重庆市南开中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

这是一份重庆市南开中学2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．以下是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四种电路符号中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列调查中最适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班级观看电影《得闲谨制》的情况
B．调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品
C．审查一篇报道中的所有错别字
D．调查全国中小学生对我国月球探测工程“梦舟”飞船的关注度
4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的周长为10，则的周长为（ ）
A．4B．C．5D．
5．若，是反比例函数图象上的两点，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
6．市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（ ）
A．B．C．D．
7．按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有8个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑦个图中圆点的个数是（ ）
A．15B．18C．20D．23
8．如图，正五边形的边长为2，以A为圆心，2为半径作，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．π
9．如图，在正方形中，E、F分别为、上的点，且，连接、分别交对角线于点G、H，连接，为中点，N为中点，连接、交于点O．若，，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
10．已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为整数，且．下列说法：
①当时，；
②当时，若，则满足条件的整式M有20个；
③若，则所有满足条件的整式M的值的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的数字为正数的概率是 ．
12．如图，，交于点G，过点F作交于点H，连接，若平分，，则 ．
13．若n为正整数，且满足，则 ．
14．若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
15．如图，内接于，为的直径，与相交于点E，F为下方上一点，且，连接，过点D作的切线，交延长线于点H，若，，，则的半径的长度为 ，的长度为 ．
16．一个四位正整数各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足（k为正整数且），则称这个四位数为“奇方数”．例如：四位正整数2341，因为，且，所以2341是“奇方数”．若是“奇方数”且，则最小的N为 ；若也是一个“奇方数”，令，记，若除以11余数为5，则符合条件的所有A的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题
17．解不等式组：，并写出所有整数解．
解：解不等式①得____________，
解不等式②得____________，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为______，
所以，原不等式组的整数解为______．
18．在学习了三角形和四边形的相关知识后，小明发现：在对角互补的四边形中，，若平分，则，请根据他的思路完成以下作图和推理填空：
（1）用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．
证明：过点C作交延长线于点F
∵，∴．
∵平分，且，，
∴①．
∵，②，
∴．
在和中，
∴（④）．
∴．
19．先化简，再求值：，其中．
20．良好的时间管理习惯有助于提升学习效率．某校为了解甲、乙两校区的学生完成相同作业量的时间的情况，从甲、乙两校区的九年级学生中各随机抽取20名学生完成作业的时间（时间单位为分钟且为整数）进行整理、描述和分析（完成作业的时间用x表示，共分为四个时段：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息：
甲校区所抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：72，74，75，75，75，75，76，78．
乙校区所抽取20名学生完成作业时间为：55，58，60，60，60，64，65，66，70，75，75，78，78，78，78，80，82，85，85，88．
甲、乙校区所抽取学生完成作业时间统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为该校甲、乙校区中哪个校区的学生学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校甲校区九年级有学生900人，乙校区九年级有学生800人，请估计该校九年级完成作业的时间不超过70分钟的学生人数共是多少？
21．列方程（组）解下列问题：
为迎接“”国际志愿者日，重庆一社区开展了“文旅引导助老服务”双主题活动．志愿者分为A组（文旅引导组，负责景点游客指引）和B组（助老服务组，负责社区老人探访帮扶）．已知A组和B组志愿者总人数为70人，其中B组志愿者人数比A组志愿者人数的一半多10人．
（1）求A、B两组各有多少名志愿者？
（2）活动当天，A组需完成5400人次的游客疏导任务，B组需完成240户的老人探访任务，每名志愿者每小时可疏导游客60人次，或探访2户老人，为了平衡两组完成任务的时间，现需要从A组调配部分志愿者到B组，使得两组完成各自任务的时间相同，求从A组调到B组的志愿者人数．
22．如图，在中，，，．点P是线段上一点（点P与端点A、B不重合），，过点P作交直线于点Q，连接．记线段的长为，的面积记为，的面积记为，．
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）请在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
23．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，）
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，P为上方抛物线上一动点，过P作交x轴于点E，连接是直线上的动点（点M在点N的上方），且，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
