安徽省淮北市部分学校2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】

这是一份安徽省淮北市部分学校2025~2026学年上册12月月考九年级数学试题【附解析】，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
2．下列函数中，是关于的二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．两地的实际距离为500千米，而地图上距离是5厘米，这幅图的比例尺是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，已知，，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知的三个顶点的坐标分别为，以原点为为位似中心将缩小，缩小后的与的对应边的比为，则三点坐标分别为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列命题错误的是（ ）
A．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
B．切线垂直于经过切点的半径
C．将一次函数图象向上平移1个单位得到的图象
D．对角线相等的四边形是矩形
8．如图，在正方形中，为边上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，使得，连接和，令，则为（ ）
A．B．C．D．
9．关于二次函数，下列命题中正确的是（ ）
①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个．
A．①③B．①③④C．①④D．②
10．如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知，则锐角的取值范围是 ．
12．如图，都是的切线，，则 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，是函数图象上的两点，过点作轴的垂线与射线交于点若，则的值为 ．

14．如图，在中，，，直线，是上的动点（端点除外），射线交于点．在射线上取一点，使得，作，交射线于点．设，．当时， ；在点运动的过程中，关于的函数表达式为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．若，且，求，的值．
17．如图，在由边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）以点为位似中心，在正方形网格内画出的位似图形（其中点的对应点为），且与的相似比为；
（2）在（）的条件下，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，请画出线段．
18．如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为．
（1）①当运动停止时，的值为 ．
②设，之间的距离为，则与满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ．
（2）设的面积为，
①求的表达式（用含有的代数式表示）；
②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？
19．如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
（1）求证：；
（2）若半圆O的半径为8，且，求的长．
20．请根据素材，完成任务．
21．如图，在等腰中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，到达时停止运动，设运动时间为秒，过点作于点，线段的长度与线段的长度之和为，线段长度与点运动的路程之比为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
22．在正方形中，点E在边上，点F在线段上，．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长，交边于点G，若，，求的长．
23．如图，直角坐标系中，圆与轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知．
（1）抛物线对称轴为直线______，_______；
（2）在下方的抛物线上有一点P，连接，求面积的最大值；
（3）在点右边的抛物线上有一点，连接，使，求点坐标．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义，即可进行解答．
【详解】解：A、C、D找不到一个点，使A、C、D绕该点旋转后能与原来的图形重合，故A、C、D不是中心对称图形，不符合题意；
B能找不到一个点，使B绕该点旋转后能与原来的图形重合，故B是中心对称图形，符合题意；
故选B．
2．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．根据二次函数的定义，逐个判断即可．
【详解】解：A、是是二次函数，符合题意；
B、不是二次函数，不符合题意；
C、是一次函数，不符合题意；
D、不是二次函数，不符合题意；
故选A．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了比例尺的计算，比例尺是图上距离与实际距离的比，将题目中单位统一，再计算即可．
【详解】解：∵实际距离，图上距离，
∴比例尺
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理．直接由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】此题考查了解直角三角形，关键是熟练锐角三角函数的定义．画出图形，表示出，再根据的定义求解即可
【详解】解：如图所示，，

