黑龙江省哈尔滨市香坊区2025~2026学年九年级上册12月期末数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省哈尔滨市香坊区2025~2026学年九年级上册12月期末数学试题【附解析】，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．2026的相反数是（ ）
A．2026B．C．D．
2．中华文明源远流长，数学与艺术在传统文化中交相辉映，绘就了许多充满智慧的精美图案．下列图形中，属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．2025年11月9日，第十五届全国运动会在广东奥林匹克中心开幕，本届运动会共有14000余名运动员参加竞技比赛项目．将14000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
6．按图中规律，第⑩个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．B．C．D．
7．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得新的抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
8．将直角三角形纸片按如图方式折叠两次再展开，折痕为和．下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图1，在中，，点分别为边上的一点，，连接，点，分别为上的一个动点，连接，若，，设，，点从点运动到点的过程中，当关于的函数的部分图象如图2所示，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12．计算： ．
13．把多项式分解因式的结果为 ．
14．不等式组的解集为 ．
15．如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则 度．
16．定义运算：，例如：，则的运算结果是 ．
17．不透明的袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是 ．
18．如图，为的直径，为弦，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点，连接并延长交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；若直线经过点，，则弧的长为 （结果保留）．
19．在，，，点为直线上一点，若，，则的长为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论：
①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
21．先化简，再求代数式的值，其中．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，，都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，画出以为一边的（点为格点），使其面积为4，且一个角的正切值为；
（2）在图2中，画出以为底边的等腰（点为格点），且，再作出边上的高（保留作图痕迹，体现作图过程）．此时，线段与的比值为______．
23．如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，．
（1）求的值；
（2）过点作直线，求直线的解析式．
24．如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）．
25．年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个．
（1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
（2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
26．内接于，为直径，弦交于点，连接，点在弧上，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，过点作于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作交于点，交于点，点为中点，，，求的长．
27．在平面直角坐标系中，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在轴上且在点的下方，点在上，，连接，，点为中点，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，，求点的坐标．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义求解即可得．
【详解】解：2026的相反数是，
故选B．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形；根据轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形：绕某一点旋转后能与自身重合的图形；即可解答．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形(绕中心旋转与自身重合)；
B、是轴对称图形(有多条对称轴)，但绕中心旋转后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选B．
3．【正确答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：．
故选B．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查简单组合体的三视图，掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
【详解】解：从正面看得到3列正方形的个数依次为2，1，1．
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理和正切三角函数的应用，熟练掌握正切三角函数的概念是解题的关键．先用勾股定理求出的长，再根据求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴,
∴．
故选D．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了图形的变化类问题，正确找出规律是解题的关键．找到图形的变化规律，即可得出答案．
【详解】解：∵第个图案中有个，即个，
第个图案中有个，即个，
第个图案中有个，即个，
第个图案中有个，即个，
，
∴第个图案中有个．
∴按此规律，第⑩个图案中有个黑色三角形．
故选B．
7．【正确答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．
【详解】解：根据平移法则得新抛物线的解析式为：
．
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线分线段成比例定理，关键是知识点的灵活应用；
由折叠可得，据此逐一判断各选项即可．
【详解】解：由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，C选项正确，不符合题意；
∵
∴
∴，D选项错误，符合题意；
故选D．
9．【正确答案】C
【分析】连接，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，求出即可．
【详解】解：连接，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质．
证明是等边三角形，得到，进而得到，根据得到，根据三角形外角的性质得到，即，证明得到，可知当时，，即，作，根据三线合一及勾股定理得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵当时，，
∴，
即当时，，
∴，
作，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选A．
11．【正确答案】x≠4．
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x-4≠0，
解得，x≠4，
故答案为x≠4．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的加法，先化简，，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为
13．【正确答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：
=
=
14．【正确答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键，先分别解两个不等式，再求不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