（3）如图2，在（2）中面积取得最大值的条件下，将直线上方的抛物线沿翻折，点P的对应点为点Q，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，平移后的抛物线恰好经过点D，点K为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程．
25．在中，，点D是边上一点，点E是边上一点，连接．
（1）如图1，，连接，且，若，，求线段的长度；
（2）如图2，，且，在线段上取点F，使，连接，交于点G，过点G作且，连接、，求证：；
（3）如图3，连接，且，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，使得，连接，若，，当取最大值时，直接写出线段的长度．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查有理数的识别，掌握有理数的定义是解决本题的关键．
整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
【详解】解：A：是无理数，不符合题意；
B：是无理数，不符合题意；
C：是分数也是有理数，符合题意；
D：中是无理数，则也是无理数，不符合题意．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、最适合采用全面调查，故A不符合题意；
B、最适合采用全面调查，故B不符合题意；
C、最适合采用全面调查，故C不符合题意；
D、最适合采用抽样调查，故D符合题意；
故选D．
4．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似图形的性质，周长比等于位似比，位似比为，进而求解即可．
【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，且，
∴与的相似比为，
∴的周长的周长，
∵的周长为10，
∴的周长，
故选A．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数性质，当时，y随x的增大而减小，比较两点横坐标大小即可判断y值关系．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴当时，随的增大而减小．
∵和的横坐标都大于0，且，
∴．
故选C．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用该款运动相机今年11月份的销量该款运动相机今年9月份的销量（该款运动相机这两月销量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设该款运动相机这两月销量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：或（舍去），
因此，月平均增长率为，
故选D．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆点个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形和图形中圆点的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：第①个图形中圆点的个数为3；
第②个图形中圆点的个数为5；
第③个图形中圆点的个数为8；
第④个图形中圆点的个数为10；
…
所以图形中圆点的个数依次增加2个，增加3个为循环，
即第⑤个图形中圆点的个数为13个；
第⑥个图形中圆点的个数为15个；
第⑦个图形中圆点的个数为18个．
故选B．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解题的关键．
根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：正五边形的内角和为，
∴正五边形每个内角度数为，
∴图中阴影部分面积．
故选A．
9．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题意可得，进而求得正方形的边长为12，连接，过E作于点L，根据，即，设，则，进而利用勾股定理求得，再连接，易得，利用相似三角形的性质得到，最后根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
在正方形中，，
∴，
设，则，
在中，则有，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
如图，连接，过E作于点L，则，
则，
∴，
∴，即，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，连接，
∵M、N分别为、中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
故选B．
10．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了整式相关规律问题，分式的性质，正确理解题意是解题的关键．
将代入式子即可判断①；当时，则，已知均为正整数，则同正或同负，进而枚举即可判断②；根据题意可得，进而可得，其最小值为，显然，当时，其值更小，进而枚举的情况，并求出值，即可判断③．
【详解】解：当时，则，
此时，
∵为正整数，
，
，故①正确，符合题意；
当时，则，
，
，
，
∴均为正整数，
∴同正或同负，
同正时，有如下情况：
，
，
，共 10 种情况；
同负时，有如下情况：
，
，
，共 10 种情况；
综上，共计 20 种情况，则满足条件的整式共有 20 个，故②正确，符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵为正整数，n为正整数，
∴是4的正约数且，故，
∴，此时，
，
，
∴，
∴其最小值为，显然，当时，其值更小，
∵为整数，为同正或同负，
∴同②讨论方式，当为同负时有如下情况：
，此时最小值；
，此时最小值；
，此时最小值，
综上可知整式的值的最小值为，故③错误，不合题意；
综上，正确的个数是 2 ，
故选C．
11．【正确答案】/
【分析】本题主要考查了求概率，理解题意是解决本题的关键．
直接根据概率公式解答，即可求解．
【详解】解：由题意得，四张卡片中正数有1和2，共2张，
∴抽取正数的概率为.
12．【正确答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟知平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键．
根据平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义进行计算即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
13．【正确答案】4
【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵为正整数，
.
