2025-2026学年河北省张家口市宣化区2024−2025学年九年级上册期末考试数学试卷 （人教版） [附答案]

这是一份2025-2026学年河北省张家口市宣化区2024−2025学年九年级上册期末考试数学试卷 （人教版） [附答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．鱼戏莲叶东
2．下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
5．下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线B．顶点坐标是
C．函数图象与y轴交于正半轴D．y有最大值，最大值为
6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（ ）
A．
B．若点，在抛物线上，则
C．
D．对任意实数m，均成立
9．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是
A．4B．C．D．
11．如图，正方形的边长为4，以为直径的半圆O交对角线于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形．依此方式连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知点与点关于原点对称，则 ．
14．已知，是关于x的方程的两个实数根，则 ．
15．如图，是半圆的直径，，则的度数为 ．
16．一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个．
17．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是 ．
18．如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），那么扇形BAC的面积是 ．
三、解答题
19．解方程：．
20．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
（2）y轴上有一点Q，使AQ+CQ的值最小，求点Q的坐标．
21．我国大力发展职业教育，促进劳动力就业，某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______人；扇形统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为__________；
（2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有______人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
22．如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若A，，则的半径是__________．
23．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为．
（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若，求点的坐标．
24．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
25．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，连接．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意；
B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意；
C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意；
D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意；
故选A
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为，
∴，
∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点，
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，掌握含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键．根据一元二次方程的定义，得到，，即可得到答案．
【详解】解：关于x的方程是一元二次方程，
，，
，
故选B
5．【正确答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项．
【详解】解：∵ 二次函数 中，，
∴ 图象开口向上，故A错误；
∵ 顶点形式为 ，其中，，
∴ 顶点坐标为 ，故B错误；
当时，，
∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确；
∵ ，开口向上，
∴ y 有最小值，最小值为，故D错误．
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查三角形内心的定义，作图—基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．掌握三角形内心为三角形内角平分线的交点是解题关键．利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可．
【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】解：抛物线与轴相交于点，，
对称轴是直线．
．
．
又图象可得，，，
．
，故A正确，不符合题意；
抛物线开口向上，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又，
，故B错误，符合题意；
∵函数图象与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，故C正确，不符合题意；
对称轴是直线，且抛物线开口向上，
当时，取最小值为．
对于任意的，当时，函数值．
，故D正确，不符合题意；
故选B．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：，
故选D．
10．【正确答案】D
【分析】此题综合运用了解直角三角形的知识、旋转的性质以及弧长公式，解本题的要点在于求出，再算出答案．
点A经过的路线即以C为圆心，以的长为半径的弧，利用解直角三角形的知识求得的长和的度数，从而求得，再根据弧长公式进行计算．
【详解】解：在中，，，，
∴，，
∴，
∴点A经过的路线的长度是＝，
故选D．
11．【正确答案】B
【分析】如图，连接，证明，再根据阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是圆的直径，
∴，
又∵，
∴，
∵是中点
∴是的中位线，
∴，，
阴影部分的面积
．
故选B．
12．【正确答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．
由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】∵四边形是正方形，且，
，
∵将正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，再依此方式连续旋转，
，，，，，，，，，…
故发现是次为一个循环，
，
∴刚好完成个循环，即点和相同，即坐标为，
故选．
13．【正确答案】
【分析】由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解： 点与点关于原点对称，


14．【正确答案】
【分析】本题主要考查的是一元二次方程的根与系数的关系， 根据根与系数的关系可得出，，，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴.
15．【正确答案】/125度
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角，圆的内接四边形对角互补．
根据题意得出，进而得出，最后根据圆的内接四边形对角互补，即可解答．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．【正确答案】12
【分析】根据频率估计概率，红球出现的频率稳定在附近，即红球的概率为，利用概率公式列方程求解白球数量．
【详解】解：设白球有x个，则总球数为个．
根据题意得：．
，
即，
移项得，
即，
解得．
检验：当时，分母，方程成立．
故答案为12．
17．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键．
根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值．
【详解】解：设窗框的长为，
根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，
即
18．【正确答案】π
【分析】利用垂径定理的内容得出BF=CF，进而得出AD与半径的关系，从而得出△ABC为等边三角形，利用扇形面积公式求出即可.
【详解】做AF⊥BC，假设⊙A与x轴相切于E点，连接AE，做BD⊥AE，
假设AE＝x，图象与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），
∴OB＝DE＝1，AD＝x﹣1，
∵AC＝AB，AF⊥BC，
∴BF＝CF＝1，
∴AD＝BF＝1＝x﹣1，
解得：x＝2，
∴AB＝BC＝AC＝2，
△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴扇形BAC的面积是：．
19．【正确答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，先将方程进行整理，再根据因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：将方程整理可得：，
∴，
∴或，
∴，．
20．【正确答案】（1）见详解，A1（2，﹣2），B1（3，0），C1（1，1）；（2）Q（0，0）．
【详解】试题分析：（1）根据直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点是：横坐标，纵坐标都互为相反数，根据点的坐标就确定原图形的顶点的对应点，进而即可作出所求图形；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C，A′C与y轴的交点即为点Q，求出直线A′C的解析式，令x=0即可得点Q坐标.
试题解析：（1）如图，A1（2，﹣2），B1（3，0），C1（1，1）；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C，A′C与y轴的交点即为点Q，
设直线A′C 的解析式为y=kx+b，根据A′（2，2），C（-1，-1），
y=x，
当x=0时，y=0，所以点Q的坐标为（0，0）.
21．【正确答案】（1）；
（2）见详解，
（3）
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键．
（1）由选择专业的人数除以所占百分比即可得本次被调查的学生人数；用乘以选择专业的人数所占比，即可得出答案；
（2）求出选择专业的人数，补全条形统计图即可；根据用样本估计总体，用乘以样本中选择的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、丙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案
【详解】（1）解：本次被调查的学生有：（人），
扇形统计图中（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为.
（2）解：条形统计图中，（信息技术）专业的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
（人）
∴估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有人.
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有：甲丙，丙甲，共种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为，
答：恰好抽到甲、丙两名同学的概率为．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质．
（1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论；
（2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）证明：过O点作于点E，
∵与相切于点A，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：．
23．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由勾股定理求出的长，由旋转的性质得出，，由勾股定理可得出答案；
（2）过点作于点，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出，的长，则可得出答案．
【详解】（1）解： 点，点，
，，
，
把绕点逆时针旋转，得，
，，
；
（2）解：如图②，若，则，过点作于点，

则是等腰直角三角形，，
把绕点逆时针旋转，得，
，
∴
，
，
．
24．【正确答案】40元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用—营销问题，解题的关键是根据题意找出等量关系，正确列出方程求解．设应涨价x元，根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可．
【详解】解：设应涨价x元，
根据题意可得：，
解得：，
因为要更大优惠让利消费者，售价应更低，所以取，舍去，
∴售价应定为（元），
答：售价应定为40元．
25．【正确答案】（1）
（2）当点的坐标为时，有最大值，最大值为
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）利用待定系数法求出的解析式，设，则，可得出，最后利用二次函数的性质即可求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过、两点，且，
，，
将，代入抛物线解析式，得，
解得，
故此抛物线的函数解析式为：；
（2）设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
，
，
当时，，
把代入抛物线，得点的坐标为，
当点的坐标为时，有最大值，最大值为