2025-2026学年山东省济宁市泗水县九年级上册期中数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年山东省济宁市泗水县九年级上册期中数学试卷 [附答案]，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．“致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6、2、9B．2、、C．2、、9D．、6、9
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．如图，已知四边形内接于，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
6．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（）
A．B．C．D．
8．将抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的表达式为，则，的值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
9．数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
11．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一根，则另一根为 ．
13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则 ．
14．如图，，切于、两点，切于点E，交，于C，D，若，则的周长为 ．
15．如图，在正方形中，，点E为正方形内一点，且，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
16．解方程：
（1）；
（2）．
17．如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为．

（1）图中点B点的坐标是__________；点B关于原点对称的点C的坐标是__________；点B关于y轴对称的点D的坐标是__________；
（2）在图中画出绕着点O逆时针旋转后的；
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．
19．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形．
（1）求该地基的周长；
（2）求该地基的面积（结果保留根号形式）；
（3）若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式．
20．如图，在中，，点O是边上一点，经过点A交于点D，交于点F，过点D作的切线，交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物琮琮、莲莲、宸宸家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店销售一批吉祥物毛绒玩具，平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：每件毛绒玩具每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答：
（1）设每件毛绒玩具降价元，则商场此商品可多售出________件；此毛绒玩具每件盈利________元；此毛绒玩具每天可销售________件；
（2）每件毛绒玩具降价多少元时；商场日盈利可达到2100元？
（3）每件毛绒玩具降价多少元时，商场日盈利最大？
22．（1）【探究发现】如图①，在等边三角形内部，有一点，若．
求证：．
下面是本题的部分解答过程，请补充完整．
证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，则为等边三角形．完成接下来的证明．
（2）【类比延伸】如图③，在等腰三角形中，，内部有一点，若，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点对称轴为直线，点的坐标为．
（1）该抛物线的表达式为；
（2）点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标；
（3）点为直线下方抛物线上一动点，当点的坐标为多少时，的面积最大？
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
故选D．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，根据一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项的概念求解即可．
【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、、，
故选B．
3．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：解抛物线转化为顶点式为：，
∴抛物线的顶点坐标是，
故选A．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出是解答的关键．
由旋转性质得，再根据全等三角形的性质得到，进而求得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
在中，，
由勾股定理得：．
故选B．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，由题意知三点共线，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得，
即截面圆中弦的长为，
故选D．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查抛物线的性质（顶点式与增减性），涉及知识点：抛物线的顶点式、对称轴、增减性．解题方法是先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向判断函数值大小；解题关键是利用“开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大”的规律，易错点是距离计算错误．
【详解】∵抛物线解析式为，
当时，；
当时，；
当时，；
∴，，，
故．
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是：
，
∴，，
故选．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点A到x轴的距离是，
∴令，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴点到轴的距离为，
∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称，
∴，
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，中心对称和点的坐标的变换规律，掌握好二次函数顶点坐标和与x轴交点坐标的求法是解题关键．
先根据的解析式求出点的坐标，从而得到线段的长．由中心对称的性质可得，，求得点和点的坐标．抛物线在中心对称的过程中，其形状不变，开口方向发生变化，即二次项系数a的绝对值不变．根据观察，抛物线的开口向下，所以抛物线的二次项系数．结合点和点的坐标可以写出抛物线的交点式，求出其顶点坐标即可．
【详解】解：当时，，解得，，
∴点的坐标为，
∵抛物线由抛物线绕旋转得到，抛物线由抛物线绕旋转得到，，
∴抛物线的二次项系数与抛物线相同，即，
由中心对称的性质可知，，
∴，，
∴抛物线的解析式为，
其对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
故选A．
11．【正确答案】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，涉及知识点：一元二次方程需满足“未知数最高次数为、二次项系数不为”．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为且二次项系数不为零，由此确定的值．
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴未知数的最高次数为，即，
解得或．
又∵二次项系数，
当时，，符合条件；
当时，，不符合条件．
．
故答案为．
12．【正确答案】-3
【详解】试题分析：设方程的另外一根为m，
则有：1＋m＝－2，
解得：m＝－3．
故答案为－3．
点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和为是解题的关键．
13．【正确答案】
【分析】本题考查旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转得到，从而得到，根据得到，结合及三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
14．【正确答案】20
【分析】根据切线长定理可得，，，据此即可作答．
【详解】解：∵、切于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长
．
15．【正确答案】
【分析】本题考查斜边上的中线，勾股定理，正方形的性质，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，求出最小值即可．
【详解】解：取的中点，连接，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小为.
