2025-2026学年福建省厦门市松柏中学上册期中考试九年级数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年福建省厦门市松柏中学上册期中考试九年级数学试卷 [附答案]，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．许多数学符号蕴含着对称美，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A．3B．0C．D．
3．的半径，点C到圆心的距离为，则点C与的位置关系是（ ）
A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．无法确定
4．已知：如图, ⊙O的两条弦AE、BC相交于点D,连接AC、BE.若∠ACB＝60°,则下列结论中正确的是（ ）
A．∠AOB＝60°B．∠ADB＝60°C．∠AEB＝60°D．∠AEB＝30°
5．某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝21B．x（x﹣1）＝21C．2x（x﹣1）＝21D．x（x＋1）＝21
6．小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图，绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（ ）
A．40秒B．30秒C．20秒D．10秒
9．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A．B．1C．3D．9
10．已知，两点在抛物线上（常数），若对于，，都有，则a的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD= ．

13．若将抛物线y=-x2+1先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则所得抛物线的函数解析式为
14．小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为，则标签长度l应为 cm．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，若平分，则的值是 ．
16．抛物线开口向下，且过点，下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则，其中结论正确的是 （写序号）
三、解答题
17．解方程：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，与关于点G中心对称，若点E，F分别在上，且，求证：．
20．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：；
21．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求k的值．
22．如图，四边形内接于，，的延长线交于点F，点E在上，且．

（1）求证：是的切线：
（2）当时，求证：．
23．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是3和6，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则_________；
（2）若是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）若方程是倍根方程，且不同的两点都在抛物线上，求一元二次方程的根．
24．如图，在中，，点F为的中点．

【问题解决】
（1）如图①，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图②，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E．此时点E恰好落在边上，连接，，求四边形的面积；
【拓展延伸】
（3）如图③，若将绕点C逆时针旋转得到，连接，，求四边形的面积．
25．已知抛物线，顶点为．
（1）求b，c的值；
（2）若，抛物线与直线相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值；
（3）已知点、，若点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，且，求证：直线经过一个定点．
答案
1．【正确答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
2．【正确答案】A
【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】把代入，
得，
解得，
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，当时，点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点C在圆内．
根据点与圆的位置关系，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴点C在外，
故选C
4．【正确答案】C
【详解】试题分析：由题意得，由圆周角定理可知，,综合分析选项C正确.
考点：圆周角定理的应用.
5．【正确答案】B
【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，由此列出方程即可得．
【详解】解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
则可列方程为，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“□”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案．
【详解】解：设“□”表示的数为，
方程有实数根，
，
解得：，
“□”的值可能为4，
故选A．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质知，据此求解即可．
【详解】解：由旋转的性质知，
∵，
∴．
故选C．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间．
【详解】解：，
当时，s取最大值，
即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒，
故选C．
9．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选C．
10．【正确答案】B
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式组等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式组，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可．
【详解】解：由题得，，
，
，
，
①当时，，
或，
解得或，
，
或，
或，
，
；
②当时，，
或，
解得，
，
，解得，
综上，或．
故选B．
11．【正确答案】
【分析】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
12．【正确答案】
【分析】如图（见详解），先根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】如图，在优弧上取一点E，连接BE、DE，
，
，
由圆内接四边形的性质得.

