江苏省苏州中学校2025-2026学年高一上学期1月质量评估数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.是（ ）角
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】因为，而是第三象限角，所以是第三象限角.
2.已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，解得，故，
令，解得，则，
故.
3.已知命题,则的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，或
【答案】D
【解析】已知命题,，则命题的否定为：，或.
4.已知函数，则“函数的图象的一条对称轴为”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由函数的图象的一条对称轴为，得，
解得，又因为，所以或，
因此“函数的图象的一条对称轴为”是“”的必要不充分条件.
5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由二次函数（其中）的图象可得，
所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD；
因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B.
6.已知、、，则下列选项可能成立的是
A. 、、、B. 、、、
C. 、、、D. 、、，
【答案】C
【解析】因为、，故，排除BD；因为，所以，，又，所以.
7.已知，且，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，解得，
由，得，则，于是，
解得，所以.
8.设 ，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，都是正数，
所以，，，
因为，，，且，
所以，即，
所以.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法错误的是
A. 函数与函数表示同一个函数
B. 若是一次函数，且，则
C. 函数的图象与轴最多有一个交点
D. 函数在上是单调递减函数
【答案】ABD
【解析】A：对于，有，解得，
则的定义域为，
对于，有，解得或，
则的定义域为，
即与的定义域不一致，
所以这两个函数不表示同一个函数，故A错误；
B：设，则，
又，所以，解得或，
所以或，故B错误；
C：由函数的定义知，的图象与轴最多有一个交点，故C正确；
D：函数在上是单调递减函数，故D错误.
10.已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是
A. 若该扇形的半径为1，则其面积为2B. 该扇形面积的最大值为1
C. 当该扇形面积最大时，其圆心角为2D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】由题意可知，，，
对于A：当时，，可得，故A错误；
对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确；
对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误.
11.已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是
A. 的取值与有关B. 为定值
C. D.
【答案】BD
【解析】令，则可化为，不妨设的解集为，即，，即，故，又，且，，且，，且，故，解得，故选项A错误，选项B正确；
，，有解，，即或，是方程的两个根，即是方程的两个根，故，即，解得：，，故选项C错误，选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知幂函数经过点，则值是________.
【答案】
【解析】因为函数为幂函数，所以，得，所以，
因为幂函数的图象过点，所以，则，得，解得，
所以 .
13.若为奇函数，则的单调递减区间是_______.
【答案】
【解析】由，为奇函数，则，解得，
当时，，则，满足题意.
当时，，由解得，或，
令，当时，单调递减，单调递增，则单调递减；当时，单调递增，单调递增，则单调递增；则的单调递减区间是 .
14.若实数满足，则的最大值为________.
【答案】
【解析】因为实数满足，当时，，所以，
令，则，
由，两边同除以，可得，可得，
所以，即，
又由，
令，可得其图像开口向下，且对称轴为，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
所以的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（1）计算：；
（2）若，求的值 .
【解析】1）
；
（2）因为，所以，
所以 .
16.已知函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）函数在上的值域；
（3）求在的解集.
【解析】(1)，令
解得，
所以函数的单调递减区间为 .
(2)，因为，所以，
可得，则，
即函数在上的值域为 .
(3)由题设，即
因为，所以，
所以，可得．
所以不等式解集为
17.东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
已知第9的日销售收入为552元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值.
【解析】
(1) 因为第9的日销售收入为552元，
所以有 .
(2)由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况，
而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把代入，得，
显然也满足函数的解析式 .
(3)由题意可知：，
当时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时；
当时，，
显然此时函数单调递减，此时，
综上所述：函数的最小值元
18.已知函数的定义域为，，，，且，在区间上单调递减.
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）求不等式的解集.
【解析】 (1) 令，则有，
由，故.
(2)令，结合，则有，
则，即，
故，即，
则，即，
故，即，
故函数为周期为6的周期函数，
令、，则有，即，
令、，则有，即，
由，故，
，，，
故
.
(3) 令，则有，
即，则，
即可化为，
即解，即，即，
由、，又函数为周期为6的周期函数，
故的解为或，即
故原不等式的解集为 .
19.已知函数，其中为实数.
（1）若为偶函数，求的值.
（2）当时，求函数的值域.
（3）已知为正整数，若函数在内恰好有1111个零点，求和的值.
【解析】 (1) 因为为偶函数，则对恒成立，
即，
即对恒成立，
则.
(2)当时，，
因为
，
所以是的一个周期，
现研究在上值域：
当时，，
令，则，
则，
因为，所以，则，则，
因为，所以；
当时，，
令，则，
则，
因为，所以，则，
则，
因为，所以，
综上可知，函数的值域为.
(3) 因为
，
所以是的一个周期，
由（2）可知，当时，，，
令，则，
若，则左边为2，右边为0，显然不成立，故，则，
因为在上单调递减，所以，
则，且当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有一个根，在上存在两个零点，
当时，有一个根，在上存在一个零点；
当时，，，
令，则，
若，则左边为2，右边为0，显然不成立，故，则，
因为在上单调递增，所以，
则，且当时，，
所以当时，有一个根，在上存在两个零点，
当时，有一个根，在上存在一个零点；
故当时，在一个周期内存在一个零点，
因为，则当时的零点必然在内，
所以若函数在内恰好有1111个零点，则；
若或，则在一个周期内存在偶数个零点，
此时函数在内不可能恰好有1111个零点，
综上，， .9
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