黑龙江哈尔滨部分学校2025~2026学年七年级数学上册期末试题【附解析】

这是一份黑龙江哈尔滨部分学校2025~2026学年七年级数学上册期末试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列结论不正确的是（ ）
A．单项式的次数是3B．单项式的系数是3
C．多项式是四次三项式D．多项式的次数是4
2．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．下午14点20分，时钟的时针与分针夹角的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
4．已知，为系数，且与的差中不含二次项，的值（ ）
A．B．C．D．
5．将1，2，3，4，…，60这60个自然数，任意分成30组，每组两个数，将每组的两个数中的任意一个数记做a，另一个数记做b，代入代数式中进行计算，求出结果，30组分别代入后可求出30个结果，则这30个值的和的最大值是（ ）
A．2730B．1565C．1735D．1830
6．已知，， 那么( )
A．B．
C．D．
7．已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（ ）
A．21B．C．23D．24
8．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（ ）
A．B．C．或D．或
9．有一数值转换器的原理如图所示，若开始输的值5，可发现第一次输出的结果8，第二次输出的结果4，第三次输出的结果2，第四次输出的结果1……则第8次输出的结果是（ ）
A．1B．2C．4D．8
10．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①B对应的数是；
②点P到达点B时，；
③时，；
④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
二、填空题
11．已知三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：的结果为 ．
12．如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ．
13．已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm．
14．如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．

15．将8张长为，宽为的小长方形纸片，按图1和图2所示的两种方式放在长方形内（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为．若长方形的长比宽大，则的值为 ．
16．对于任意两位数x和y，若x和y的个位数字和十位数字均为偶数，且，那么我们称这两个数的和为“偶和数”，这两个数的差为“偶差数”，把“偶和数”与“偶差数”的和与4的商记为．例如： ，则“偶和数”为，“偶差数”为，所以．
（1）计算： ；
（2）若能被7整除，则所有符合条件的x的值之和为 ．
三、解答题
17．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果．
（1）计算的表达式；
（2）求正确的结果的表达式；
（3）晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值．
18．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”．
（1）若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值；
（2）若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值；
19．已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上．
（1）如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度；
（2）若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度．（用含a的式子表示）
20．将连续的奇数排成如图1所示的数阵：
（1）如图2，用十字形框按如图所示的方式任意框五个数．若框住的5个数中，正中间的一个数为15，求这5个数的和．设正中间的数为，请用式子表示十字形框内五个数的和，通过你的计算，你发现这5个数的和与正中间的数有什么关系？
（2）十字形框中的五个数之和能等于105吗？能等于2025吗？请说明理由．
（3）请仿照图2，设计两个你喜欢的图形，使框住的几个数的和为135，在下面两个图中框出来．
21．已知关于x的方程．
（1）若，求该方程的解；
（2）某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值；
（3）若该方程有正整数解，求整数m的最小值．
22．华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．
【知识储备】
点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．
【初步运用】
（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______；
（2）已知数轴上某个点表示的数为．
①若，则______；
②若，则______；
【深入探究】
（3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c．
①______；
②若，则点表示的数为______；
③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______．
23．综合实践
24．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
（1）直接写出A，B，C三点所表示的数；
（2）动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．
①求何时M与Q相距1个单位长度；
②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图1，、是内的两条射线，平分，，，求的度数．
（2）如图2，已知、、是内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数．
（3）如图3，数学老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，请你猜想α、β和γ之间的数量关系，并说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数．
根据定义逐一判断即可．
【详解】解：选项A中，的次数为，正确；
选项B中，的系数为，不是3，故不正确；
选项C中，的最高次项的次数为，且有三项，故为四次三项式，正确；
