贵州省毕节市2026届高三上学期第一次适应性考试数学试卷含解析（word版）

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1. 已知集合 A={0,1,2,4},B=x∣2x=2x ，则 A∩B= ()
A. {1} B. {0,1} C. {1,2} D. {2,4}
【答案】C
【解析】
【分析】由 A∩B⊆A ,可将集合 A 中的元素逐个代入方程 2x=2x ,验证是否成立,再结合交集的定义即可得解.
【详解】易知 A∩B⊆A ,故只需验证元素0,1,2,4是否在集合 B 中即可.
若 x=0 ,则 20=1≠2×0 ,等式 2x=2x 不成立,因此 0∉B ;
若 x=1 ,有 21=2=2×1 ,等式 2x=2x 成立,因此 1∈B ;
若 x=2 ,有 22=4=2×2 ,等式 2x=2x 成立,因此 2∈B ;
若 x=4 ,则 24=16≠2×4 ,等式 2x=2x 不成立,因此 4∉B .
综上,元素 1,2∈B ,元素 0,4∉B ,
因此 A∩B={1,2} .
故选: C.
2. 若复数 z 满足 z−1z+1=1−i ,则 z= ( )
A. −1−2i B. −1+2i C. 1−2i D. 1+2i
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的四则运算即可求解.
【详解】由 z−1z+1=1−i ,可得 z−1=z+11−i=z+1−zi−i ,
整理得: z=2−ii=2−iii2=2i+1−1=−1−2i .
故选: A.
3. 已知向量 a,b 满足 a=1,2a−b=4 ，且 a+2b⊥a ，则 b= ()
A. 5 B. 10 C. 5 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解.
【详解】因为 a+2b⊥a ,所以 a+2b⋅a=0 ,
展开得 a⋅a+2a⋅b=0 ,又 a=1 ,所以 a⋅b=−12 .
因为 2a−b=4 ,则 2a−b2=16 ,所以 4a2−4a⋅b+b2=16 ,
解得 b=10 (负值舍去).
故选: B
4. 在 2x−127 的展开式中， x4 的系数为( )
A. 35 B. -35 C. 70 D. -70
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求对应项系数即可.
【详解】由题可得 Tr+1=C7r2x7−r−12r=C7r27−r⋅−12r⋅x7−r ,
令 7−r=4 ,解得 r=3 ,即 x4 的系数为 C73⋅24⋅−123=−70 .
故选: D
5. 在一次数学适应性考试中,高三年级某班的数学成绩 X 服从正态分布 N95,σ2 ,且 P80c>a
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出函数 fx 的单调性,结合观察发现 f12=0 可得 a 值,且易知 b,c 均大于 12 , 故再通过换底公式与基本不等式,比较出 b,c 的大小,即可得解.
【详解】 y=lg4x 与 y=x 均在 0,+∞ 上单调递增,故 fx=lg4x+x 在 0,+∞ 上单调递增,
所以函数 fx 至多有一个零点,又由题干可知函数 fx 存在零点 a ,
因此 a 为函数 fx=lg4x+x 的唯一零点,
又注意到 f12=lg412+12=−12+12=0 ,故 a=12 .
易知 b=lg74>lg77=12,c=lg127>lg1212=12 ,因此须比较 b,c 的大小.
bc=lg74lg127=ln4ln7ln7ln12=ln4⋅ln12ln72,
由基本不等式可知, ln4⋅ln12ln48 ,即 2ln7>ln48>0 ,所以 ln7>ln482>0 ,
则 ln72>ln4822>ln4⋅ln12 ,因此 bc=ln4⋅ln12ln72a=12 ,
故选: C.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 fx=3sin2x−π6 ,则( )
A. fx 的图象可由函数 y=3sin2x 的图象向右平移 π6 个单位得到
B. 直线 x=−π6 是曲线 y=fx 的一条对称轴
C. fx 在区间 −π6,π6 上单调递增
D. fx 的图象关于点 π3,0 对称
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦型函数平移法则判断 A ,根据正弦型函数的对称性,单调性等性质判断 BCD 即可.
