黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2025~2026学年九年级上册12月期末数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县2025~2026学年九年级上册12月期末数学试题【附解析】，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象必经过点（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ）
A．2027B．C．2023D．
3．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．、是方程的两个根，则（ ）
A．4B．10C．D．
5．如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正方形的外侧，作等边，连接DE、AC，相交于点F，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ）
A．40B．80C．160D．
8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（ ）
A．1B．4C．8D．2
10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB ．
12．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B对应点的坐标是 ．
14．如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是 ．
15．如图，小华同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，得边离地面的高度，，则树高是 ．
16．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ．
17．如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则 ．
18．已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则式子的值是 ．
三、解答题
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）．
21．如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
（1）求，，的值；
（2）当时，求不等式的解集．
（3）求的面积．
23．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”．
（1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由；
（2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值．
24．《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
A—哪吒 B—太乙真人
C—申公豹 D—敖丙
（1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____；
（2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率．
25．如图，在中，，点D在上，连接，点E在上，连接，，且．
（1）求证：；
（2）若点D是的中点，求证：．
26．“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人．
（1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率．
（2）其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？
27．观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题，在图1中，，是中边的二等分点，图2中、是边的三等分点，图3中、、是边的四等分点…图4中、、、是边的五等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，，，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：
①当是边的二等分点： __________________；
②当、是边的三等分点： __________________；
③当、、是边的四等分点： __________________；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第④个等式： _____________．
（2）从①，②，③中，任选一个，写出求解过程．
（3）请你猜想出的结果（用含的式子表示）．
28．如图1，在正方形中，，点E在边上，连接，且，点F是的中点．
（1）求的长；
（2）如图2，过点F作直线，分别交，于点G，H，且，求的长；
（3）如图3，过点F作的垂线，分别交，，于点M，O，N，连接，求的长．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．根据反比例函数定义，设解析式为，代入已知点求出，再验证各选项是否满足解析式．
【详解】解：∵反比例函数图象经过点，
∴设解析式为，代入得，
∴，
∴解析式为．
验证选项：A．：当时，，不满足；
B．：当时，，不满足；
C．：当时，，不满足；
D．：当时，，满足．
∴函数图象必经过点．
故选D．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，求代数式的值，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较系数求出和，再计算的值，熟练掌握配方法是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵用配方法将方程转化为的形式，
∴，，
∴，
故选B．
3．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上面看到的图形，据此求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，且有四条竖直的线段，其中两条实线分别在两条虚线的外侧，即看到的图形如下：
，
故选D．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，即，，
∴．
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
又点是边的中点，
，
，
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】由等腰可求度数，则度数可知，证明，可得，在中利用三角形内角和定理可知度数．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
又，
∴．
∴．
∵是等边三角形，
∴．
又，
∴，且，
∴．
∴．
∴．
故选A．
7．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键．
由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查由函数图象解不等式，熟练掌握不等式与函数图象的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图象的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图象对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图象在一次函数图象上方，
即当时，的取值范围是或，
故选C．
9．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值．
【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D，
∴设点D的坐标为：，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选B．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键．
根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可．
【详解】把代入反比例函数得，把代入，得，
∴，故①错；
联立两函数解析式，解得，
∴，故②对；
观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对；
由、、可知，，
∴，故④错．
综上，结论②③正确，正确的个数是2个，
故选B．
11．【正确答案】∠D=∠C或∠E=∠B或
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB．
当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB
12．【正确答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
解得.
13．【正确答案】或
【分析】本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案．
【详解】解：，以原点O为位似中心，相似比为，
对应点的坐标是点B的横纵坐标都乘以或，
的坐标是或.
14．【正确答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定及性质可得，进而可求解．
【详解】解：，且，
，
，即：，
解得：，
（），
树高是.
16．【正确答案】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可．
【详解】解：作轴，轴，垂足分别为，
则：，
∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）.
17．【正确答案】15
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可．
【详解】解：过点作交的延长线于点，如图：
，
，
、，
，
、，
，
，
，
，
，
，
、，
，
设，则、，
，
，
解得，
.