选项D中，的最高次项的次数为，故次数为4，正确；
故选B．
2．【正确答案】C
【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可．
【详解】解：∵ ，
又∵ （指数2025为奇数），
∴ 原式．
故选C
3．【正确答案】B
【分析】根据在下午14点20分，计算出分针与时针分别的旋转角度，再计算两针开始转时相差2×30°，则即可计算这时时针与分针所成的角．
【详解】解：下午14点20分，分针从数字12开始转了20×6°=120°，时针从数字2开始转了20×0.5°=10°，而两针开始转时相差2×30°
∴这时时针与分针所成的角的度数为120°-2×30°-10°=50°．
故选B．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查整式的加减．
根据题意列出式子，去括号后合并同类项，根据不含二次项列出方程即可解决问题．
【详解】解：
，
∵与的差中不含二次项，
∴，，
∴，，
∴．
故选A．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了去绝对值，整式的加减，代数式求值，数字类规律题，根据题意化简代数式是解题的关键．
设各组中的数的a比b大，然后去掉绝对值号化简为，所以当30组中的较大的数a恰好是31到60时．这30个值的和的2倍最大，再根据求和公式列式计算即可得解．
【详解】解：设这两个数的较大数为a，较小数为b，即，
则 ，
∴30组的和等于30个较大数的和的2倍，
则这30个值的和的最大值．
故选A．
6．【正确答案】A
【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠B的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【详解】∵∠B=20.5°=20°30′，
∴，
故选A．
7．【正确答案】B
【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可．
【详解】解：设，则关于y的方程化为，
∵关于x的一元一次方程的解是，
∴关于z的一元一次方程，的解是，
∴，
∴；
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：，
∵，即，
∴，即线段是最长的一段，
∵最长的一段为 ，
∴，解得，
∴这条绳子的原长为；
（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：，
，
∴线段是最长的一段，
∵最长的一段为，
∴，解得，
∴，
∴这条绳子的原长为；
故选C．
9．【正确答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究、代数式求值，理解数值转换器的原理，找到变化规律是解答的关键．
根据数值转换器的原理求出前几个输出的结果，发现从第二次输出结果开始，4、2、1每3个数循环重复出现的规律，进而求解即可．
【详解】解：由题意，若开始输入的值是5，则：
第一次输出的结果是，
第二次输出的结果是，
第三次输出的结果是，
第四次输出的结果是，
第五次输出的结果是，
……，
发现，从第二次输出结果开始，4、2、1每3个数循环重复出现，
又，
∴第次输出的结果与第二次输出结果相同，是4．
故选C．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长，
再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④；
【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，
∴B对应的数为，故①正确；
∵，
∴点P到达点B时，，故②是正确的；
当点P在点B右边时，
∵，
∴，
∴；
当点P在点B左边时，
∵，
∴，
∴，
∴时，或，故③错误；
在点P的运动过程中，当点P在点B右边时，
；
在点P的运动过程中，当点P在点B左边时，
；
∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误；
∴正确结论有①②，
故选A．
11．【正确答案】
【分析】先由三个有理数在数轴上的对应位置得到，且，进而确定，再由绝对值代数意义去绝对值，然后去括号、合并同类项化简即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，且，
则，
.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，灵活运用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键，根据方程解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可．
【详解】解：把代入方程，
，
，
，
，
由题意得：，
解得：，
.
13．【正确答案】10
【分析】本题考查了求线段的长度，解决本题的关键是根据比例求出相关线段长．设，，，，根据，得到，求得，，根据线段中点的定义即可得到结论．
【详解】解：如下图：
、C两点把线段分成三部分，
设，，，，
是线段的中点，N为中点，
，，
，
，
，
，，
.
14．【正确答案】或
【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的三等分线，
∴或，
∵，，
∴当时，；
当时，；
综上，的度数为或．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了代数式、整式的加减．解题的关键是理解题意，根据图形将长和宽及、，表示出来，
根据图计算出长方形的宽为，再求得长方形的长；然后分别表示出、，再计算即可得出答案．
【详解】解：由图1长方形可知，宽为，
长方形的长比宽大，
则长为，
由图可知：
，
，
.
16．【正确答案】24；154
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式加减法，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键．
（1）根据的定义解答即可．
（2）根据题意表示出，得出x能被14整除，且x是两位数，x的个位数字和十位数字均为偶数，即可解答．
【详解】解：（1）.
（2）根据题意可得，
则能被7整除，即x能被14整除，
则或28或42或56或70或84或98，
∵对于任意两位数x，x的个位数字和十位数字均为偶数，
∴或42或84，
.
17．【正确答案】（1）
（2）
（3）结果的大小与的取值无关，0
【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键；
（1）由得，将C、A代入计算可得；
（2）将A、B代入计算即可；
（3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可.
【详解】（1）解：∵
∴
.
故的表达式为.
（2）解：
.
故正确的结果的表达式为.
（3）解：由（2）得
∵代数式中无字母c
∴其值与c无关是对的
将，代入得：
.