14．【正确答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，先根据已知条件把用表示出来，再根据，再分两种情况进行讨论即可．
【详解】解：∵，
，
①当时，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
②当时，，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
∴此种情况无解，
综上可知：的值为 2 .
15．【正确答案】6；
【分析】先根据直径所对的圆周角等于90度，得到，通过，算得，利用勾股定理求得，即可得到半径的长度，过点作于，利用面积法求得，利用勾股定理求得，接着证明，得到，从而得到的长度，接着利用，算得，结合勾股定理求得，然后证明，算得，最后利用算得答案．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径的长度为6
过点作于，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
16．【正确答案】2359；3500
【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，用分类讨论的思想，解决问题．
对于第一部分，由和，代入条件公式得，且数字互异，故最小为2359；对于第二部分，由除以11余数为5，得，且为奇方数，解得为2953和6453，差为3500．
【详解】解：①∵，，
∴，，
代入条件公式，得，
即，
又数字互异且均不为0，
故或或或，
对应N为2359，2458，2854，2953，最小为2359．
②∵，其中，，
故．
∵除以11余数为5，1001、110除以11余数为0，90、101除以11余数为2，
∴除以11余数为5，
∴除以11余数为5，
∵c，d为的数字，
∴．
又A为奇方数，满足，其中，
故，
则．
∵且数字互异，，k为正整数，
∴或或或或，
∵，k为正整数，
当时，，，，无解；
当时，，时，，，得，；时，，，得，；时无解；
当时，：，，，时均无解；
当时，：，2，3，4，5时均无解．
故为2953和6453．
验证：对于2953，除以11余数为5；
对于6453，除以11余数为5．
最大值与最小值差为．
17．【正确答案】，，，3和4；见详解
【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，准确的计算是解决本题的关键．
先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可．
【详解】解：①
解得；
②
解得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为3，4.
不等式组的解集表示数轴如下，
18．【正确答案】（1）见详解
（2）；；；
【分析】本题考查了尺规作图之作高，角平分线的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）以点为圆心，以超过到的距离为半径画弧，交于，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则为所求；
（2）根据角平分线的性质，可得，结合平角，可知，接着利用证明，从而得出结论．
【详解】（1）解：下图即为所求：
（2）证明：过点C作交延长线于点F，
∵，
∴．
∵平分，且，，
∴．
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
19．【正确答案】，
【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，代数式的化简求值，涉及多项式乘法、分式运算和负整数指数幂、零指数幂的计算．先化简代数式，再计算x的值，最后代入求值．
【详解】解：
，
将代入得原式．
20．【正确答案】（1）74.5；78；15
（2）甲校区的学生学习效率更高，理由见详解
（3）720人
【分析】本题考查扇形统计图，平均数、中位数、众数，用样本估计总体，掌握中位数，众数的意义是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义可得a、b的值，用“1”分别减去其它部分所占百分比可得m的值；
（2）根据中位数、众数的定义解答即可（答案不唯一）；
（3）利用样本估计总体解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，甲校区在C时段的占比为，
∴，即；
甲校区A时段的人数为：，B时段的人数为：，
把甲校区所抽取20名学生中完成作业时间从小到大排列，排在中间的两个数分别是74，75，故中位数；
乙校区所抽取20名学生完成作业时间中出现次数最多的是78，故众数.
