2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学八年级上册12月月考数学试卷（五四制） [附答案]

这是一份2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学八年级上册12月月考数学试卷（五四制） [附答案]，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在代数式，，，，中，分式的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知关于轴的对称点为，则的值是（ ）
A．5B．C．D．1
5．在式子，，，，中，是二次根式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．计算（ ）
A．2B．C．D．
7．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为（ ），你觉得这一项应是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用如图所示的几何图形可以证明（ ）
A．B．
C．D．
9．下列命题中是真命题的是（ ）
A．与三角形三个顶点距离相等的点是三条内角平分线的交点
B．若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形
C．等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一
D．到角的两边距离相等的点在角的平分线上
10．如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，交于点，垂足为点．以下四个结论：①；②；③；④当且时，若则四边形的面积为1.5．其中成立的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
二、填空题
11．最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径约为毫米，将数据用科学记数法表示为 ．
12．若分式有意义，则的取值范围是 ．
13．分解因式： ．
14．计算： ．
15．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
16．已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2006＝，则y1•y2006的值为 ．
17．计算： ．
18．在中，为边上的高，若，则的度数为 ．
19．如图，等腰中，，，面积为24．点E在边上，点F在边上，且垂直平分，点D是边的中点，点M在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ．
20．为等边三角形，点在上，点在上，连接,相交于点，且，，则线段的长为 ．
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称．
（1）直接写出的面积为 ；
（2）请在如图所示的网格中作出对称轴m；
（3）请在线段的右侧找一点D，画出，使．
23．在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知，，，求的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知，，，求的值”，这样解答就方便了．
（1）通过阅读，上文中原问题 ；
（2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知：，求的值．
24．如图1，在中，点在上，点在上，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，连接，直接写出图中的所有等腰三角形（和除外）．
25．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．
（1）求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
（2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11040元，求最多可以购买“妮妮”多少个．
26．如图1，在中，，为边上的中线，点为边上的点，连接，，点为延长线上的点，点为的中点，连接，若．
（1）求的度数；
（2）如图2，点为上的一点，连接并延长交于点，交于点，若，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长度．
27．如图1，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，且，C为上一点，点D为上的一点，连接，，若，且．
（1）求C点坐标；
（2）如图2，过点A作，交的延长线于点E，连接，若，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交x轴于点F，过点D作x轴的平行线，交的平分线于点G，交于点L，若，求F点坐标．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、选项图形是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形是轴对称图形，不符合题意；
C、选项图形是轴对称图形，不符合题意；
D、选项图形不是轴对称图形，符合题意．
故选D．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则．
利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂相乘，逐一判断即可．
【详解】解：A．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．无法合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可．
【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个，
故选B．
4．【正确答案】B
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值．
【详解】解：点关于轴的对称点为，
，，
，
故选B．
5．【正确答案】B
【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选择即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键．
【详解】．是二次根式的有，，，共3个，
故选B．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了积的乘方的性质，同底数幂的乘法，熟记性质并转化为同指数幂相乘是解题的关键．
把写成的形式，再逆用积的乘方的性质进行计算即可得解．
【详解】解：
．
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】根据完全平方公式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得出缺失平方项．
【详解】根据完全平方的形式可得，缺失的平方项为9b2
故选C．
8．【正确答案】A
【分析】此题考查平方差公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证．
利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可解答．
【详解】解：根据图形大正方形的面积为，
小正方形的面积为，
每个梯形的高为，
利用四个梯形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，
可得式子，
所以利用如图所示的几何图形可以证明，
故选A．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及角平分线的性质判断即可．
【详解】解：A、与三角形三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点，故选项A不是真命题；
B、若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故选项B是真命题；
理由：如图，是的外角，平分，．
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
C、等腰三角形的底边的高、底边的中线、顶角平分线三线合一，故选项C不是真命题；
D、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故选项D不是真命题．
故选B．
10．【正确答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
利用垂直平分线的性质可得，，即可得①结论成立；通过角平分线可得，推出，即可得②结论成立；利用外角性质可得，即可推出，即可得③结论成立；过点作于点，证明，可得，再证明，可得，再利用等腰三角形的性质推出，证明，故④结论成立．
【详解】解：是的中垂线，
，，
，，故①结论成立；
是的角平分线，
，
，
，故②结论成立；
，
，
，
，故③结论成立；
如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中垂线，
，，
，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，故④结论成立；
故选D．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了科学记数法；
根据科学记数法的表示方法可直接得出答案．
【详解】解：将数据用科学记数法表示为.
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义可知，即可得出答案．
【详解】因为分式有意义，
所以，
可得．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式，要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：
．
14．【正确答案】
【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可.