则．
故选A．
6．【正确答案】A
【分析】此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点，以原点为为位似中心经过位似变换得到的对应点的坐标是或．
根据相似比为可得：A、B、C三点坐标分别乘以或即可算出它的对应顶点的坐标．
【详解】解：∵，以原点为位似中心将缩小，缩小后的与的对应边的比为，
∴三点坐标分别为，
故选A
7．【正确答案】D
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及相似三角形的判定、切线的性质、一次函数图象的平移和矩形的判定．
【详解】解：A.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，是相似三角形的判定定理，正确；
B.切线垂直于经过切点的半径，是圆切线的性质，正确；
C.将一次函数的图象向上平移1个单位，得，正确；
D.对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线相等但非矩形，错误；
∴ 错误的命题是D．
故选D
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，解决本题的关键是求解出点H为的中点，进而得到为等腰三角形．
作辅助线，延长交于点H，连接，先使用边角边的判定方法证明与全等，即可得，，再证明与全等，再证明为等腰三角形，再结合三角形内角和为即可求解度数．
【详解】解：延长交于点H，连接，如图，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，使得，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点为边上靠近点的三等分点，
设，，
则，，
∴，
在中，，
即，
整理可得，，
∴，
∴点H为中点，
∴，
即为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，
则为
故选B．
9．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点个数，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．逐一判断每个命题的正确性：命题①通过代入推导判别式非负；命题②举反例说明不一定成立；命题③计算判别式恒正；命题④说明与坐标轴交点个数错误.
【详解】解：命题①：
由，得，
，
成立；
命题②：
由，令，
，解得，
方程有两个相等的实数根，
一元二次方程有两个不相等的实数根不成立；
命题③：
，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根成立；
命题④：
当时，抛物线与轴无交点，与轴有1个交点，公共点数为1，
二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个不成立
正确命题为①③．
故选:A．
10．【正确答案】A
【分析】通过画图发现，点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当在对角线延长线上时，最大，连接，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：如图，当在对角线延长线上时，最大，连接，
由旋转得：，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在以点A为圆心，半径为2的圆上，
在中，，
∴，
即长度的最大值为，
故选A．
11．【正确答案】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角函数值的性质，根据，且随着的增大而减小，随着的增大而增大，即可得出结果．
【详解】解：∵，且随着的增大而减小，随着的增大而增大，
∴当时，.
12．【正确答案】6
【分析】本题考查了切线长定理，
根据切线长定理，可得，得到，由此即可解决问题．
【详解】解：∵都是的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴，
∴，
∵，
∴.
13．【正确答案】
【分析】作轴于点，设直线与轴交于点，根据，得，所以，即可得到点点，，代入即可求出答案．
【详解】解：如图，作轴于点，设直线与轴交于点，
点，，，
点，，，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴点，，
点A，是函数图象上的两点，
∴，
解得，
∴
14．【正确答案】2；
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
易得，则，得出，代入数据即可求出；根据，得出，设，则，通过证明，得出，则，进而得出，结合，可得，代入各个数据，即可得出 关于的函数表达式．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
∵，
∴，即，
整理得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵，
∴，即，
整理得.
15．【正确答案】
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．代入特殊角的三角函数值，进行二次根式的混合运算即可．
【详解】解：原式
16．【正确答案】，
【分析】设，可得，；将其代入中可解得的值，进而得出的值；
【详解】解：设
则，
代入得：
解得：
∴，
17．【正确答案】（1）见详解；
（2）见详解．
【分析】（）根据位似图形的性质，延长至使得，延长至使得，连接即可；
（）根据旋转作图即可；
本题考查了作图位似变换和旋转变换，熟练掌握画位似图形和旋转的一般步骤是解题的关键．
【详解】（1）如图，根据位似作图即可，
∴即为所求；
（2）如图，
∴即为所求．
18．【正确答案】（1）①，②一次函数关系；
（2）①；②，的值最大为6
【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，t的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答案；
（2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1时，S的值最大为6．
【详解】（1）①，，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，
当运动停止时，的值为，
故2；
②由已知可得；，
而，
，
，是一次函数，
故一次函数关系；
（2）①由已知可得：，，
；
②，
且，
时，的值最大为6．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）2
【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，则，由等边对等角可得，由切线的性质可得，求出，即可得证；
（2）利用勾股定了计算即可得解．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴
∵与相切于点C，与的延长线相交于点D，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵的半径为8．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴．
∵，且，
∴，
解得，
∴的长是2．
20．【正确答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五：
【分析】本题考查了阅读学习型考题，先学习后应用是解题的关键．
（1）根据斜边大于直角边计算即可．
（2）根据斜边大于直角边计算即可．
（3）作的外接圆，作于E，作直径，连接， ，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可．
（4）作的外接圆，作于E，作直径，连接，设的半径是R，构造素材二问题背景求解即可．
（5） 作于G，延长交于H，证明，把问题转化任务4求解即可．
【详解】解：任务一如图，取的中点O，连接
∵，， ．
∴，
故的最大值为2．
任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：
取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，
∴即，
故的最小值为12．
任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，

∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，

∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
任务五，如图3，
作于G，延长交于H，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
在的延长线上截取，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由任务四可知，
，
∵
，
当最小时，
∴取得最大值，此时最大值为．
21．【正确答案】（1），
（2）图象见详解，在范围内函数的值随的增大而增大，在范围内函数的值随的增大而减小
（3）
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一及勾股定理求出及各边边长，再利用相似得到，，再根据题意即可得到关于的函数表达式；
（2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到性质；
（3）观察函数图象在的图象上方时，的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：等腰中，，
过点作交于点，
当时，点沿方向运动，如图：
∴，，
根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
当时，点沿方向运动，如图：
此时，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵线段长度与点运动的路程之比为，
∴．
综上得，；
（2）函数图象如图所示：
观察图象可得在范围内函数的值随的增大而增大，在范围内函数的值随的增大而减小；
（3）根据函数图象：当时，（因为误差不超过0.2所以右侧可以写成2.2，2.3，2.5）．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）
【分析】（1）设法证明，利用等角对等对即可证明；
（2）在四边形中，利用四边形内角和定理求得，据此即可求解；
（3）延长交延长线于点H，证明是等边三角形，求得，过G作于点K，则，中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
在四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长交延长线于点H，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
由勾股定理可得，
∴，
过G作于点K，则，

在中，，
在中，，
∴，
∴，
中，勾股定理可求，
∴，
23．【正确答案】（1），4
（2）
（3）
【分析】（1）根据抛物线与轴的交点坐标确定抛物线的对称轴，设圆心，根据圆与轴相切得圆的半径为5，在中由勾股定理得，可得；
（2）可求抛物线解析式和直线的解析式，作轴交于，设，则，则是关于的二次函数，对之求最值即可；
（3）过作交于，因为，可证为等腰直角三角形，则可得，故可求的解析式为，联立即可求得点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过轴上、两点，
则此两点关于抛物线对称轴对称，
∴对称轴为直线，
∵圆心在对称轴上，
∴设圆心，连接，设对称轴与轴交于点，如图1，
轴，与轴相切，
，
又，
四边形是矩形，
，，
圆的半径为5，即，
又，，
，
在中，由勾股定理得：，
.
（2）解：由（1）得，
点的坐标为，
抛物线经过点，将点的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为，
设的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
的解析式为，
作轴交于，
设下方的抛物线上点，则，
则，
，
当时，
；
（3）解：过作交于，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
∵，
关于抛物线对称轴直线对称，且，
∴，
则，
∴，
设为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
的解析式为，
联立，
解得或（舍去）
故．
素材一
如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．

素材二
如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．

素材三
如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．

任务一
若素材一中的，求的最大值．
任务二
若素材二中的，求的最小值．
任务三
若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．

任务四
若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值．
任务五
当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值