高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册椭圆课后复习题，共17页。试卷主要包含了椭圆等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为．
∵
∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，
故所求的椭圆的标准方程为．
故选：B．
2．在双曲线中，，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】椭圆方程可化为，，所以双曲线的，且焦点在轴上.
由于，所以，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：B
3．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
4．设为椭圆C:的两个焦点，点P在椭圆C上，若成等差数列，则椭圆C的离心率为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
因为成等差数列，
所以即，
所以椭圆C的离心率.
故选：B.
5．椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【解析】由椭圆方程，得
由椭圆定义得
又，
为的中点，为的中点，
线段为中位线，有.
故选：B
6．双曲线离心率为2，且其焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（ ）．
A．B．3C．1D．4
【答案】B
【解析】由题意，椭圆的焦点为，
双曲线的焦点为
∴双曲线的焦点在轴上，，半焦距，
所以，
又离心率为2，即，，
.
故选：B.
7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点、，则的中点为，
则，可得.
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，且，
直线的斜率为，
由于、两点都在椭圆上，则，
两式作差得，所以，，
因为，所以，，
所以，，解得，因此，椭圆的标准方程为.
故选：A.
8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】点在椭圆的外部，所以，即，
所以，
由 恒成立，
即，
所以．又，
所以
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆和椭圆一定没有公共点B．
C．D．
【答案】AB
【解析】依题意，，即，
所以，所以，因此B正确；
又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；
设，其中，则有，
即有，则，因此C错误；
，
即有，则，因此D错误．
故选：AB．
10．关于、的方程（其中）对应的曲线可能是（ ）
A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线
【答案】ABC
【解析】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；
对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；
对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，
则，这样的不存在，D选项错误.
故选：ABC.
11．椭圆上的一点到椭圆焦点的距离的乘积为，当取最大值时，点的坐标不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】解：记椭圆的两个焦点分别为，
有，
则知，
当且仅当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值，
∴点的坐标为或，
故选：BD.
12．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点不在轴上时，的周长是6
B．当点不在轴上时，面积的最大值为
C．存在点，使
D．的取值范围是
【答案】ABD
【解析】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A:根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
由图可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
对于选项D：当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：ABD
三、本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，则点F1，F2的坐标分别是______．
【答案】(－3,0)，(3,0)
【解析】由椭圆的标准方程，可得a2＝25，b2＝16，
所以c2＝a2－b2＝25－16＝9，即c＝3．
则点F1，F2的坐标分别是(－3,0)，(3,0)．
故答案为：(－3,0)，(3,0)
14．已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.
因为，，所以，
所以，所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：.
15．点P为椭圆上的任意一点，AB为圆的任意一条直径，若的最大值为15，则a=___________.
【答案】3
【解析】椭圆的焦点为，,半焦距，
圆的圆心，半径为1，
AB为圆M的直径，可得，
则
，
又P为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得，
当P为椭圆的左顶点时，上式取得等号，
则，所以即.
故答案为：3.
16．设、分别为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，且，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图，绘出椭圆和双曲线图像：
设，，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，
解得，，
因为，所以，
即，由离心率的公式可得，
因为，所以，
即，解得，
因为，所以，，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；
（2）a＝4，c＝；
（3）过点P(－3，2)，且与椭圆有相同的焦点．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】（1）设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由和两点在椭圆上可得
，即，
解得．
故所求椭圆的标准方程为．
（2）因为a＝4，所以b2＝a2－c2＝1，
所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是．
（3）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5．
设所求椭圆的标准方程为．
因为所求椭圆过点P(－3，2)，所以有①
又a2－b2＝c2＝5，②
由①②解得a2＝15，b2＝10．
故所求椭圆的标准方程为．
18．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴是短轴的3倍且经过点；
（2）经过两点.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）若椭圆的焦点在轴上，设方程为，
因为椭圆过点，代入可得，解得，
又由，解得，所以椭圆的方程为；
若椭圆的焦点在 轴上，设方程为，
因为椭圆过点，代入可得，解得，
又由，解得，所以椭圆的方程为,
综上可得，椭圆的方程为或.
（2）设经过两点的椭圆方程为，
将坐标代入方程得，解得，
所以所求椭圆方程为.
19．已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）由，
可得，
由面积的最大值为知，
，
解得，，，
∴椭圆C的方程为
（2）联立，解得
联立得.
∵直线与椭圆C交两点，
∴.
∴，且
设直线的斜率分别为，
设，
则.
又，
，
则

∴，从而始终为等腰三角形.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为x＝4，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左右顶点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过T（t，0）（t＞a）作斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆C与M，N两点（点M在点N的左侧），且F1M∥F2N.设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知，，，解得：a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设，，
因为直线l过T（t，0），设直线l的方程为：y＝k（x﹣t），联立直线l与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，
，，
因为F1（﹣1，0），F2（1，0），
所以，，且，
所以，即，
整理得：，
所以，
又，
即，整理得：4k2（t2﹣4）＝9，
因为直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且A（﹣2，0），B（2，0），
所以k1•k2＝，.
所以k1•k2的值为..
21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程
（2）若，求线段的长
（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由
【答案】（1）；（2）；（3）是定值，6.
【解析】（1）解：由题意得，解得.
把点的坐标代入椭圆C的方程，得
由于，解得
所以所求的椭圆的标准方程为.
（2）解：因为，则得，即，
又因为，所以直线的方程为.
由解得(舍去)或，即得
所以
即线段的长为
（3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.
令，得，
由得，解得(舍去)或
所以，即
于是直线的方程为，即
令，得，即，
所以四边形的面积等于
即四边形的面积为定值.
22．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.
（1）求抛物线及椭圆的标准方程；
（2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为.
①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值；
②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值.
【答案】（1）；(2) ① ②
【解析】(1) ,
右顶点为，
即抛物线的焦点 ,
，
故抛物线方程为，
因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，
所以，
，
，
椭圆的标准方程为：
(2) ①设，代入 消元得：
，
设，
，
，
又，
同理可得
②仍设，
代入椭圆方程消元得：
，
即，
，
，
同理得，
，
（当且仅当 时，等号成立），
令，则 ，
,
对于，在 上是增函数，
当时，即时，，
，
面积的最大值为.