13．【正确答案】
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】∵抛物线y＝−x2＋1向右平移1个单位长度，
∴平移后解析式为：y＝−（x−1）2＋1，
∴再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为：y＝−（x−1）2＋3．
故答案为y＝−（x−1）2＋3.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了弧长公式．根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为，底面半径为，
．
15．【正确答案】/
【分析】主要考查了抛物线与轴的交点，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
过点A作的平行线交y轴于点D，利用平行线分线段成比例定理得，再结合“平行线+角平分线得等腰三角形”，最后对运用勾股建立方程即可．
【详解】解：如图，过点A作的平行线交y轴于点D，
由知，，，
，，
令，，
，
，
过点作，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
（舍或．
16．【正确答案】①②③
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
由抛物线开口方向、二次函数对称轴位置及，从而判断①②，由及可判断③，将方程有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线有两个交点的问题可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵过点，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
抛物线开口向下，，
时，，故②正确．
抛物线开口向下，
，
，，时，，
，③正确．
若有两个不相等的实数根，
则，有两个不相等的实数根，
抛物线开口向下，
抛物线顶点纵坐标大于1，
即，
，故④错误．
17．【正确答案】，
【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，根据公式法的定义先求得根的判别式的值，再利用公式求得x的值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
18．【正确答案】，
【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值，即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明， 灵活运用所学知识是解题的关键．
【详解】证明：∵与关于点G中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．【正确答案】见详解．
【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系，由垂径定理得到，而，得到，从而推出，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】证明：∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）或．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握判别式的计算和根与系数的应用．
（1）通过计算判别式并证明其恒非负来证明方程总有实数根；
（2）利用根与系数的关系结合已知条件构建方程求解k的值．
【详解】（1）解：对于一元二次方程，判别式．
在方程中，．
则
任何实数的平方都非负，即，
对于任意实数k，方程总有实数根；
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程，有，
又已知，将两式联立可得方程组，
将两式相加，得，解得，
把代入，得，解得，
再根据根与系数的关系，，即，
解得或．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是可知，结合三角形外角的性质及同弧所对的圆周角相等可得，由切线的判定定理可证结论；
（2）由可得，由等腰三角形两底角相等的性质及同弧所对的圆周角相等，等量代换可得，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接．

∵，
∴点O必在上，即：是直径，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，即：．
∵点D在上，
∴是的切线；
（2）证明∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
23．【正确答案】（1）8
（2）1或
（3）一元二次方程的根为和
【分析】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系以及抛物线的对称性，解题的关键是熟练运用倍根方程的定义和相关数学性质．
（1）利用倍根方程的定义设出两根，结合根与系数的关系求解；
（2）先求出方程的根，根据倍根方程的定义分情况讨论，再结合分式的性质求值；
（3）利用抛物线的对称性求出对称轴，再结合倍根方程的定义求解方程的根．
【详解】（1）解：设方程的两根为，且．
根据根与系数的关系，，即，解得，则．
又，
．
（2）解：解方程，
得．
因为方程是“倍根方程”分两种情况：
①当时，即，则，
此时；
②当时，即，
此时；
综上，的值为1或；
（3）解：不同的两点都在抛物线上，
抛物线的对称轴为直线．
设方程的两根为，且．
根据抛物线对称轴公式，即，
解得，则，
同理，设，解得，则，
综上，一元二次方程的根为和．
24．【正确答案】（1），理由见详解过程；（2）．（3）
【分析】（1）由直角三角形的性质即可求解；
（2）由三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求解；
（3）先证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可求解．
【详解】解：（1），
理由如下：
∵点是的中点，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
，
∴四边形的面积；
（3）如图，设与交于点，

∵将绕点逆时针旋转得到，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积．
25．【正确答案】（1），
（2）或
（3）见详解
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特点、二次函数与一次函数的交点、二次函数与一元二次方程的关系等知识，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活应用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据抛物线的顶点式即可解答；
（2）设点的坐标为，则点，根据构建关于的方程求解即可，注意取舍；
（3）作点关于轴的对称点，连接，如图，先证明三点共线，设点，则点，联立方程组利用根与系数的关系求出，再利用待定系数法求出直线的解析式是，进而可得结论．
【详解】（1）解：设这个抛物线的表达式为，
∵这个抛物线的顶点是，
∴这个抛物线的表达式，
∴，；
（2）解：当时，抛物线的表达式为，
∵P为y轴右侧抛物线C上一动点，
∴设点P的坐标为，则点，
∵，
∴，
∴（舍去）或或或（舍去），
∴或；
（3）解：作点A关于y轴对称的对应点M，
∵抛物线关于y轴对称，
∴点M在抛物线上，
连接，
∵，
∴M，P，B三点共线，
设，则点，
设直线的解析式为，
得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点B，点M是抛物线C与直线的交点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
把的值代入得，，
∴点B的坐标为．
∵，
∴同理可求直线的解析式为．
当时，，
∴直线恒过一个定点，定点坐标为．