（2）解：甲校区的学生学习效率更高，理由如下：
因为两个校区的学生完成作业时间的平均数相同，但甲校区的中位数小于乙校区，即用时更少，所以其学习效率更高（答案不唯一）；
（3）解：由题意得，（人），
答：估计该校九年级完成作业的时间不超过70分钟的学生人数共是720人．
21．【正确答案】（1）A组有40名志愿者，B组有30名志愿者
（2）10
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
（1）设组有名志愿者，则组有名志愿者，根据组志愿者人数比组志愿者人数的一半多10人，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即组志愿者的人数），再将其代入中，即可求出组志愿者的人数；
（2）设从组调到组名志愿者，根据两组完成各自任务的时间相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设组有名志愿者，则组有名志愿者，
根据题意得：，
解得：，
，
答：组有40名志愿者，组有30名志愿者；
（2）解：设从组调到组名志愿者，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：从组调到组10名志愿者．
22．【正确答案】（1），
（2）图象见详解，当时，随的增大而减小
（3）
【分析】（1）根据勾股定理得到，过作于，求得，根据三角形的面积公式得到，然后分，和两种情况，分别写出答案即可；
（2）根据题意画出函数的图象，然后观察图象，可得当时，随的增大而减小；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
如图，过作于，
∴，
∴，
∴，
当时，，，
当时，如图，
∴，；
综上所述，，；
（2）解：函数，的图象如图所示；
当时，随的增大而减小；
（3）解：由图象知，当时的取值范围为．
23．【正确答案】（1）
（2）1.6千米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键．
（1）过B作于点E，则，解求出，即可解答；
（2）由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，设，则，利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解．
【详解】（1）解：由题可知，千米，，，
则中，，
∴，千米，
如图，过B作于点E，则，
在中，（千米），
∴（千米），
答：的长度为千米；
（2）解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，
如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则，
设，
∵无人机的速度是热气球速度的3倍
∴，
∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
即
解得，
∵，
∴（千米）；
答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球．
24．【正确答案】（1）
（2）；
（3）点K的坐标为或
【分析】（1）设顶点式，将点C坐标代入即可求解；
（2）先求得直线解析式，易证，过P作轴，交于点Q，设，则，表示出，得到关于t的二次函数表达式，进而得到最大值时点P的坐标；将点D沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，作点P关于直线对称点，易得，结合勾股定理即可求得答案；
（3）先根据题意求得，，直线的解析式，然后分成当点K在右侧和当点K在左侧两种情况，先求得直线的解析式，再和抛物线解析式联立，求得交点．
【详解】（1）解：令，得，
∴，
∵抛物线的顶点为点，
∴设抛物线解析式为，
将代入得，
∴；
（2）解：对于，令，得或3，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
代入点和点得，
，解得，
∴直线解析式为，
如图，连接，过P作轴，交于点Q，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴
，
当时，此时面积最大，最大为，
此时，
∴此时点；
∵，，
∴，
∴，
∴将点沿方向平移个单位，即向右平移，向下平移个单位，得到点，如图所示，
则，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
作点P关于直线对称点，过点作轴，交于点T，连接，，
则，，，
∴，即，
∴轴，
∴点T的横坐标为，
∴点T的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，，
∴点的横坐标为，
∴，
由对称可知，，
∴，
当且仅当、N、三点共线时取得等号，此时取得最小值，
∵，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）可知点，
∵，，
∴抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位得到抛物线，
∴，
∵，
∴，
如下图，连接，并延长交x轴于点R，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
、得，
，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴，
①当点K在右侧时，如图，设直线与x轴交于点H，
∵，
∴，
∴，
如图，过M作于点L，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
设直线解析式为，
代入点和点得，
，解得，
∴直线解析式为，
联立，
解得（负值舍去），
∴；
②当点K在左侧时，如图，
由（2）可知，，由①可知，，
∴点H与点A关于y轴对称，
∴，
∴此时点K在直线上，
同理可得，
综上所述，点K的坐标为或．
25．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】（1）易得，过作于点，则，利用勾股定理求出，即可求出；
（2）过作交于点，过作于点，利用边的关系可得，进而可证，可得，可得，再证是等腰直角三角形，最后证，即可得证；
（3）在上方作，且，证，则，所以点的轨迹为以为直径的圆，再画出符合题意的图形，证，求得，再解三角形即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
如图，过作于点，
∵，且，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（2）证明：如图，过作交于点，过作于点，
设，则，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上方作，且，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的轨迹为以为直径的圆，
记中点为，记圆交于点，连接，
则，当且仅当、、三点共线时，为直径时取等号，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
即，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
∴，
过作于点，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得，
∴．年级
平均数
中位数
众数
甲校区
72
a
75
乙校区
72
75
b