【详解】解：
故答案为
15．【正确答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，解得：；
故答案为．
16．【正确答案】2
【分析】求出y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，找出规律即可求出y2006的值，进而得出结果．
【详解】先把y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，得出规律当为奇数时值为2x，当为偶数是值为，所以y2006＝，
所以y1•y2006＝2x•＝2.
17．【正确答案】
【分析】根据二次根式的计算法则运算即可．
【详解】=
=.
18．【正确答案】或
【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键．
分高在内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算．
【详解】解：当高在内部时，如图，
，在中，；
当高在外部时（点D在延长线上），
，则，
在中，.
19．【正确答案】10
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点D是边的中点可得，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点M在上时，最小，由此即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：连接，，
∵，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
当点M在上时，最小，最小值为，
∴的周长最短．
20．【正确答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、线段的和差关系等知识点．解题关键在于准确找到全等三角形的对应边和对应角，这是后续推理的基础．以及角的等量代换，线段关系的熟练运用．证明和，和全等，通过角等量代换，三线合一，算出的长即可．
【详解】解：如图，延长至，使，连接，，过点作于点，
∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴设，则
∵，，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，且，
∴，
∴，
∴．
21．【正确答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练计算是解题的关键．
先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到化简后的式子，然后计算的值代入计算即可．
【详解】解：
，
，
把代入原式，可得原式．
22．【正确答案】（1）5
（2）见详解
（3）见详解
【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据割补法求三角形的面积即可求解；
（2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线m，即可求解；
（3）根据轴对称的性质作出，即可．
【详解】（1）解：（1）的面积为，
故5；
（2）解：如图1，直线m即为所求．
（3）解：如图2，即为所求．
23．【正确答案】（1）
（2）
【分析】此题考查了分式的化简求值，合理应运题目所给条件是解决本题的关键．
（1）首先求出，然后得到，进而求解即可；
（2）已知等式变形求出，原式利用完全平方公式变形后得到，然后整体代数求出，进而求解即可．
【详解】（1）∵，，，
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
24．【正确答案】（1）见详解
（2），，，
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练寻找图中的等腰三角形是解题的关键．
（1）利用证明可证得答案，得，进而可求解，即可证明结论；
（2）根据可得为等腰三角形；求得，可得为等腰三角形，证明可得，利用线段的差可得，推出为等腰三角形．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，即，
为等腰三角形，
，，
，
，，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
，
，即，
为等腰三角形，
综上，图中的所有等腰三角形有，，，（和除外）．
25．【正确答案】（1）购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元
（2）最多可以购买“妮妮”76个
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元，利用数量总价单价，结合用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之即可解答；
（2）设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”，利用总价单价数量，结合总价不超过11040元，可列出关于的一元一次不等式，解之即可解答．
【详解】（1）解：设购买一个“滨滨”需要元，一个“妮妮”需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元；
（2）解：设购买个“妮妮”，则购买个“滨滨”，
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购买“妮妮”76个．
26．【正确答案】（1）的度数为；
（2）是等边三角形，理由见详解；
（3）线段的长度为．
【分析】（1）由等腰三角形的性质，可得，，结合已知可得，设，则，由三角形的内角和定理可得，由三角形外角的性质，即可得的度数；
（2）作于点，由直角三角形的两个锐角互余，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，证明，可得，可得，由三角形的内角和定理可得，可得，即可得的形状；
（3）连接，是等边三角形，可得，，由平行线的判定和性质，可得，证明，可得，由（2）得是等边三角形，可得，证明，可得，等量代换，可得，即可得线段的长度．
【详解】（1）解：∵在中，，为边上的中线，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴的度数为．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
作于点，则，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（3）解：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的长度为．
27．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）过点D作，根据已知条件利用等面积法求出的距离即可求得点C坐标；
（2）设，，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质推导出是等边三角形，即可求得结果；
（3）先证出平分∠GLD，再证明△，推出是等边三角形，继续证明，在上取一点H，使得，证明，通过导角推导出，连接，，，，分别过点G作，，利用线段垂直平分定理证明出，再证明四边形为菱形，设，，表示出相关线段，分别表示和的面积，列出关系式求m的值，最终可求得点F的坐标．
【详解】（1）解：如图，过点D作，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，即，
∴，即，
∴点C坐标为．
（2）解：设，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴．
（3）解：如图，连接，延长交于点G，过点O作交于点J，
∵为的角平分线，为等腰三角形，
∴，即为的中垂线，
又∵，
∴由线段垂直平分线性质可知，，
∴，
∴，
∴平分，
过点D作，，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在上取一点H，使得，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
连接，，，，分别过点G作，，
由线段垂直平分线性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴与互相垂直平分，
设，则，
∵，
∴，即，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵，，，
∴由角平分线性质可知，为的角平分线，
∴易证得，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
∴，
∴点F坐标为．