18．【正确答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，联立两个函数解析式得到一个关于x的一元二次方程，进而得到，再求出，则可推出，据此可得答案．
【详解】解：联立得，
∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点，
∴，，
∴
.
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了因式分解法和公式法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法法求解即可．
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得．
（2），
其中，
∴
∴，
解得．
20．【正确答案】见详解
【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．过影子顶端与竹竿顶端作射线，交点P即为所求；连接光源P与影子顶端F，过E作垂直于地面的直线，与交于点M，即为所求．
【详解】解：如图，点P为光源的位置，线段是影子为的竹竿．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可；
（2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可．
【详解】（1）证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，根据勾股定理得，，
∴，
解得，
∴，
∴菱形的面积．
22．【正确答案】（1）；；
（2）
（3）
【分析】（1）将点坐标代入解析式即可；
（2）求出直线与双曲线的交点即可得出结论；
（3）求出两点的坐标即可求得三角形的面积.
【详解】（1）解：将点坐标代入得，
解得，
将点坐标代入得，
，
解得，
将点坐标代入得，
∴；
（2）解：由（1）知，
由，
得或，
则直线与双曲线的另一个交点坐标为：
由函数图象可知：
当时，直线在双曲线y的上方，且都在y轴的右侧
所以当时，不等式的解集为；
（3）解：由得，
∴点的坐标为，
∵得，，
∴点的坐标为，
∴的面积为.
23．【正确答案】（1）该方程是“联合方程”，见详解
（2）的值为，的值为6
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键．
（1）根据“联合方程”的定义进行计算即可；
（2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可．
【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下：
在一元二次方程中，，，，
，
一元二次方程是“联合方程”；
（2）解：是关于的“联合方程”，
，
是此“联合方程”的一个根，
，
即，
解得，
的值为，的值为6．
24．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）利用概率公式直接求解；
（2）先画出树状图，再求概率．
【详解】（1）解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张，
∴从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为.
（2）画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种，
∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为．
25．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，
（1）由两角相等得到，根据相似三角形的性质即可得到，从而得到答案；
（2）点D是的中点，得到，再由（1）中，推出，进而得到，即可得到．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵点D是的中点，
∴．
又∵，
∴，
又，
∴，
∴．
26．【正确答案】（1）；
（2）降价元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从年的万人增加到年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：设该哑铃组每组应降价m元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元，
27．【正确答案】（1）；（2）①；②；③；（3）
【分析】（1）①、②、③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得；
（2）根据平行可得两三角形相似，则可得三角形面积的关系；
（3）根据前几问的结论寻找规律即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，过五等分点的线段与底边平行，
∴，，
即：；
（2）解：①∵，过二等分点的线段与底边平行，
∴，，
即：；
②∵，过三等分点的线段与底边平行，
∴，，
即：；
③∵，过四等分点的线段与底边平行，
∴，，
即：；
（3）解：∵、、、是边的等分点，过各等分点的线段分别与底边平行，
则各三角形的相似比为，
面积比为，
∴．
28．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题意易得是直角三角形，进而得到，由勾股定理得，进而得到的长；
（2）过点G作于点P，连接，证得四边形是矩形，进而证得，设，则，易证得是线段的垂直平分线，则，由（1）可知，在中，由勾股定理得，列方程求解的值，从而得到的长；
（3）连接，过点O作于点Q，于点T，证明四边形是正方形，进而得到是线段的垂直平分线，证得，进而可证得是等腰直角三角形 ，由勾股定理得，从而得到的长．
【详解】（1）解：四边形是正方形，，
，，
是直角三角形，
在中， ，
，
由勾股定理得：，
，
；
（2）解：过点G作于点P，连接，如图所示：
，
是直角三角形，
，
四边形是矩形，
，，
，
设，则，
在和中，
，
，
，
，
，
在中， ，
，
又点F是的中点，
是线段的垂直平分线，
，
由（1）可知：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
（3）解：连接，过点O作于点Q，于点T，如图示：
，
四边形是矩形，和都是直角三角形，
在正方形中，，
是等腰直角三角形，
，
矩形是正方形，
，，
点F是的中点，，
是线段的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
是等腰直角三角形 ，
由勾股定理得：，
，
由（1）可知：，
．