天津市红桥区2025~2026学年上册九年级期末数学试题【附解析】

这是一份天津市红桥区2025~2026学年上册九年级期末数学试题【附解析】，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在一些美术字中，有的汉字是中心对称图形．下面4个汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定性事件
3．的值等于（ ）
A．1B．C．D．
4．方程的两个根为（ ）
A．B．
C．D．
5．若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．在分别写有的四张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，线段，相交于点，，若，，，则线段的长为（ ）
A．3B．6C．9D．11
8．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，点在边上，将以点为中心逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长与边相交于点，连接，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A．B．8C．D．10
12．小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，且当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段．有下列结论：
①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为；
②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，的值为；
③当时，小明的前方有一堵高的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为，最多为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．不透明袋子中装有9个球，其中有3个红球、4个绿球、2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
14．在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，的大小为 （）．
15．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ．
16．将抛物线向上平移个单位长度，若平移后的抛物线与轴有两个不同的公共点，则的值可以是 （写出一个即可）．
17．如图，在中，为斜边的中点，．
（1）线段的长为 ；
（2）过点作的垂线，与相交于点，若，则边的长为 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形的顶点在格点上，以为直径的圆经过点，连接．
（1）的大小等于 （度）；
（2）点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题
19．如图，在中，，，，求，，的值．
20．已知反比例函数（为常数，）．
（1）若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围；
（2）若点在该反比例函数的图象上．
①求该反比例函数的解析式；
②当时，求的取值范围．
21．已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若，，求弦的长．
22．已知为的直径，交于点，为上一点，与相交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若，，求线段的长．
23．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图①所示．当时，的面积（单位：）与运动的时间（单位：）之间的对应关系如图②所示．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
②填空：四边形的边的长为_______cm；
③请直接写出的面积与运动的时间之间的函数解析式；
（2）当的面积时，求运动的时间的值（直接写出结果即可）．
24．在平面直角坐标系中，为原点，是等边三角形，点，点在第一象限，为边的中点．以点为中心，逆时针旋转，得，点，的对应点分别为．记旋转角为，其中．
（1）填空：如图①，当时，与相交于点，点的坐标为_____，点的坐标为_____；
（2）如图②，当时，与轴相交于点，求点，的坐标；
（3）为线段的中点，求的面积的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点的坐标；
（2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点，为线段上横坐标为的点．
①过点作轴的垂线，分别与抛物线、直线相交于点，当取得最大值为9时，求的值；
②连接，当取得最小值为时，求的值．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义“一个图形绕某一点旋转后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件．
【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的，
∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号，
∴ 该事件是随机事件．
故选C．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
直接代入已知三角函数值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选 C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故选D．
5．【正确答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限，根据一元二次方程根的情况求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先利用一元二次方程根与系数的关系判断出m和n的符号，从而确定点所在象限．
【详解】解：设方程的两个实数根为，，且，，
则，，，
所以，，
所以的横坐标为正，纵坐标为负，该点位于第四象限，
故选D．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有4种；
∴；
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线得到，即可求出长，再根据线段的和差解答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得，
∴，
故选C．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入函数关系式计算各点的横坐标，再比较大小．
【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，
即，
故选A．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，根据矩形的性质，证明，得到，证明，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：过点作，如图所示：
则，
∵矩形，，是边上的三等分点，，，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，先根据正方形的性质和旋转的性质得到，，，然后根据得到，即可得到证明选项．
【详解】解：∵是正方形，
∴，，
由旋转可得，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选B．
11．【正确答案】A
【分析】本题考查作垂线，勾股定理，圆的相关定义，根据作图得到，然后根据勾股定理求出长，然后再在中求出长即可．
【详解】解：连接，
由作图可知，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
12．【正确答案】D
【分析】根据进入滑行阶段的函数解析式与，，可求得此时的函数值，以此可判断①；
当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，此时纸飞机已在滑行阶段，由此可求得的值，从而可判断②；
先求出直线的解析式，再根据小明的前方有一堵高的围栏，求出抛物线的解析式中的范围，再当时，求出一次函数的值，再求出当时，的范围，两个范围合并即可得出小明距离围栏的水平距离最少与最多的值，由此可判断③．
【详解】解：因为当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，
所以当，时，，
故①正确；
落地点在，此时纸飞机已在滑行阶段，
所以落地点在直线上，且此时，
所以，
所以，
又因为在处，抛物线与直线高度相等，
所以，
所以，
故②正确；
当时，，，
当时，，
解得：，
所以直线的解析式为，，
当时，，
解得：，，
所以当时，，
又，，
所以，
当时，，
解得：，
所以当时，，
又，，
所以，
所以当时，飞机高度，可以飞过，
所以小明距离围栏的水平距离最少距离为，最多为，
故③正确，
综上所述，三个结论都正确，
故选D．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解概率公式．
根据概率的定义，绿球的数量与总球数的比值即为所求概率．
【详解】解：因为不透明袋子中装有9个球，其中绿球有4个，
所以从袋子中随机取出1个球是绿球的概率为.
