2025-2026学年重庆市南川区第一中学校八年级上册期中考试数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年重庆市南川区第一中学校八年级上册期中考试数学试卷 [附答案]，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下面汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．下面能组成三角形的三边长是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．如图，在中，平分，，若，，则等于（ ）

A．6B．7C．8D．9
5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是： （ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
6．如图所示，将含角角的直角三角板与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（ ）
A．12B．16C．24D．18
8．下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（ ）
A．69B．73C．77D．83
9．如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是 ．
12．点关于轴对称的点坐标为 ．
13．已知，，则 ．
14．如图，在中，，，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若，则的周长为 ．
15．若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ．
16．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字不相等，百位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“不同数”．将一个“不同数”的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“不同数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：135、235、215、213，这四个三位数之和为，，所以．计算： ，若“不同数”的百位数字比千位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被13整除，则的值为 ．
三、解答题
17．计算
（1）；
（2）．
18．利用三角形全等和轴对称图形的性质，我们可以证明线段或角的等量关系．请完成以下尺规作图，并根据证明思路完成填空．
如图，在中，．
（1）用直尺和圆规，作的角平分线交于点D，在线段上截取，使，连接；（只保留作图痕迹，并标上字母，不写作法，不下结论）
（2）已知：平分，．求证：．
证明：平分，
∴①________．
在和中，
∴．
∴，．
∵③________，
又∵，
∴．
∴④________．
∴．
19．先化简，再求值：
，其中实数x，y满足．
20．电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，票房不断刷新影史纪录．《哪吒之魔童闹海》角色盲盒深受同学们喜爱．某商家计划推出一系列盲盒，含哪吒，敖丙，李靖，殷夫人，太乙真人五种角色．为了解学生喜好，商家随机抽取了某校部分观影学生进行问卷调查（要求每人必选且只选一个最喜爱的角色），并对数据进行了整理、描述和分析，如图：
数据整理：
（1）此次调查的学生人数为________人，扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为________；
（2）请补全条形统计图；
（3）合理预测：若该校共有1200名学生观影，请通过计算估计全校最爱“敖丙”角色的学生人数．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，其中点、、．
（1）求的面积；
（2）画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标；
（3）在轴上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标：________
22．如图，与中，，是直角，边，在一条直线上，且，．
求证：
（1）；
（2）．
23．为了帮助乡村推销特色产品，某商场第一次购进了50千克枇杷和60千克樱桃共用去1500元，已知每千克枇杷的进价比每千克樱桃进价少3元．
（1）求每千克枇杷和每千克樱桃的进价各是多少元？
（2）该商场计划在枇杷和樱桃进价不变的条件下，第二次再购进枇杷和樱桃共200千克，且第二次购进的枇杷和樱桃的总费用不超过2640元，求第二次樱桃最多可以购进多少千克？
24．上午8时．一条渔船从港口A出发以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得（如图所示）．
（1）求海岛B到海岛C的距离；
（2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
25．在中，点D是边上一点，连接．
（1）如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积；
（2）如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：；
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查轴对称图形的定义，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，故选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选A．
2．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，掌握同底数幂相乘、底数不变、指数相加成为解题的关键．
直接运用同底数幂相乘的运算法则求解即可．
【详解】解：．
故选A．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．实际上，三条线段中两条较短的线段之和大于最长边的长度，这三条边即可组成三角形．
【详解】解：A选项：，这三条边不能组成三角形，故A选项不符合题意；
B选项：，这三条边能组成三角形，故B选项符合题意；
C选项：，这三条边不能组成三角形，故C选项不符合题意；
D选项：，这三条边不能组成三角形，故D选项不符合题意 ．
故选B．
4．【正确答案】B
【分析】根据平分，得到，结合得到，得到继而得到，结合计算，选择即可．
本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
5．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键．
由尺规作图可知：、，然后根据全等三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由尺规作图可知：、，
∴．
故选C．
6．【正确答案】C
【分析】本题考查了三角板中角度的求解，三角形外角性质，先根据三角形外角性质求出的度数，再利用平角定义求解即可．
【详解】解：如图，
，，
，
，
故选C．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出．
【详解】解：延长交于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
8．【正确答案】B
【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．
【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），
第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，
第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，
第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，
第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，
……
第⑨个图形中三角形的个数为5+2×8+3+4+5+6+7+8+9+10=73
第n个图形中三角形的个数为5+2×(n-1)+3+4……+(n+1)（n>1）
故选B．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据较平县的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，由对顶角的定义即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
10．【正确答案】C
【分析】由题意易得OB=OC，则有∠OBD=∠OCD，∠APO=∠OCP，进而根据角的关系可证①，然后可得∠PBO=∠PBA+∠APO，由三角形内角和可得∠OPB=60°，可判断②，在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，由此可得AP=PE=AE，∠APE=60°，进而可证△BPE≌△OPA，然后根据全等三角形的性质可判断③，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断④．
【详解】解：∵，，，
∴BD=DC，∠ACB=∠ABC=30°，
∴OB=OC，
∴∠OBD=∠OCD，
∵OB=OP，
∴OC=OP，
∴∠APO=∠OCP，
∵∠OCP-∠OCB=∠ACB=30°，
∴，故①正确；
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠PBO，
∵∠PBO=∠PBA+∠ABD+∠OBC=∠PBA+30°+∠APO-30°，
∴∠PBO=∠PBA+∠APO，
∵在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即∠OPB+∠APO+∠PBA+∠ABC+∠ACB=180°，
∴2∠OPB+60°=180°，
∴∠OPB=60°，
∴△BPO是正三角形，故②正确；
在AB上找一点E，使AE=AP，连接PE，如图所示：
∵∠PAE=60°，
∴△PAE是等边三角形，
∴AP=PE=AE，∠APE=60°，
∵∠BPE=∠APB-∠APE，∠OPA=∠APB-∠BPO，
∴∠BPE=∠OPA，
∵OP=BP，
∴△BPE≌△OPA（SAS），
∴BE=AO，
∵AB-BE=AE，
∴AB-OA=AP，
∴，故③正确；
延长AO，在AO的延长线上找一点F，使AF=AB，连接BF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=60°，
∵∠ABO+∠OBF=60°，∠ABO+∠PBA=60°，
∴∠PBA=∠OBF，
∵PB=OB，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴，
如要证，需证，由题意无法证明，故④错误；
所以正确的个数有3个；
故选C．
11．【正确答案】
【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，两个底角相等，再结合三角形内角和定理求解．
【详解】解：等腰三角形的顶角为，则两个底角的和为，由于两个底角相等，因此每个底角为．
12．【正确答案】
【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标．关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此进行解答即可．
【详解】解：点关于轴对称的点坐标为.