16．【正确答案】（1），；
（2），
【分析】本题考查一元二次方程的解法，涉及知识点：因式分解法、配方法（或公式法）解一元二次方程．（1）用因式分解法（十字相乘法）将方程化为两个一次式的积；（2）通过移项、提公因式转化为因式分解形式求解；解题关键是熟练掌握因式分解的技巧，易错点是移项时符号错误或漏解．
【详解】（1）；
解：，
或，
解得，；
（2）
原方程移项得：
，
，
或，
解得：，.
17．【正确答案】（1），，
（2）见详解
【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与旋转，熟练掌握轴对称的性质和旋转的性质是解题的关键．
（1）先根据的位置可得点的坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特点，关于轴对称的点的坐标特点可得，的坐标；
（2）先确定，，旋转后的对应点，，，即可得；
【详解】（1）解：由的位置可得：，
点关于原点对称的点的坐标是，
点关于轴对称的点的坐标是.
（2）如图，即为所求；

18．【正确答案】（1）见详解
（2）或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系及解一元二次方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
故不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：方程有两个实数根为，，
，，
，
，
，
故的值为或.
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键．
（1）连接、，证明是等边三角形，得出即可求出结论；
（2）过作于，求出，，再求出，即可求出结论；
（3）求出，，再求出，即可求出结论．
【详解】（1）解：连接、；
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长；
（2）解：过作于，
是等边三角形，，
，
于，
，
在中，由勾股定理，
，
；
（3）解：是等边三角形，，
，
于，
，
在中，由勾股定理，
，
．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和含30度角的直角三角形三边的关系．
（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和，则根据同角的补角相等得到，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论；
（2）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，，接着证明为等边三角形得到，然后计算即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1），，；
（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元
（3）每件商品降价17.5元，商场日盈利最大
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列方程求解是解题的关键．
（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利减去降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可；
（3）设每件商品降价元，商场日盈利元，得，当时，有最大值．
【详解】（1）解：设每件商品降价元，则商场此商品可多售出件，
此商品每件盈利元，
此商品每天可销售件.
（2）解：设每件商品降价元，由题意得：
，
化简得：，
解得：，，
该商场为了尽快减少库存，则不合题意，舍去..
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元.
（3）解：设每件商品降价元，商场日盈利元，由题意得：
，
，时，有最大值．
答：每件商品降价17.5元，商场日盈利最大.
22．【正确答案】（1）见详解；（2），见详解；
【分析】（1）将旋转，利用等边三角形和直角三角形的性质证勾股定理；
（2）类比旋转法，结合等腰直角三角形的性质推导线段关系．
【详解】（1）证明：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，如图：
由旋转性质可得，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）
证明如下：
如图③，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，
由旋转性质可得：，，，
为等腰三角形，
，，
，
，
，
，
.
23．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由对称轴得点坐标，用交点式写解析式；
（2）构造全等三角形找直线，联立抛物线求；
（3）设点坐标，用铅垂高表示面积，求二次函数最值．
【详解】（1）对称轴为直线，点的坐标为，
，
，
．
（2）方法一：作于，交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
直线的关系式为：，
，
（舍），，
．
方法二：过点作垂直于轴，如图所示，
，
为等腰直角三角形，
，
（ASA），
，
．
直线的解析式为，
，
（舍），，
．
（3）如图所示，
作，交于点，
设的解析式为：，
，，
，解得，
．
设点，
，
，
当时，，
．