【详解】对于选项 A ,将 y=3sin2x 向右平移 π6 个单位,根据左加右减原则,
得到 y=3sin2x−π6=3sin2x−π3≠fx ,故 A 错误.
对于选项 B ,可将 x=−π6 代入到解析式中,
可得 f−π6=3sin2×−π6−π6=3sin−π2=−3 ,为 fx 的最小值,故 B 正确.
对于选项 C ,令 −π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπk∈Z ,
得 −π6+kπ≤x≤π3+kπk∈Z,−π6,π6 包含在 k=0 时的单调递增区间内,故 CC 正确.
对于选项 D,检验 π3,0 是否为对称中心,代入得 fπ3=3sin2×π3−π6=3sinπ2=3≠0 ,
因此该点不是对称中心，故 D 错误.
故选: BC.
10. 抛物线 C:y2=2pxp>0 的准线为 l ,焦点为 F,l 与圆 M:x2+y−22=1 相切, A 为 C 上一动点,过 A 作 l 的垂线,垂足为 N ,则( )
A. p=2
B. AM+AN 的最小值为 5
C. 当 MN⊥MA 时，点 A 的纵坐标为 4
D. AF 的延长线与 C 交于点 B ，则 AB 的最小值为 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用抛物线与圆的位置关系整理出 p 的值判断 A ; 结合抛物线的定义判断 B 的最小值即可; 先设 A 点的坐标，将两直线垂直条件转化为向量数量积问题求解判断 C ；设出直线 AB 的方程，与抛物线联立整理,再利用抛物线的焦点弦长公式求解判断 D .
【详解】由题可得抛物线的准线 l:x=−p2 ,焦点 Fp2,0 ,
圆的圆心 M0,2 ,半径 r=1 .
对于选项 A ,由抛物线的准线与圆相切,则圆心到准线的距离等于半径,
所以 0−−p2=1,p2=1 ,得到 p=2 ,故 A 正确.
对于选项 B ,由抛物线的定义 AN=AF ,
所以 AM+AN=AM+AF ,求最小值即为两点之间线段最短,则转化为求 M0,2 与 F1,0 的距离,即 FM=1−02+0−22=5 为所求最小值,故 B 正确.
对于选项 C ,设 Ay024,y0,N−1,y0 ,
可得 MN=−1,y0−2,MA=y0​24,y0−2 .
由 MN⊥MA ,得 MN⋅MA=0,−y0​24+y0−22=0 ,
展开化简得 3y0​2−16y0+16=0 ,解得 y0=4 或 y0=43 ,故 C 错误.
对于选项 D ,设直线 AB 的方程为 x=my+1 ,
联立 x=my+1y2=4x ,得 y2−4my−4=0 ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
由根与系数的关系得 y1+y2=4m,y1y2=−4 ,
抛物线的焦点弦长公式 AB=x1+x2+p ，
由 x1=my1+1,x2=my2+1 得 x1+x2=my1+y2+2=4m2+2 ,
因此 AB=x1+x2+p=4m2+4 ,当 m=0 时, AB 取得最小值为 4 .
故选: ABD.
11. 设计一条美丽的丝带,其造型 α 可以看作图中的曲线 C 的一部分. 已知 C 过坐标原点 O ,且 C 上的点满足: 横坐标小于 4,到点 F−4,0 的距离与到定直线 x=tt>0 的距离之积为 16,则下列选项中正确的有( )

A. t=4
B. 点 −43,0 在 C 上
C. C 在第三象限的点的纵坐标的最小值为 -2
D. 当点 x0,y0 在 C 上时, y0≤164−x0
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A ,因为原点也在曲线 C 上,故可根据原点到点 F 与到定直线的距离之积为 16 列出方程,即可得解; 对于 B ,验证点 −43,0 到点 F 与到定直线的距离之积是否为 16 即可; 对于 C , 先求出曲线 C 的轨迹方程,再运用特殊值法即可判断; 对于 D ,将曲线方程化简后结合不等式的性质即可判断.