13．【正确答案】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，代数式求值．熟练掌握幂的乘方的逆运算，代数式求值是解题的关键．
根据，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，.
14．【正确答案】6
【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质．先求出，根据线段垂直平分线的性质得，，，则，进而得，，则是等边三角形，由此可得的周长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为6．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵数使关于的不等式组的解集为，
∴.
16．【正确答案】484；4648
【分析】本题考查整式加减的应用、二元一次方程、不等式、整除问题，考查方式比较新颖，理解“不同数”的具体特征是解决问题的关键．根据“不同数”的定义直接求出的值；设“不同数”，且，，计算得到a、c的范围，再得到，结合能被13整除，整理得能被13整除，再结合a、c的范围分类讨论即可得出答案．
【详解】解：1933去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：933、133、193、193，
这四个三位数之和为，，
所以；
设“不同数”，且，，
由题意得，，
解得：，
去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：、、、，
则，
，
，
，
，
所以，
，且能被13整除，
能被13整除，
又，，
，
或，
或，
当时，（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）；
当时，或（舍去），
此时，不满足，不符合题意，舍去；
当时，（舍去）或，
此时，，则，符合题意．
综上所述，，．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算乘方、零指数幂、绝对值，再计算加减即可；
（2）先计算同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）①；②；③；④
【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧交于，然后作的角平分线交于点D，连接即可；
（2）按照步骤作答即可．
【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所求；
（2）证明：平分，
∴．
在和中，
∴．
∴，．
∵，
又∵，
∴．
∴．
∴．
19．【正确答案】，
【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，根据整式的混合运算法则，进行化简，根据非负性求出的值，代入化简后的式子中计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【正确答案】（1）200，
（2）见详解
（3）336人
【分析】本题主要考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，
（1）根据喜爱哪吒的有72人，占36%，可求出此次调查的学生人数；根据喜爱“太乙真人”有30人除以此次调查的学生数乘以360度可求得扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角度数；
（2）用此次调查的学生总人数减去其他人数可得喜爱“殷夫人”的人数；
（3）根据此次调查的学生中最爱“敖丙”的有56人除以此次调查的学生人数乘以1200即可．
【详解】（1）解：此次调查的学生人数为：（人），
扇形统计图中喜爱“太乙真人”的圆心角数为.
（2）解：喜欢殷夫人的人数为：，
（3）解：（人），
答：估计全校最爱“敖丙”的人数大约为336人．
21．【正确答案】（1）
（2），，，见详解
（3）
【分析】本题考查了坐标与图形变化中旋转和轴对称，三角形的面积此题采用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，在直角坐标系中得到各点旋转或对称点的坐标，连接这些点，可得到所求作图形，此题中掌握图形旋转和轴对称变换的特点是解决问题的关键．
（1）的面积为所在长方形的面积减去其余三个三角形的面积．
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，关于轴的对称得到，连接三个点，画出图形即可得到；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可知，根据两点之间直线最短，得到最小值为，根据坐标系得到的坐标，完成求解．
【详解】（1）解：
答：的面积为．
（2）解：如图，即为所求．

点，，的坐标为，，．
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求；
根据对称，可知，根据两点之间直线最短，得到最小值为，
由坐标系可知点的坐标为．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定和性质
（1）证明，根据即可证明；
（2）根据得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，是直角，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴．
（2）∵
∴，
∴
23．【正确答案】（1）每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元
（2）樱桃最多可以购进千克
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元，结合已知可列出方程，解方程即可．
（2）设第二次购进樱桃千克，则购进枇杷千克，结合已知列出关于a的一元一次不等式，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：设每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每千克枇杷进价是元，每千克樱桃的进价是元．
（2）设第二次购进樱桃千克，则购进枇杷千克，
，
∴．
答：樱桃最多可以购进千克．
24．【正确答案】（1）海岛B到海岛C的距离为30海里
（2）救援队先到
【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定：
（1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可；
（2）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得：海里；
∵，
∴，
∴
∴海里；
答：海岛B到海岛C的距离为30海里；
（2）由题意：海里，
由（1）知：海里，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴海里，
∴救援队所用时间为小时，救援队所用时间为小时，
∴救援队先到．
25．【正确答案】（1）
（2）详见详解
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键．
（1）过作交于，过作交于，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可．
（2）过点作，交于点，先推导得到，证明，得到，然后证明，得到，最后通过等量替换完成证明．
【详解】（1）解：过作交于，过作交于，如图所示，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的面积为．
（2）证明：过点作，交于点，如图所示：
∴，，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴．