2025-2026学年重庆市第二十九中学校上册八年级期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年重庆市第二十九中学校上册八年级期中数学试卷 [附答案]，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ）
A．4，6，11B．6，8，15C．1，2，3D．3，5，6
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点D．三边上高的交点
5．若关于x的多项式与的乘积中不含x的二次项，则n的值是（ ）
A．2B．3C．D．
6．如图，，的延长线交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（ ）
A．2B．4C．3D．5
8．如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（ ）
A．11B．13C．12D．10
9．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
10．已知关于x的多项式A和B如下：，，则下列三个说法中正确的有（ ）
①；②若无论x取何值，的值恒大于0，则；③若多项式，其中C为整式，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ．
13．已知点与点关于x轴对称，则 ．
14．如图，在中，若，则 ．
15．若，则 ．
16．如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交于边上的点G，与交于点H，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法是 ．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在中，，，．
（1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：，请将以下推导过程补充完整．
证明：∵平分，
∴，
在和中，
（② ）

又∵，
∵

∴（⑤ ）
19．如图，在一次户外工程测量中，需要确定被椭圆形障碍物隔开的线段的长度．点B、F、C、E在直线l上（F、C之间被椭圆形障碍物阻挡，无法直接测量），点A、D在l异侧，测得，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
20．如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：．
21．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
（2）当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明．
22．如图，在中，，，D为上一点，连接，且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、．