14．【正确答案】2
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据反比例函数关系，设，利用已知条件求出比例系数，再代入计算的值．
【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为（）．
当时，，
代入，得，
解得：．
因此反比例函数表达式为．
当时，
．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式，列出不等式求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，即，
解得.
16．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数图象与轴的交点坐标，先求出平移后抛物线的解析式，再根据时对应的一元二次方程的判别式求出的取值范围即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：把抛物线向上平移个单位后得到的解析式为，即，
∵平移后的抛物线与轴有两个不同的公共点，
∴方程有两个不等实根，
即，
解得，
∴可取任意大于的数，例如.
17．【正确答案】；
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质求解；
（2）通过延长中线，再证明四边形是矩形，接着说明垂直平分，然后用勾股定理得到关于的方程求解，再利用勾股定理求得．
【详解】（1）解：∵在中，，D为斜边的中点，，
∴​．
（2）解：延长到点F，使，连接、、，如图．
∵D为斜边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形．
∴，，，．
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去）或，
∴．
18．【正确答案】；取圆与网格线的交点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接交于点，则点即为所作
【分析】本题考查圆周角定理的推论，矩形的判定和性质，弧、弦、圆心角的关系，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角是直角解答即可；
（2）先构造矩形，连接交于点，点即为圆心，然后连接并延长交圆于点，即可得到，然后连接交于点，根据圆周角定理的推论得到结论即可．
【详解】解：（1）∵是圆的直径，
∴.
（2）如图，取圆与网格线的交点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接交于点，则点即为所作．
理由为：∵是圆的直径，
∴，
∴是矩形，
∴，即为圆的圆心，
∴，
∴．
19．【正确答案】，，
【分析】本题考查了求角的正弦值，求角的余弦值，求角的正切值，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据正弦、余弦、正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，，．
20．【正确答案】（1）
（2）①②
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答．
（2）①直接把代入，进行计算，得，故，
②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大，
∴，
解得；
（2）解：①依题意，把代入，
得，
解得，
∴；
②由①得，
依题意，把代入，得；
把代入，得；
∵中的，
∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，
∴当时，则．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角性质，垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可；
（2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
过点O作于点F，则，
∵，，
∴，
∴，
∴．
22．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内角和定理，掌握切线的性质定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角得到，然后根据切线的性质得到，即可求出的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余和对顶角相等求出的度数，再根据三角形的内角和解答即可；
（2）连接，仿照（1）的解答即可得到，设，在中利用勾股定理求出x的值，然后根据线段的和差解答即可．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，即，
解得，
∴．
23．【正确答案】（1）①；； ② ③
（2）或
【分析】本题考查动点的图象，勾股定理，解直角三角形，根据点的运动过程分段计算函数解析式是解题的关键．
（1）①根据值，判断点M的位置，然后根据三角形的面积公式计算即可；
②根据勾股定理计算即可；
③分为；；三种情况，根据点M的位置，利用解直角三角形和三角形的面积公式计算即可；
（2）分为三种情况，令，解方程求出时间的值即可
【详解】（1）①解：当时，点M在上，，，，
∴；
当时，点M在上，，，，
∴；
当时，点M在上，，，
∴.