15．【正确答案】40
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质，
先根据圆内接四边形的性质求出，进而求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴．
16．【正确答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据定义运算规则，将和代入公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
17．【正确答案】
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到相同颜色的小球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果数为2，
所以两次都摸到相同颜色的小球的概率＝＝．
故答案为．
18．【正确答案】/
【分析】本题考查了弧长公式，解直角三角形，等腰三角形的性质，尺规作图等知识点．连接，由作图可得，，垂直平分，求出，由,，得到，，然后解，求出，再由弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，
由作图可得，，垂直平分，
设，
∴，
∴
∴在中，由得，，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴在中，
∴弧的长度：
19．【正确答案】3或5
【分析】本题考查的是解直角三角形，根据题意，分点D在边上和在边延长线上两种情况，结合解直角三角形求出的长即可解答．
【详解】解：当点D在边上时，如图，
∵在中，，，，
∴
∴设，则，
又，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴,
∴；
当点D在边延长线上时，如图，
同理可得．
综上，的长为3或5．
20．【正确答案】①③/③①
【分析】①运用反比例函数几何意义得出，求解即可；
②运用反比例函数几何意义得出，推出，再比较即可；
③首先求出，并根据勾股定理求值，再将绕逆时针旋转至，证明，得到，最后求出点，点坐标，即可求出直线的解析式；
④运用轴对称的性质得到当点、点、点三点共线时，有最小值，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：①：∵点和点在同一反比例函数上，
∴，即，
∴．
故①符合题意；
②：∵正方形，
∴，
∵点和点在同一反比例函数上，
∴
即
∴
∴点为中点时，，则点为的中点，
故②不符合题意；
③由②可得，
∴，
∴的等腰直角三角形．
∵，
∴．
∵将绕逆时针旋转至，
∴，
∴，，．．
∴．
∴三点共线，
∵，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，点．
∵设直线的解析式为：，
代入点，点，
，
解得：．
∴设直线的解析式为：．
故③符合题意；
④：作点关于的对称点点，连接，
当点、点、点三点共线时，有最小值．
∵正方形，且边长为，
∴，．
∵点关于的对称点点，
∴．
在中，
∴．
即的最小值为，
故④不符合题意．
∴符合题意的有①③．
21．【正确答案】，
【分析】此题考查了分式的化简求值，二次根式的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将括号内的式子通分运算，再将除法化为乘法进行约分计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
当时，
原式．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解，
【分析】（1）在方格纸中作，使其正切值为，由三角形的面积，确定点和点的位置即可；
（2）由矩形的性质，可得点，结合等腰三角形的判定和性质，可得，根据勾股定理，结合三角形的面积公式，可得线段与的比值．
【详解】（1）解：如图，的面积为，的正切值为．
，
．
（2）解：如图，是以为底边的等腰三角形，为边上的高．
∵，，
∴是以为底边的等腰三角形，
由矩形的性质可得为的中点，
∴，
∴是边上的高，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∴线段与的比值为．
23．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质、反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
（1）先根据矩形的性质和线段比设线段的值，再根据点在反比例函数上求点坐标，并求出，然后证明四边形是矩形，根据等积法求出点坐标，将点代入，即可求解；
（2）先求直线解析式，再根据，值相同，设直线解析式，最后将点代入求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，设，则．
∵点在函数的图象上，
∴，，
∴．
∴，．
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，，
∴．
∴．
∵点在函数的图象上，
∴．
（2）∵由（1）得四边形是矩形，
∴，，
∵，．
∵设直线解析式，
∴，
解得．
∴直线解析式．
∵设直线解析式，
又∵，
∴，
∵点在直线上，
∴代入点
解得．
∴直线解析式．
24．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据证明．
（1）根据等边三角形的性质和证明，再证明，最后利用平行四边形的判定进行证明即可；
（2）根据平行四边形的性质、全等三角形的性质，等边三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
．在和中，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
．
，
，
．，
，
．
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
与相等的角有
25．【正确答案】（1）甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元；
（2）最多可以采购个乙种型号玩偶．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程．
（1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可；
（2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可．
【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得
，
两边同乘得，，
，
解得．
经检验是分式方程的解．
．
答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．
（2）解：设可以采购个乙型玩偶，
根据题意得，，
，
，
解得．
答：最多可以采购个乙种型号玩偶．
26．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【分析】（1）根据相等的圆心角所对的弦相等论证即可；
（2）利用截长补短法做辅助线论证即可；
（3）通过辅助线构造三角形全等，将构造在直角三角形中，利用三角函数求解即可．
【详解】（1）证明：连结，
∵，
，
，
，
，
∵，
∵，
．
，，
．
．
（2）证明：在上取一点，使，连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：延长至，使，连接，
作交延长线于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，
∵是的中点，，
，
∴，
∴，
，，
，
∴
∵，
∴，
，，
，
，
，
，
，
为直径，
，
∵中，，
，
，，．
中，，
中，，
，
∵，
，
为直径，
，
中，，
，
．
27．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先求出，再将点代入可得的值，即可得抛物线的解析式；
（2）作轴于点，轴于点，先求出，可得，
中，．中，．可得，得出．，再由三角形面积公式求解即可；
（3）作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，先求得．再证明．可得．．．再列出方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线交轴于点，
．
．
．
．
，
解得：．
∴抛物线的解析式；
（2）解：时，
解得：．
，即，
作轴于点，轴于点，
可得，
中，．
中，．
，
得出．
．
，
；
（3）解：作轴于点，取中点，连接，作轴于点，于点，得矩形，矩形，
．
，
，
，
，
轴,
．
．．
，得出．
．
．
．
设，
．
．
．
．
中，．
中，．
．
，（舍）．
．