴，
∵分别以为底，上的高相等，
∴，
故答案为3；
②∵和是偏等积三角形，
∴由（1）知，
∵，
∴，
即，
∵的长为奇数，
∴或7，
∵,
∴,
即，
∴；
（2）与是偏等积三角形；
证明如下：
如图，过点C作交的延长线于点M；
则，；
∵，
∵；
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与是偏等积三角形；
（3）∵和为偏等积三角形，
∴点D是的中点，
如图，作点D关于的对称点E，连接，交于点F，连接，由对称性质可得，，，
当点P与点F重合时，取最小值，
由对称知的面积等于的面积，
∵和的面积均为1，
∴的面积为3；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
由勾股定理求得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）或或
（3）
【分析】（1）作的平分线交于点D，证明即可；
（2）为轴对称图形，它必是等腰三角形，分三种情况考虑：；；；利用等腰三角形的性质即可求解；
（3）在上取，则得是等边三角形，，则可证明，有，得，由此即可得、、之间的关系．
【详解】（1）证明：如图，作的平分线交于点D，
则，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，D为的中点，
∴，
当时，如图，则；
当时，如图，则，
∴；
当时，如图，则；
综上，的度数分别为或或；
（3）解：如图，在上取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵为的外角平分线，的外角为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
此即、、之间的关系．
24．【正确答案】（1）
（2）①；②
【分析】（1）由平分，结合直角三角形锐角互余的性质即可求解；
（2）首先根据导出；①根据得出平分，再结合已知线段长对含的直角运用勾股定理即可求解；
②构造轴对称图形得出，利用角度关系得出为等腰直角三角形，从而证得，结合线段数量关系即可求解．
【详解】（1）解：平分，，，
，
.
（2），，
，
①如图，过点C作，
，
，
，
，
平分，
，，
，
点，
，
在中，，
解得，
，
，，，
，
在中，，
解得，
，
；
②如图，取点A关于的对称点N，连接，延长交于点M，
由轴对称性质可知，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
．