；
②过点D作于点E，
∵，，
∴，
∴是矩形，
∴，，
∴，
∴.
③当时，点M在上，，，
∴，
∴；
当时，点M在上，，
∴，
∴；
当时，点M在上，如图，过点M作于点F，
，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上所述；
（2）解：当时，令，
解得（舍）或，
当时，令，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，令，
解得或（不符合题意，舍去），
综上所述，当的面积时，求运动的时间的值为或．
24．【正确答案】（1），
（2），
（3）
【分析】（1）先根据等边三角形的性质和，得出，，从而可得，，，再求出，从而可得，进而求得，从而可求得点的坐标，然后分别求出直线的表达式，直线的表达式，联立可求得；
（2）先根据旋转的性质得出，，，，从而可求得点，再说明是等腰直角三角形，，然后利用勾股定理求得，从而可求得，于是可得，再利用解直角三角形求得点的坐标；
（3）先画出图形，确定点M运动的路径，再确定的面积最大、最小时的位置，再求解即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，，
∵为边的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∵以点O为中心，逆时针旋转，得，旋转角为，
∴，，，
∴，
点的横坐标为，
纵坐标为，
∴点，
设直线的表达式为，
则，
∴，
∴直线的表达式为，
设直线的表达式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
，
解得：，
∴.
（2）解：∵以点O为中心，逆时针旋转，得，旋转角为，
∴，，，，
∴点的横坐标为，
纵坐标为，
∴点，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
，
∴，
∵，
∴的对顶角为，
∴点到y轴的距离为，
点到x轴的距离为，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴；
（3）解：如图，点C在以O为圆心，半径为2的圆上，而点M在以O为圆心，长为半径的圆上，
显然，当与垂直时（第一象限处），此时M离最近，也就是此时最小，
设当最大的M点设为，则与M关于原点对称，
点O到的距离为，
因为M为的中点，
所以，
因为，
所以，
所以此时M到的距离为，，
所以到的距离为，
所以的最小值为，
最大值为，
即．
25．【正确答案】（1）抛物线的顶点的坐标为；
（2）①的值为1；②的值为．
【分析】本题考查了二次函数的综合应用．
（1）配方成顶点式，即可求解；
（2）①先求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且，点的坐标为，点的坐标为，求得，利用二次函数的性质求解即可；
②求得，设，，得到，利用根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：①∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得或，
∴点的坐标为，
令，则，
∴点的坐标为，
∵为线段上横坐标为的点，
∴点的坐标为，且，
∵过点作轴的垂线，分别与抛物线、直线相交于点，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴开口向下，在顶点处有最大值，
对称轴为直线，
最大值为，
∵取得最大值为9，
∴，
整理得，
解得（舍去）或，
∴此时二次函数的解析式为，
最大值在处取得，
∴；
②∵点的坐标为，点的坐标为，且，
∴，，
∴，
设，则，
令，则，
∴，，
整理得，
∴这是一个关于实数的一元二次方程，
∴，
整理得，
∵且，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即的最小值为（当且仅当时取到最小值），
∵取得最小值为，又，
∴，
∵的最小值为，，
∴，
解得或，
∵，，
∴，
∴舍去，
∴，
∴，
∴，，
此时的最小值为，
∵当且仅当时取到最小值为24，
∴把，，代入，
得，
整理得，即，
∴，
解得，
即的值为．
运动的时间
2
3
4
5
的面积
32
1
2
1
2
运动的时间
2
3
4
5
的面积
32