【详解】对于 A: 由题可知,坐标原点 O 在曲线 C 上,因此原点到点 F−4,0 的距离与到定直线 x=tt>0 的距离之积为 16,
即 4t=16 ,又因为 t>0 ,故解得 t=4 ,故 A 正确;
对于 B:设点 −43,0 为点 M ，则 MF=−4+43 ，点 M 到直线 x=4 的距离 d 为 4+43 ，因为 MF⋅d=−4+43×4+43=48−16=32≠16 ，
因此点 −43,0 不在曲线 C 上,故 B 错误;
对于 C : 设曲线上一点为 Px,y ,则有 x+42+y2⋅x−4=16 ,
整理得 y2=256x−42−x+42 ,取 x=−3 ,得 y2=25649−1=20749>19649=4 ,
即 y2 ,故曲线 C 在第三象限内的点的纵坐标的最小值小于 -2,故 C 错误;
对于 D : 当点 x0,y0x00 ,
故 sinA=265 ;
【小问 2 详解】
由题可知, S△ABC=12bcsinA=12b×5×265=66 ,
解得 b=6 ,
再由余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA=36+25−2×6×5×15=49 ,
解得 a=7 ,
因此 △ABC 的周长为 a+b+c=7+6+5=18 .
16. 已知函数 fx=x22+2x−6lnx+1 .
(1)求曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线方程；
( 2 )若关于 x 的方程 fx=a 有两个不相等的实数解，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) y=−4x
(2) 52−6ln2,+∞
【解析】
【分析】(1) 根据导数的几何意义求切线方程.
(2)利用导数求得函数当 x∈−1,1 时， fx∈52−6ln2,+∞ ， x∈1,+∞ 时， fx∈52−6ln2,+∞ ,即可得解.
【小问 1 详解】
因为 fx=x22+2x−6lnx+1 ,
所以 f′x=x+2−6x+1 .
又 f0=0,f′0=2−6=−4 ,
所以 fx 在点 0,f0 处的切线方程为: y=−4x .
【小问 2 详解】
因为函数 fx 定义域为 −1,+∞,f′x=x+2−6x+1=x+4x−1x+1 ,
因为 −1Y=PX=1,Y=0+PX=2,Y=0+PX=2,Y=1.
【小问 1 详解】
列联表见图,
零假设 H0 : 假设套餐满意与性别无关,
由列联表可得 H0:χ2=10040×10−30×20270×30×60×40≈0.7937Y=PX=1,Y=0+PX=2,Y=0+PX=2,Y=1
=PX=1PY=0+PX=2PY=0+PX=2PY=1
=C21×23×13×C20×142+C22×232×C20×142+C22×232×C21×34×14=29 .
18. 如图，在 △ABC 中， AB=AC,∠BAC=90∘ ，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上， AC=3AE,BC=3BD ，将 △DEC 沿 DE 翻折至 △DEP ，使得二面角 P−ED−B 的大小为 60∘ .

(1)若 F 为 DP 的中点，点 G 在 AB 上， AB=3AG ，证明: GF// 平面 AEP ；
(2)求平面 AEP 与平面 BDP 所成的二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2) 255 .
【解析】
【分析】(1) 取 PE 的中点 H ,通过线段之间的长度关系与平行关系,证明四边形 AGFH 是平行四边形, 再利用线面平行的判定定理证明即可;
(2)建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面 AEP 与平面 BDP 的法向量，再运用向量夹角公式可求得两个平面所成二面角的余弦值, 再根据同角三角函数的基本关系求得正弦值即可.
【小问 1 详解】
如图,取 PE 的中点 H ,连接 AH,FH

∵ACAE=BCBD=3,∴ED//AB ,且 ED=23AB .