18．【正确答案】（1）
（2）n的值为0或1
【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；
（1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解；
（2）设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，进而分类进行求解即可．
【详解】（1）解：解方程得：；
解方程得：；
∴，
解得：；
（2）解：设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，
当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得；
当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得；
综上所述：n的值为0或1．
19．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由点是线段的中点可得，然后根据线段之间的和差关系即可得出答案；
（2）由，，可得，，由，，可得，，然后根据即可得出答案．
【详解】（1）解：线段，点是线段的中点，
，
，，
；
（2）解：点在线段上，，，，
，，
，，，
，，
．
20．【正确答案】（1）75；；十字框中的五个数的和是中间数的5倍
（2）和不能等于105；能等于2025，理由见详解
（3）见详解
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键．
（1）将十字框中的五个数相加即可得出结论；
（2）设中间的数为x，其它4个数分别为，令其相加等于135；和2025算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论；
（3）根据数阵的特征得到中间的数，即可求解．
【详解】（1）解：这5个数的和为；
∵中间数为a，
∴其余四个数分别为：，
则十字框中五个数之和为；
∴十字框中的五个数的和是中间数的5倍；
（2）解：和不能等于105；能等于2025，理由如下：
设中间的数为x，其它4个数分别为，
5个数之和为
若和能等于105，则，
解得：，
∵21在第一列，
∴十字形框无法框中间为21的五个数，
即和不能等于105；
若能等于2025，则，
解得：，405为奇数，且405在中间一列，可以圈出十字框；
（3）解：如图，即为所求．
21．【正确答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键．
（1）依据题意得，当时，方程为，求解即可；
（2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可；
（3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解；
【详解】（1）解：当时，方程为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为，
∴是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵取正整数，
∴为的正整数倍数．
又∵取最小值，
∴，
∴，
∴的值为．
22．【正确答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
（1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解；
（2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解；
（3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解；
②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可；
③分情况讨论，求得，或，据此求解即可．
【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为.
（2）①若，则或，
解得或.
②若，则（舍去）或，
解得.
（3）①由数轴知，，∴，，∴.
②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故4或12；
③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴，
故，
当时，，则，故，
∵最小，故时，取值最小；
当时，，，∴，即；
当时，，，∴（不成立，舍去）；
当时，，，∴，即，
综上，，或，
当时，、两点之间的距离为；
当时，、两点之间的距离为；
∴、两点之间的距离为3或5．
23．【正确答案】任务1：100千克；任务2：选方案二邮寄，小南家支付的邮费更省，省34元；任务3：方案一利润更高，理由见详解
【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式．
任务1：根据表格中的数据列出算式求解即可；
任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求解判断即可；
任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，进而判断求解即可．
【详解】解：任务1：（千克），
∴这10箱沃柑的总质量为100千克；
任务2：由表格可得，
，，，，
∴10箱沃柑中重量为的有1箱，重量为的有4箱，重量为的有3箱，重量为的有2箱，
方案一：（元）；
方案二：
∵这10箱沃柑的总质量为100千克，
∴（元），
∵，（元），
∴选方案二邮寄，小南家支付的邮费更省，省34元；
任务3：
方案一：邮寄10箱沃柑的利润为（元），
方案二：邮寄10箱沃柑的利润为（元），
∵
∴方案一利润更高．
24．【正确答案】（1）A点表示的数为；B点表示的数为，C点表示的数为4
（2）①秒或秒；②不存在，理由见详解
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上的翻折等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点．
（1）根据数轴上的点的移动左减右加的规律得到A、C两点表示的数，再根据数轴折叠的性质可知点B表示的数即为A、C两点的中点，即可解答；
（2）①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离的公式，列出方程解答即可；
②同①分别表示出和，再根据题意列出整式，然后根据项无关得到结果进行对比即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位到达A点，
∴A点表示的数为，
∵再向右移7个单位到达C点，
∴C点表示的数为，
∴A、C两点间距离为7，
∵将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，
∴B点表示的数为；
（2）解：①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，
∴，
∵M与Q相距1个单位长度，
∴，即或，
解得或，
∴当运动时间为秒或秒时，M与Q相距1个单位长度；
②设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，P点表示的数为，
∴，，
∴当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
当时，
，
当，即时，的值始终保持不变，
此时；
∴不存在一个有理数m，使的值始终保持不变．
25．【正确答案】（1）；（2）或；（3），理由见详解
【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系．
（1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数；
（2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数；
（3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系．
【详解】解：（1），
．
，
．
，
平分，
．
；
（2），
．
平分，
．
，．
．
当在的左侧时，
，
，即．
在内．
．
当在的右侧时，
；
（3），理由如下：
平分，平分，
，．
．
，
．
，即．
怎样邮寄沃柑更经济?南宁武鸣沃柑是全国名特优新农产品，皮薄易剥，汁多味甜．小南家的沃柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出．
素材1
一客户在小南家定了10箱沃柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数不足的千克数记为负数，记录如表所示：
与标准质量的差值（单位：千克）
0.3
0.1
箱数
1
4
3
2
素材2
据调查，某快递公司收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元．
素材3
据小南家常年的邮寄经验，包裹越大，沃柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，沃柑几乎无受损（受损忽略不计）；一个包裹质量在80千克至120千克之间，沃柑的受损率估计为，破损部分由小南家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金．
任务1
计算这10箱沃柑的总质量．
任务2
方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹；
方案二：10箱打成一个大包裹邮寄，
请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小南家支付的邮费更省?省多少钱?
任务3
今年沃柑的成本价为3元/千克，售价为8元/千克．结合任务2，邮寄10箱沃柑哪种方案利润更高?