2025-2026学年北京市第一五九中学九年级上册期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年北京市第一五九中学九年级上册期中数学试卷 [附答案]，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．若将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）．
A．B．C．D．
5．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
6．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（ ）．
A．2B．4C．6D．8
8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）

A． B．当时，
C．当时，D．当时，
二、填空题
9．若关于的方程的一个根为2，则的值为 ．
10．若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ．
11．如图，的半径为10，为弦，，垂足为，如果，那么的长是 ．
12．点，在抛物线上，则 .（填“＞”“＜”或“＝”）
13．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是 ．
14．如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BD，则∠CBD= ．
15．若x=a是一元二次方程的一个实数根，那么代数式= ．
16．小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．解方程
（1）
（2）．
18．已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象：
（3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________．
19．下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点P．
求作：直线和直线，使得切于点A，切于点B．

作法：如图，
① 连接，作线段的垂直平分线，交于点Q ；
② 以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点B；
③ 作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵是的直径，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴．
∵为的半径，
∴是的切线（ ）（填推理的依据）．
20．如图，点O、坐标分别为、，将绕O点按逆时针方向旋转到．
（1）画出平面直角坐标系和；
（2）直接写出点的坐标___________；
（3）旋转到所围成的图形面积为___________．
21．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
22．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
23．已知关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程的两个实数根均为正数，求的最小整数值．
24．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点A处）到落地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
九年级一名男生进行了两次训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则 （填“>”“=”或“
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
（1）由表可知，当时和当时函数值相等，则该二次函数对称轴为直线，即当时，y取最大值5，得出，把代入求出a的值，即可得出函数表达式；
（2）分别求出两次训练令y为0时，x的值，再比较大小即可．
【详解】（1）解：由表可知，
当时，，
当时，，
∴该二次函数对称轴为直线，
即当时，y取最大值5，
∴实心球竖直高度的最大值为，
把顶点代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：第一次训练时，令，
则，
解得：（舍去），
第二次训练时，令，
则，
解得：（舍去），
∵，
∴.
25．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键．
（1）由圆周角的性质可得，由等腰三角形的性质可证，可求，即可求解；
（2）通过证明，可得，可求的长，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
是直径，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
是直径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，，
，
，
，
，
．
26．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可；
（2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出．由对于，都有，又可得出，两边平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可．
【详解】（1）解：．
理由：当时，抛物线解析式为，点，
将代入，
得：，，
∴；
（2）解：∵该函数解析式为，
∴其图象开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
∵，
∴点B在点A右侧．
∵对于，都有，
∴，
∴当时，，即，
解得：．
∵对于，都有，
∴，
两边平方，得：，
整理，得：，
∴．
综上可知．
27．【正确答案】（1）见详解
（2），见详解
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由旋转可得可得，然后“”可证，可得结论；
（2）在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，由“”证明，，可得，，，由平行线的性质及等量代换可得，，即可得结论．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
证明：如图，在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28．【正确答案】（1），3
（2）b的取值范围是或；
（3）
【分析】（1）设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，利用垂径定理得到，由勾股定理可得当最大时，最小，即此时最小，求出，再由，得到当点H与点M重合时，有最大值，即可求出的最小值为，则被圆O截得的弦长取值范围为，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；
（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，分当时和当时，两种情况讨论即可求解；
（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于圆O的特征值不可能为0，由此可得，则或；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，同理点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意，由此求解即可．
【详解】（1）解：设经过点M的直线与交于E、F两点，过点O作于H，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵点M的坐标为，
∴，
又∵，
∴当点H与点M重合时，有最大值，
∴此时有最小值，
∴的最小值为
∵过点M的直线被圆O截得的弦长的最大值为4（直径），
∴被圆O截得的弦长取值范围为，
∴被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4，
∵被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，
∴点M关于圆O的特征值为3.

（2）解：设点G是圆O的特征值为4的点，
由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，
∵特征值要保证为4，
∴经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，
∴经过点G的直线被圆O截得的弦长的最小值为2，
∵，
∴由（1）可知，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，为半径的圆周上，

∵直线分别与x，y轴交于点A，B，
∴，，
∴，
∴
当时，
∵线段上总存在关于圆O的特征值为4的点，
∴线段与以O为圆心，为半径的圆有交点，
当线段与以O为圆心，为半径的圆相切时，将切点设为H，连接OH，则，
∴，
∴，
将以O为圆心，为半径的圆与y轴正半轴的交点记为，则，
当线段与以O为圆心，为半径的圆相交，且过点时，可得，
∴；
同理可求当时，；
综上，b的取值范围是或；
（3）：∵同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，
∴点Q关于圆O的特征值不可能为0，
∴，
∵，且r、s都是整数，
∴或；
当时，
∴经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，
∴由（2）可知点S一定在以O为圆心，以为半径的圆上，
同理当时，点R一定在以T为圆心，以为半径的圆上，
∴当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意；
如图3-1所示，
当以O为圆心，为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆外切时，此时；

如图3-2所示，当以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，为半径的圆外切时，此时；
综上所述，当时，存在点R，S，使得．
水平距离
0
3
5
6
7
9
竖直高度
2
5
X
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…