（1）求的度数；
（2）求证：．
23．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下：
因此．阅读完上述材料后，解决下列问题：
（1）计算，商式是______，余式是______；
（2）试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）；
（3）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值．
24．在中，，．
（1）如图1若平分，交于F，过B作，垂足为E，探究、的数量关系；
（2）如图2，当点D为线段上一点（不与B，C重合），，，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
25．如图，在中，，点为的中点．
（1）如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点．
①猜想的度数，并证明你的猜想；
②连接（自己连），求证：．
（2）如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意，
故选A．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需验证最小两边之和是否大于最大边即可判断．
【详解】解：∵选项A：最小两边4和6之和为10，小于最大边11，
∴不能组成三角形；
∵选项B：最小两边6和8之和为14，小于最大边15，
∴不能组成三角形；
∵选项C：最小两边1和2之和为3，等于最大边3，
∴不能组成三角形；
∵选项D：最小两边3和5之和为8，大于最大边6，
∴能组成三角形．
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方、同底数幂相乘和积的乘方，根据幂的乘方、同底数幂相乘和积的乘方法则计算即可判断结论．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，游戏的公平性，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．
为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，根据线段的垂直平分线的判定可得，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：为使游戏公平，则凳子应该放在到的三个顶点的距离相等的位置，
根据线段的垂直平分线的判定可得，最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点，
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．要求乘积中不含x的二次项，即展开后项的系数为零，据此求出结论．
【详解】解：∵
，
∵乘积中不含x的二次项，
∴，
∴ ，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，根据全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选A．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟知这些知识是解题的关键．先根据折叠和，证得是等边三角形，再得到是含角的直角三角形，最后根据线段的关系即可求得的长．
【详解】解：由折叠性质得：，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，，
∴是直角三角形，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选C．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．在上截取，连接交于点E，得出的最小值，证明是等边三角形，求出结论即可．
【详解】解：在上截取，连接交于点E，
∵是等边三角形，D为中点，
∴点P和关于对称，，
∴，
∴的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的最小值为13，
故选B．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解．
【详解】解：延长到点，使，连接，则，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选C．
10．【正确答案】C
【分析】本题考查整式的运算与性质，掌握知识点是解题的关键．
对于说法①，通过展开多项式A并比较系数求出a、b、c、d的值，代入计算即可判断；对于说法②，计算并配方，根据恒正条件得出p的范围，与说法对比；对于说法③，由B可被整除，求出p值，再根据B的另一种表达式求出e、f、m、n，代入计算验证即可．
【详解】解：∵
，
∴，
解得，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵恒成立， ，
∴，即，但不一定成立，故②错误；
∵，且，
设，则，
∴，
解得，
又，
令，则，
∴，
∴，故③正确．
∴ 正确的有①和③，共2个．
故选C．
11．【正确答案】
【分析】本题考查了零指数幂和乘方的运算，根据零指数幂和乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解.
12．【正确答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键．
根据“”判定方法求解即可．
【详解】解：应添加的条件是，理由是：
∵，，
∴，
∵，，
∴，即应添加的条件是.
13．【正确答案】
【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，整式的计算，熟练掌握坐标系中点的特征与整体代入是解题的关键，根据关于x轴对称的点坐标特征得到，再利用整体代入即可求出的值．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，即，
∴
14．【正确答案】
【分析】题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
15．【正确答案】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，代数式求值以及乘方等运算，解题的关键是掌握幂的乘方的逆运算，正确求得的值．
由可得，，解得，将代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得，
将代入可得，
原式.
16．【正确答案】②③④
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
根据等边三角形的性质可推导，可判断①错误；证明，得到，再由角平分线的性质可判断②正确；证明得到，然后推导可得，，则，进而可判断③④正确；由题意得，，则，得到，可判断⑤错误，进而可得答案．
【详解】解：①∵是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
故①错误；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过点G作于T，于J，于K，
∵平分，平分，
∴，
∴平分，
∴，
故②正确；
③如图1，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③④正确；
⑤∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故⑤错误，
②③④．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了整式的四则运算，掌握相关知识点并正确运算是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，即可求解．
（2）先利用积的乘方将化简，再按整式乘除法运算规则从左往右计算，即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质；
（1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可；
（2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可.
【详解】（1）解：如图，作图如下：
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
（②）
又∵，
，
，
∵，
，
，
，
∴（⑤同位角相等，两直线平行）
19．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是根据题意，正确得到．
（1）由可得，再根据，可得，即可求证；
（2）由（1）可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∴，
∴．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答．
（2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答．
【详解】（1）证明： 是等腰三角形的底边上的高，
，
，
根据平行线的性质得，，
，
是等腰三角形；
（2）解：是等腰三角形的底边上的高，
∴，
，
，
，
，
，
由（1）得是等腰三角形；
∴，
．
21．【正确答案】（1）的度数是
（2），见详解
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导．
（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵交的延长线于点E，
∴，
∵，
∴，
∴的度数是．
（2）解：
证明：∵，平分，
∴，
∴，
∵交的延长线于点E，
∴，
∴，
即．
22．【正确答案】（1）
（2）见详解
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，然后根据三角形的外角性质求解即可；
（2）过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J，先证明得到，再根据含30度角的直角三角形的性质推导出，即，进而利用线段垂直平分线的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23．【正确答案】（1），1
（2）能被整除，理由见详解
（3）
【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键．
（1）仿照题干求解方法求解即可；
（2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论；
（3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可．
【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1；
（2）解：能被整除，理由如下：
（3）解：，
若多项式能被整除，如图，
所以，，
解得，，
∴．
24．【正确答案】（1）
（2），理由见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，添加辅助线是解答的关键．
（1）延长，交于点H，先证明得到，则，再证明可得结论；
（2）过点D作交延长线于点H，交于点G，根据平行线的性质得到，，进而可得平分，由（1）可知．
【详解】（1）解：．
理由如下：如图，延长，交于点H，
∵平分交于F，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，，
∴，
∴，
（2）解：，理由如下：
如图，过点D作交延长线于点H，交于点G，
则，，
∵，
∴平分，又，
故由（1）可知．
25．【正确答案】（1）①猜想，见详解；
②见详解
（2）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
（1）①在上截取，连接，可证，利用全等三角形的性质可得是等腰直角三角形，所以可知；
②根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据可证是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据等腰三角形的性质可证结论成立；
（2）作，使，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知，所以当点，，共线时，取得最小值，可证此时是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，根据全等三角形对应角相等可以求出的度数．
【详解】（1）①解：猜想，
证明：如下图所示，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②证明：连接、，
，，
，
，，
，
，
，
点为的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，作，使，连接，，
，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当点，，共线时，如图②，取得最小值，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．