浙江省镇海中学2026届高三上学期期末考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易得 ,所以 .
2.已知 为虚数单位,
A. B. C. -1D.
【答案】B
【解析】.
3.已知向量 ,则
A. -3B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ,所以 .
4.抛物线 的焦点 到直线 的距离为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得焦点 ,所以 .
5.在 中，“ ” 是 “ 为等腰三角形” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 或者 (不成立),充分性成立.
为等腰三角形，不一定 ，必要性不成立，所以是充分不必要条件.
6.已知正四棱锥 的底面边长为 4，高为 6，则该正四棱锥的内切球半径为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】侧棱长为 ,侧面积为 ,
根据等体积 ,所以 .
7.现有 7 幅书法作品，每一幅上分别写着 “祝、你、数、学、一、百、五” 的字样，7 幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓 3 位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（ ）种
A. 1470 B. 1512 C. 1806 D. 2982
【答案】C
【解析】先分类, 总共有 331, 322, 421, 511 四大类分法,
总共有 .
8.已知集合 与集合 ，用 表示集合 的元素个数， 表示不超过 的最大整数,则
A. 1215 B. 1216 C. 1217 D. 1218
【答案】C
【解析】令 ,此时 ,
而 可取0,1,2,4,5,6六个数,
而 ,故 (不取 3) .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 的展开式中常数项为 ,则下列说法正确的有
A.
B. 的展开式中 的系数为 3
C. 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和
D. 的展开式中系数最大的项为第 2 项或第 3 项
【答案】BCD
【解析】 的展开式通项为 .
A 项: ,故 A 错误;
B 项: ,故 B 正确;
C 项: 展开式中各二项式系数之和为 ,令 ,各项的系数之和 ,故 C 正确;
D 项: ,展开式中系数最大的项为第 2 项或第 3 项, 故 D 正确.
10.已知三棱柱 ， 为 中点，下列选项正确的是
A. 过点 有且只有一条直线与直线 ， 都垂直
B. 过点 有且只有一个平面与直线 都垂直
C. 过点 有且只有一个平面与直线 都平行
D. 过点 有且只有一个平面与直线 都相交
【答案】AC
【解析】A 项: 过点 有且只有一条直线同时垂直于上下底面,故 正确; B 项: 过点 找不到一个平面与直线 都垂直,故 B 错误;
C 项: 过点 有且只有一个平面与直线 都平行,即与上下底面都平行的平面,故 C 正确; D 项: 过点 有无数个平面与直线 都相交,故 错误.
11.已知 为虚数单位,复数 ,则下列说法正确的是
A. 的三角形式为
B. 若 ,则实数 的值为 3
C. 中有 44 个正整数
D.
【答案】BC
【解析】A 项: 由题意 ,故 A 错误;
B 项: ,所以 ,得到 ,所以 , 故 正确;
项: 由于复数的三角形式,设 ,所以 ,当 时同样成立,所以由棣莫弗公式得 - ,所以 ,即问 中有多少正整数,而 ,所以除去 , 这里面共有 44 个正整数, 故 C 正确;
D 项: ,而 ,所以 ,所以 ,即 ,故 错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.双曲线 的渐近线的斜率为________.
【答案】
【解析】易得渐渐线方程为 ,所以斜率为 .
13.已知函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】 ,
令 ,则 ,
时, 单调递增, 时, 单调递减,所以 , 在 上单调递减,注意到 ,所以 .
14.将一个棱长为 1 的正四面体 和各条棱长都为 1 的正四棱锥 按如图所示的方式拼接在一起, 则此几何体的各个面所在的平面将空间分成_____个部分.
【答案】21
【解析】思路说明: 该简单组合体可以看成是以 和 为底面的斜三棱柱，将其斜立起来看, 其三个侧面所在的平面把空间分为 7 个部分,
上下两个平行底面所在的平面再把空间变为上中下 3 层, 共计 21 个部分.
斜三棱柱的证明可以使用建系坐标法, 证明如下:
连接 和 ,两者交点记为 ,连接 .
因为各棱长都为 1 的正四棱锥 的底面是正方形 ，所以其对角线 、 互相垂直平分， 其交点 为正方形 的中心，且 底面 ，
以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ,
设点 ,则 ,
由正四面体 棱长均为 1 可知: ，解得点 坐标为 ，
则 ，所以 、 、 、 四点共面且四边形 为平行四边形，
得证该简单组合体可以看成是以 和 为底面的斜三棱柱 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】(1) .
(2) ，故 .
16.已知在 中， .
(1)求 的值；
(2)若 边上的高等于 ，求 .
【解析】(1) ,令 ,故 ,
,解得 (舍负),
(2) ,即 ,
,
代入 ，解得 ，所以 .
17.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型, 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块, 小木块之间留有适当的空隙作为通道, 前面挡有一块玻璃, 让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 如图所示的高尔顿板有 5 层小木块，将小球从顶端放入, 小球下落的过程中, 每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为 1、2、...、5 的球槽内.
(1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为 ,求 的分布列与数学期望;
(2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时,有 的概率向左, 的概率向右滚下,小球共经过 4 次碰撞后,最后掉入编号为 的球槽内. 将 80 个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下, 试问 2 号球槽中落入多少个小球的概率最大?
【解析】
(1)设小球向右的次数为 ,则 ,
故 ,
(2)落入 2 号球槽:向左 3 次，向右 1 次，故概率 .
记落入 2 号球槽的球个数为 ，则 ，
令 ,解得 ,于是 ,
即落入 7 或 8 个小球概率最大 .
18.抛物线 上一点 到 轴的距离为 ,焦点为 .
(1)求抛物线 的方程与 点横坐标；
(2)若 在 轴上方，抛物线 的准线与 轴交于 ，过 作一条斜率为负的直线交抛物线于 ， 两点，点 在点 左侧.
(i) 试判断在 轴上是否存在一定点 ,使得直线 , 的斜率之和为 0,若存在,请求出 点坐标, 若不存在,请说明理由;
(ii) 若 的余弦值为 ,记 的面积为 的面积为 ,求 的值.
【解析】(1) ,解得 ,故 .
(2)(i)设 ， ， ,
即 ,故 . 时, ,
即 .
(ii) 即焦点,则 平分 .
设 ,
,得 ,
于是 ,即 ,
所以 ,恰过 ,即 共线, ,
联立 得 ,所以 ,故 .
19.已知函数 ,圆 ,设 与 的图像交于 两点.
(1)求 在 处的切线方程；
(2)试判断线段 的中点在第几象限，并证明；
(3)证明:随着 的变化，直线 的斜率始终小于 1.
【解析】(1) ,故 在 处的切线方程为 .
(2)第二象限:即证 .
设 ,则 .
设 ,则 ,
注意到 ,恰有 时 ,故 时, ,
所以 在 上递减,在 上递增.
不妨 ，要证 ，即证 ，
在 上递增,又 ,所以只需 .
令
,
所以 时, 恒成立.
又 ,故 成立,所以 ,在第二象限.
(3)在(2)中， ，即证 ，
又 ,
令 ,即证 ,
,令 ,得 ,
所以 在 上递增,在 上递减, 恒成立,
所以 在 上递减,而 ,则 得证 .