∵F,H 分别为 PD,PE 的中点, ∴HF//ED ,且 HF=12ED=12×23AB=13AB ,
又由题可知, AG=13AB ,且 HF//ED//AB ,
因此 HF//AG ,且 HF=AG=13AB ,
因此四边形 AGFH 为平行四边形,因此有 GF//AH ,
又因为 AH⊂ 平面 AEP,GF⊄ 平面 AEP ,
因此 GF// 平面 AEP ;
【小问 2 详解】
由 ∠BAC=90∘ 可知 BA⊥AC ，由( 1 )可知 ED//AB ，
故 DE⊥AC ，因此 DE⊥EC,DE⊥EA ，
由折叠关系可知 DE⊥EP ，又因为平面 PED∩ 平面 ABDE=ED ，
PE⊂ 平面 PED ， EA⊂ 平面 ABDE ，则 ∠PEA 即为二面角 P−ED−B 的平面角， 因此 ∠PEA=60∘ ,
不妨设 AB=AC=3 ，则 EP=EC=23AC=2,EA=13AC=1 ，
PA2=EP2+EA2−2EP⋅EA⋅cs∠PEA=4+1−2×2×1×12=3 ,解得 PA=3 ,
又因为 AE2+AP2=1+3=4=EP2 ,故 AP⊥AE .
因为 DE⊥EP,DE⊥EA,EP∩EA=E,EA,EP⊂ 平面 AEP ,
故 DE⊥ 平面 AEP ,又因为 AP⊂ 平面 AEP ,故 DE⊥AP ,
又因为 DE∩AE=E,DE,AE⊂ 平面 ABDE ,
因此 PA⊥ 平面 ABDE .

过点 E 作垂直于平面 ABDE 的直线 Ez ,易证 EA,ED,Ez 两两互相垂直,
因此可以 E 为坐标原点,分别以 EA,ED,Ez 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,
则 E0,0,0,B1,3,0,D0,2,0,P1,0,3 ,
ED=0,2,0,BD=−1,−1,0,BP=0,−3,3.
因为 DE⊥ 平面 AEP ,因此 ED 为平面 AEP 的法向量;
设平面 BDP 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,
则有 n1⋅BD=0n1⋅BP=0 ,即 −x1−y1=0−3y1+3z1=0 ,取 x1=1 ,则 y1=−1,z1=−3 ,
即 n1=1,−1,−3 .
设平面 AEP 与平面 BDP 所成的二面角的大小为 α ,
则 csα=cs=ED⋅n1ED⋅n1=22⋅5=55 ,
又因为 α∈0,π2 ,故 sinα≥0 ,则 sinα=1−cs2α=1−15=255 ,
即平面 AEP 与平面 BDP 所成的二面角的正弦值为 255 .
19. 已知双曲线 C:x24−y2b2=1b>0 的离心率为 2,左、右顶点分别为 A1,A2 .
(1)求 b 的值；
(2)若点 P 为 C 上一点，且 P 在第一象限， △A1A2P 是等腰三角形，求点 P 的坐标；
(3)设点 T 在直线 x=m00 ，则 y=15 ，
综上,点 P 的坐标为 3,15 .
【小问 3 详解】
设过点 Tx0,y0 且斜率为 k 的直线 AB 的参数方程 x=x0+tcsθy=y0+tsinθ,θ∈[0,2π) ,则 k=tanθ ,
将其代入双曲线方程中，可得 3x0+tcsθ2−y0+tsinθ2=12 ，
即 3cs2θ−sin2θt2+6x0csθ−2y0sinθt+3x02−y02−12=0 ,
设方程的两根为 t1,t2 ,则 TA=t1,TB=t2 ,
由韦达定理得, t1t2=3x0​2−y0​2−123cs2θ−sin2θ ,且 k=tanθ ,
则 TATB=t1t2=3x02−y02−12cs2θ+sin2θ3cs2θ−sin2θ=3x02−y02−123−k2⋅1+k2 ,
令常数 C=3x0​2−y0​2−12 ,则 TATB=C1+k23−k2∗ ;
同理对于直线 PQ ,则有 TP⋅TQ=C1+kPQ​23−kPQ​2∗∗ ,
由 △TAQ∘,△TPB 得 ∠ATQ=∠PTB,TATP=TQTB
所以 TA⋅TB=TP⋅TQ ,
由 ∗∗∗ 相等及两直线不重合 k≠kPQ ,可得 k2=kPQ​2 ,
因此 k+kPQ=0 ,得证.满意
不满意
合计
男
女
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
男
40
20
60
女
30
10
40
合计
70
30
100